1、1课时训练(二十七) 直线与圆的位置关系 |夯实基础|1.2018常州 如图 K27-1,AB 是 O 的直径, MN 是 O 的切线,切点为 N,如果 MNB=52,则 NOA 的度数为( )图 K27-1A.76 B.56C.54 D.522.2017滨州 若正方形的外接圆半径为 2,则其内切圆半径为 ( )A. B.2 C. D.12 2223.2017日照 如图 K27-2,AB 是 O 的直径, PA 切 O 于点 A,连结 PO 并延长交 O 于点 C,连结AC,AB=10, P=30,则 AC 的长度是 ( )图 K27-22A.5 B.5 C.5 D.3 2524.2018河北
2、 如图 K27-3,点 I 为 ABC 的内心, AB=4,AC=3,BC=2,将 ACB 平移使其顶点与 I 重合,则图中阴影部分的周长为 ( )图 K27-3A.4.5 B.4 C.3 D.25.2017杭州 如图 K27-4,AT 切 O 于点 A,AB 是 O 的直径,若 ABT=40,则 ATB= . 图 K27-46.2017枣庄 如图 K27-5,在平行四边形 ABCD 中, AB 为 O 的直径, O 与 DC 相切于点 E,与 AD 相交于点 F,已知 AB=12, C=60,则弧 FE 的长为 . 图 K27-57.2018包头 如图 K27-6,AB 是 O 的直径,点
3、C 在 O 上,过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D,点 E 在 上(不与点 B,C 重合),连结 BE,CE.若 D=40,则 BEC= 度 . 图 K27-638.2018岳阳 如图 K27-7,以 AB 为直径的 O 与 CE 相切于点 C,CE 交 AB 的延长线于点 E,直径 AB=18, A=30,弦CD AB,垂足为点 F,连结 AC,OC,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) = ;扇形 OBC 的面积为 ; OCF OEC; 若点 P 为线段 OA 上一动点,则 APOP 有最大值 20.25. 274图 K27-79.2018葫芦岛 如图 K27-8,A
4、B 是 O 的直径, = ,E 是 OB 的中点,连结 CE 并延长到点 F,使 EF=CE,连结 AF交 O 于点 D,连结 BD,BF.(1)求证:直线 BF 是 O 的切线;(2)若 OB=2,求 BD 的长 .图 K27-8410.2018沈阳 如图 K27-9,BE 是 O 的直径,点 A 和点 D 是 O 上的两点,过点 A 作 O 的切线交 BE 延长线于点C.(1)若 ADE=25,求 C 的度数;(2)若 AB=AC,CE=2,求 O 半径的长 .图 K27-9|拓展提升|11.2018宁波 如图 K27-10,正方形 ABCD 的边长为 8,M 是 AB 的中点, P 是
5、BC 边上的动点,连结 PM,以点 P 为圆5心, PM 长为半径作 P.当 P 与正方形 ABCD 的边相切时, BP 的长为 . 图 K27-1012.2018南京 结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答 .题目:如图 K27-11,Rt ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D,AD=3,BD=4,求 ABC 的面积 .图 K27-11解:设 ABC 的内切圆分别与 AC,BC 相切于点 E,F,CE 的长为 x.根据切线长定理,得 AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理,得( x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得 x2+7x=12.所以 S ABC
6、= ACBC12= (x+3)(x+4)12= (x2+7x+12)12= (12+12)12=12.小颖发现 12 恰好就是 34,即 ABC 的面积等于 AD 与 BD 的积 .这仅仅是巧合吗?6请你帮她完成下面的探索 .已知: ABC 的内切圆与 AB 相切于点 D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若 C=90,求证: ABC 的面积等于 mn.倒过来思考呢?(2)若 ACBC=2mn,求证: C=90.改变一下条件(3)若 C=60,用 m,n 表示 ABC 的面积 .7参考答案1.A 解析 N 为切点, MN ON,则 MNO=90,已知 MNB=52, BNO=38, ON
7、=OB, BNO= B, NOA=2 BNO=76,选项 A 正确 .2.A 解析 如图,由“正方形的外接圆半径为 2”可得 OB=2, OBC=45,由切线性质可得 OCB=90,所以 OBC 为等腰直角三角形,所以 OC= OB= .22 23.A 解析 过点 O 作 OD AC 于点 D, AB 是 O 的直径, PA 切 O 于点 A, AB AP, BAP=90. P=30, AOP=60, AOC=120. OA=OC, OAD=30. AB=10, OA=5, OD= AO= , AD= = ,12 52 2-2532 AC=2AD=5 ,故选 A.384.B 解析 设 ABC
8、的 AB 边上的高为 h, MNI 的周长为 a,MN 边上的高为 r,则 ABC 的内切圆半径为 r, ABC 的面积 =ABh =(AB+BC+AC)r ,4 h=9r, = . MNI ABC, = , MNI 的周长 = (4+3+2)12 12 49 的周 长的周 长 49 49=4,故选 B.5.50 解析 AT 是 O 的切线, TAB=90,又 ABT=40, ATB=50.6. 解析 如图,连结 OE,OF, CD 是 O 的切线, OE CD, OED=90.四边形 ABCD 是平行四边形, C=60, A= C=60, D=120. OA=OF, A= OFA=60, D
9、FO=120, EOF=360- D- DFO- DEO=30, 的长 = 6= . 301807.115 解析 连结 OC,AC,由 CD 是切线得 OCD=90.又因为 D=40,可得 COD=50.因为 OA=OC,可得 OAC=65.因为四边形 ACEB 是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到 BEC 的度数 .8. 解析 AB 是 O 的直径,且 CD AB, = ,故正确; A=30, COB=60,扇形 OBC 的面积 = 2= ,故错误;60360 2 272 CE 是 O 的切线, OCE=90,9 OCD= OEC, EOC= COF, OCF OEC,故正确;设 AP
10、=x,则 OP=9-x, APOP=x(9-x)=-x2+9x=- x- 2+ ,92 814当 x= 时, APOP 的最大值为 =20.25,故 正确 .故答案为 .92 8149.解:(1)证明:连结 OC, AB 是 O 的直径, = , AOC= BOC=90. E 是 OB 的中点, EF=CE, COE FBE. FBE= COE=90.直线 BF 是 O 的切线 .(2) COE FBE,OB=2, BF=OC=2.在 Rt ABF 中,由勾股定理得 AF=2 .5 AB 是 O 的直径, ADB=90, ADB ABF, = ,即 = ,解得 BD= .4 225 45510
11、.解:(1)如图,连结 OA,由切线的性质可得 OAC=90, ADE=25, AOC=50, C=40.(2) AB=AC, B= C. AOC=2 B, AOC=2 C. OAC=90, AOC+ C=90,10即 3 C=90, C=30. OAC=90, OA= OC.12设 O 的半径为 r, CE=2, r= (r+2). r=2. O 的半径为 2.1211.3 或 4 解析 (1)当 P 与 DC 相切时,如图所示,设 BP=x,则 PC=8-x.3 DC 与圆相切, PC=PM.又 M 是 AB 中点, BM=4.在 Rt BMP 中,根据勾股定理可得 BM2+BP2=MP2
12、, x2+42=(8-x)2,解得 x=3, BP=3.(2)如图所示,当 P 与 DA 相切时,过点 P 作 PE AD,交 AD 于点 E. P 与 DA 相切于点 E, EP=MP=8.在 Rt BMP 中,根据勾股定理可得 BM2+BP2=MP2, BP= =4 .82-42 311综上所述, BP 的值为 3 或 4 .312.解析 (1)根据题目中所给的方法由切线长定理知 AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根据勾股定理得( x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即 x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算;(2)由 ACBC=2mn 得( x+m)(x+
13、n)=2mn,即 x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证;(3)作 AG BC,由三角函数得 AG=ACsin 60= (x+m),CG=ACcos 60= (x+m),BG=BC-CG=(x+n)- (x+m),在 Rt32 12 12ABG 中,根据勾股定理可得 x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得 .解:设 ABC 的内切圆分别与 AC,BC 相切于点 E,F,CE 的长为 x.根据切线长定理,得 AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)证明:如图,在 Rt ABC 中,根据勾股定理,得( x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.整理,得
14、 x2+(m+n)x=mn.所以 S ABC= ACBC12= (x+m)(x+n)12= x2+(m+n)x+mn12= (mn+mn)12=mn.(2)证明:由 ACBC=2mn,得( x+m)(x+n)=2mn,整理,得 x2+(m+n)x=mn,所以 AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2x2+(m+n)x+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.12根据勾股定理的逆定理,得 C=90.(3)如图,过点 A 作 AG BC,垂足为 G.在 Rt ACG 中, AG=ACsin 60= (x+m),CG=ACcos 60= (x+m).32 12所以 BG=BC-CG=(x+n)- (x+m).12在 Rt ABG 中,根据勾股定理,得+ =(m+n)2,32(+)2(+)-12(+)2整理,得 x2+(m+n)x=3mn,所以 S ABC= BCAG12= (x+n) (x+m)12 32= x2+(m+n)x+mn34= (3mn+mn)34= mn.3
