1、1课时训练(二十六) 圆的基本性质 |夯实基础|1.2018盐城 如图 K26-1,AB为 O的直径, CD为 O的弦, ADC=35,则 CAB的度数为( )图 K26-1A.35 B.45 C.55 D.652.2018威海 如图 K26-2, O的半径为 5,AB为弦,点 C为 的中点,若 ABC=30,则弦 AB的长为 ( )图 K26-2A. B.512C. D.5532 33.2017南京 过三点 A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为 ( )A.(4, ) B.(4,3)176C.(5, ) D.(5,3)1764.2018安顺 已知 O的直径 CD=10 cm
2、,AB是 O的弦, AB CD,垂足为 M,且 AB=8 cm,则 AC的长为 ( )A.2 cm B.4 cm5 5C.2 cm或 4 cm D.2 cm或 4 cm5 5 3 325.2018杭州 如图 K26-3,AB是 O的直径,点 C是半径 OA的中点,过点 C作 DE AB,交 O于 D,E两点,过点 D作直径 DF,连结 AF,则 DFA= . 图 K26-36.2018临沂 如图 K26-4,在 ABC中, A=60,BC=5 cm.能够将 ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是cm. 图 K26-47.2018绍兴 等腰三角形 ABC中,顶角 A为 40,点 P在以 A为圆心,
3、BC长为半径的圆上,且 BP=BA,则 PBC的度数为 . 8.如图 K26-5,已知正方形 ABCD内接于 O, O的半径为 3 ,点 E是弧 AD上的一点,连结 BE,CE,CE交 AD于点 H,2作 OG垂直 BE于点 G,且 OG= ,则 = . 2图 K26-59.如图 K26-6,在 ABC中, AB=AC,以 AC为直径的 O交 AB于点 D,交 BC于点 E.(1)求证: BE=CE;(2)若 BD=2,BE=3,求 AC的长 .3图 K26-610.2018无锡 如图 K26-7,四边形 ABCD内接于 O,AB=17,CD=10, A=90,cosB= ,求 AD的长 .3
4、5图 K26-7411.2017武汉 如图 K26-8, ABC内接于 O,AB=AC,CO的延长线交 AB于点 D.(1)求证: AO平分 BAC;(2)若 BC=6,sin BAC= ,求 AC和 CD的长 .35图 K26-85|拓展提升|12.2018武汉 如图 K26-9,在 O中,点 C在优弧 AB上,将弧 BC沿 BC折叠后刚好经过 AB的中点 D.若 O的半径为 ,AB=4,则 BC的长是 ( )5图 K26-9A.2 B.33 2C. D.532 65213.如图 K26-10,正方形 ABCD和正三角形 AEF都内接于 O,EF与 BC,CD分别相交于点 G,H,则 的值是
5、 ( )图 K26-10A. B. C. D.262 2 314.2018台州 如图 K26-11, ABC是 O的内接三角形,点 D在 上,点 E在弦 AB上( E不与 A重合),且四边形BDCE为菱形 .6(1)求证: AC=CE.(2)求证: BC2-AC2=ABAC.(3)已知 O的半径为 3.若 = ,求 BC的长; 图 K26-1153当 为何值时, ABAC的值最大 ?7参考答案1.C2.D 解析 如图,连结 OA,OC,OC交 AB于点 M.根据垂径定理可知 OC垂直平分 AB,因为 ABC=30,故 AOC=60,在Rt AOM中,sin60 = = = ,故 AM= ,即
6、AB=5 .故选 D.5 32 532 33.A 解析 根据题意,可知线段 AB的垂直平分线为直线 x=4,再由 C点的坐标可求得圆心的横坐标为 4.设圆的半径为 r,则根据勾股定理可知 r2=22+(5-2-r)2,解得 r= ,因此圆心的纵坐标为 5- = ,因此圆心的坐标为 4, .136 136 176 1764.C 解析 由题可知,直径 CD=10 cm,AB CD,AB=8 cm,当点 M在线段 OC上时, OA=OC=5 cm,AM=4 cm. OA2=AM2+OM2, OM=3 cm,即 CM=OC-OM=2 cm.由勾股定理,得 AC2=AM2+CM2=2 cm.5当点 M在
7、线段 OD上时, CM=OC+CM=8 cm.由勾股定理,得 AC2=AM2+CM2=4 cm.5故 AC的长为 2 cm或 4 cm.5 55.30 解析 连结 DB, AB DE,且 C为 OA中点, OC=AC= DO, DOC=60. DBA= DFA=30.126. 解析 能够将 ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的 ABC的外接圆 O,连结 OB,OC,则1033 BOC=2 BAC=120,过点 O作 OD BC于点 D, BOD= BOC=60.12由垂径定理得 BD= BC= ,12 528 OB= = = ,605232 533能够将 ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是
8、cm.10337.30或 110 解析 分两种情况:(1)如图, BP=BA=AC,AP=BC,四边形 APBC为平行四边形, BAC= ABP=40, ABC= ACB=70, PBC= ABP+ABC=40+70=110.(2)如图, AP=BC,BP=AC,AB=AB, BAP ABC, PBA= BAC=40, PBC= ABC- ABP=70-40=30.8. 解析 连结 AC,BD,DE,22-19 OG BE, BG=GE,又 BO=OD,9 OG= DE,12则 DE=2OG=2 ,2由勾股定理得, BE= =8,BC=6.2-2 EBD= ECD, BED= CDH=90,
9、CDH BED, = , DH= = ,322 AH=6- = ,322 12-322CH= = .2+2922 CAD= DEC, ACE= ADE, ACH EDH, = ,则 EH= = ,4- 22 = .22-199.解:(1)证明:如图,连结 AE. AC为 O的直径, AEC=90, AE BC.又 AB=AC, BE=CE.10(2)如图,连结 DE.四边形 ACED为 O的内接四边形, BED= BAC.又 B= B, BED BAC, = . BE=CE=3, BC=6.又 BD=2, = , BA=9, AC=9.32610.解:如图所示,延长 AD,BC交于点 E,四边
10、形 ABCD内接于 O, A=90, EDC= B, ECD= A=90, ECD EAB, = .cos EDC=cosB= ,35 = ,35 CD=10, = , ED= ,1035 503 EC= = = .2-2(503) 2-102403 = ,1017403503+11 AD=6.11.解:(1)证明:连结 OB, AO=AO,BO=CO,AB=AC, AOB AOC, BAO= CAO,即 AO平分 BAC.(2)如图,过点 D作 DK AO于 K,延长 AO交 BC于 H.由(1)知 AH BC, OB=OC,BC=6, BH=CH= BC=3, COH= BOC.12 12
11、 BAC= BOC, COH= BAC.12在 Rt COH中, OHC=90,sin COH= = ,35 CH=3, CO=AO=5, OH=4, AH=AO+OH=5+4=9,tan COH=tan DOK= .34在 Rt ACH中, AHC=90,AH=9,CH=3,tan CAH= = ,AC=3 .13 1012由(1)知 CAH= BAH,tan BAH=tan CAH= .13设 DK=3a,在 Rt ADK中,tan BAH= ,13在 Rt DOK中,tan DOK= ,34 OK=4a,DO=5a,AK=9a, AO=OK+AK=13a=5, a= ,DO=5a= ,5
12、13 2513CD=OC+OD=5+ = .25139013 AC=3 ,CD= .10901312.B 解析 连结 AC,DC,OD,过 C作 CE AB于 E,过 O作 OF CE于 F.设 D关于直线 BC的对称点为 H.连结 CH,BH,CO,OA. 沿 BC折叠 , CDB= H. H+ CAB=180, CDA+ CDB=180, CAB= CDA, CA=CD. CE AD, AE=ED=1, OA= ,AD=2, OD=1.5 OD AB, OFED为正方形,13 OF=1,OC= ,5 CF=2,CE=3, CB=3 .213.C 解析 如图,连结 AC,BD,OF,AC与
13、EF相交于点 I.设 O的半径是 r,则 OF=r.依题意有 AO是 EAF的平分线, OAF=602=30. OA=OF, OFA= OAF=30, FOI=60, FI=rsin 60= r,32 EF= r2= r.32 3 AO=2OI, OI= r,CI=r- r= r,12 12 12 = = ,12 GH= BD= 2r=r,12 12 = = ,即 的值是 .故选 C.3 3 314.解:(1)四边形 BDCE是菱形, EBC= DBC,CD=CE, = , AC=CD, AC=CE.14(2)如图所示,延长 BA到点 F,使 AF=AC,连结 FC, AC=CE, CEA=
14、CAE, BEC= CAF. BE=CE,AC=AF, EBC= ECB= ACF= F, BCE FBC, = ,即 BC2=CEBF. AC=CE,AC=AF, BC2=CEBF=AC(AB+AF)=AC(AB+AC)=ABAC+AC2, BC2-AC2=ABAC.(3)如图所示:连结 ED,交 BC于点 H,连结 OB.由 = 得 AB= AC,53 53 BC2-AC2=ABAC= AC2,53即 BC2= AC2, BC= AC.83 263四边形 BDCE是菱形, ED BC,BH=CH,即 ED是 BC的垂直平分线 .15点 O是外心,点 O在 ED上 . BH= BC, BH=
15、 AC,12 63设 AC=3k,BH= k,则 BD=CE=AC=3k.6在 Rt BDH中, DH= = = k,2-2 (3)2-(6)2 3 OH=OD-DH=3- k.3在 Rt OBH中, BH2+OH2=OB2,即( k)2+(3- k)2=32,解得 k= ,6 3233 AC=2 , BC= AC= 2 =4 .3263 263 3 2如图所示:设 =x,则 AB=ACx. BC2-AC2=ABAC=AC2x, BC2=AC2(x+1), BC= AC,+1 BH= AC.+12四边形 BDCE是菱形, BD=CE=AC.在 Rt BDH中, DH2=BD2-BH2=AC2-( AC)2= AC2,+12 3-4 DH= AC,3-216 OH=OD-DH=3- AC,3-2在 Rt BOH中, BH2+OH2=BO2,即( AC)2+(3- AC)2=32,+12 3-2整理得 AC=3 ,3- ABAC=ACxAC=3 x3 =9x(3-x)=-9x2+27x.3- 3- a=-90, ABAC有最大值 . ABAC=-9x2+27x=-9 x- 2+ ,32 814当 x= 时, ABAC取到最大值 ,32 814即 = 时, ABAC取到最大值 .32 814
