1、- 1 -浙江杭州八中 2019 届上学期高三数学周末自测卷十一第 I 卷（选择题）一、单选题1已知集合 ，则 的真子集个数为（ ）2,|4,Axy,|BxyABA. B. C. D. 3572设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ xRi 24Zxi）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件3定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上单调递减，设Rfx2ffx1,0, ， ， 则 , , 的大小关系是（ ）2afb3cabcA. B. C. D. cab4在数列 中， ， ，则 的值为（ ）n141nn*2,N2018aA. B. 5 C.
2、 D. 155函数 的图象大致为（ ）lnxeyA. B. C. D. 6现有 六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛） ，第一,ABCDEF周的比赛中 ，各踢了 场， 各踢了 场， 踢了 场，且 队与 队未踢过， 3,CD4E2AC队与 队也未踢过，则在第一周的比赛中， 队踢的比赛的场数是（ ）FA. B. C. D. 12- 2 -7设函数 ，若方程 恰好有三个根，分别为sin24fx90,8xfxa，则 的值为（ ）123,x123()123A. B. C. D. 4748如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积
3、为（ ）A. B. C. D. 51424139已知函数 若 ，且函数 存在最小值，则实数 的取log, 8axfm24ffxa值范围为（ ）A. B. C. D. 1,31,230,3,10已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为双曲C2xyab,ab1F2P线 上一点， 为双曲线 C 渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且 ， QPQ2Q，则双曲线 的离心率为（ ）120FA. B. C. D. 33132132- 3 -第 II 卷（非选择题）二、填空题11我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半
4、，莞日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，长为 3 尺；莞生长 1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_ _日（结果保留一位小数，参考数据： ， ）lg20.lg0.4812.已知随机变量 x的分布列，其中 ,则 sin= ， E= .13在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且ABCBCabc （1） ； （2）若 ，则222iisinsi0A 4Bbc14.已知集合 是同一坐标平面内一些点组成的集合，若NM,且 ,则原点到直线Ryxy,1sinco|)( NM的距离是 ，集合 所表示的区域的最大面积 .x,si
5、c15已知向量 ，满足 ， ，则 的最小值是_， 与 夹角ba3ab2ba的余弦值的最大值是_.16.有 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1，2，3，4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有 种（用数字作答） 17. 平面直角坐标系 中，已知椭圆 左、右焦点分别是 ，xoy2:10xyCab12,F焦距为 ，若曲线 : 满足对 , 与 至多 2 个公共点，求椭圆c21Cmc2R1C的离心率的范围是 .三、解答题18 （本小题满分 14 分）已知函数 2()23sincosfx
6、xxm在区间 0,3上的最大值为 2.()求常数 m的值;x-1 0 2p4sinicos- 4 -()在 ABC中,角 ,所对的边长分别为 ,abc,若 ()1fA,sin3iBC,面积为 34,求边长 a.19如图,在四棱锥 中,点 是棱 上一点,且 ,底面ABDP-EPCAPE2是正方形, 为正三角形,平面 与平面 交于直线 ,且平面 平ABCDADlD面 .(1)求证: 平面 ；l(2)求直线 与平面 所成角的大小.ABE（第 19 题图）20(本题满分 15 分)设函数 f(x) .1 x 1 x(1)求函数 f(x)的值域；(2)当实数 x0,1，证明： f(x)2 x2.1421
7、 （本题满分 15 分）已知抛物线 ，过点 的直线 交抛物yE： )0,1(A1:myxl线于 两点，点 关于 轴的对称点为 NM,xK（1）当 时，求线段 的中点 的坐标；2mNQ（2）若 ，求 面积的最大值4,AK22.（本题满分 15 分）设函数 数列 满足 ， ()lnfxxna101()nnaf（1）证明：函数 在区间 是增函数；f01，（2）证明： ；1na（3）设 ，整数 ，证明： 1()b， 1lnabk 1kab浙江杭州八中 2019 届上学期高三数学周末自测卷十一- 5 -参考答案1B【解析】因为抛物线 的图象与直线 的图象，有两个交点，所以 有两个24xyyxAB元素，故
8、 的真子集个数为 ，故选 B.A2132B【解析】 由复数 为纯虚数，则 ，解得 ，24zxi240 x2x所以 是复数 为纯虚数的充要条件，故选 Bx2i3C【解析】 因为偶函数 满足 ，所以函数的周期为 ，fx2ffx2则 ， ，2af0,31bcff因为 ，且函数 在 上单调递减，10fx1,所以 ，故选 Cbc4B【解析】 在数列 中， ，na11,2,4nnaN所以 ，23215,544所以 是以 为周期的周期数列，因为 ，故选 Bna2018672325aa5C【解析】 因为函数 ，22lnlln1xxxeeye由 ，可得 ，所以函数的定义域为 ，210xe0,再由 ，可得 ，且
9、在 上为单调递增函数，故选 C10y,6D【解析】依据题意： 踢了 场， 队与 队未踢过，则 C 队参加的比赛为： C4A；,BCEFD 踢了 场， 队与 队也未踢过，则 D 队参加的比赛为： ；4 ,DEF以上八场比赛中， 包含了 队参加的两场比赛，,E- 6 -分析至此， 三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在 中进行，,CDE,ABF已经得到的八场比赛中， A,B 各包含一场，则在 中进行的比赛中， ， 各踢了,ABF2 场，即余下的比赛为： ，,F综上可得，第一周的比赛共 11 场： ， ， ,CDE,ADCEF,ABF则 队踢的比赛的场数是 .4本题选择 D 选项.7D【解析】 由题
10、意 ，则 ，90,8x52,42x画出函数的大致图象，如图所示，由图可得，当 时，方程 恰有三个根，21afxa由 得 ；由 得 ，4x8x34258由图可知， 与点 关于直线 对称；1,02,x点 和点 关于 对称， 所以 ，2,x35x12235,4x所以 ，故选 D121237x点睛：本题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关 问题，一种为提供函数图象求解析式或某sinyAx参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定 ，再根据周期，求出 ，最后再利用w最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的 值，另一种时根据题目用文字形容
11、的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求 或 的值或最值或范围等.w8C【解析】 根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 ，OABCD正方体的棱长为 ， 为棱的中点，最大的侧面积为 ，故选 C2,AD3S- 7 -9A【解析】由分段函数的解析式可得： ，即： 284,2fm，log,3 28axf结合函数有最小值可得： ，据此可得： ，1log328a13a即实数 的取值范围为 .a1,本题选择 A 选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形
12、式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围10D【解析】 由双曲线的方程 的左右焦点分别为 ， 为双曲线 上的一点，21xyab12,FPC为双曲线 的渐近线上的一点，且 都位于第一象限，且 ，QC,PQ212,0QF可知 为 的三等分点，且 ,P2F12F点 在直线 上，并且 ，则 ， ，0bxayOc,ab2,0Fc设 ，则 ，1,11,bxy解得 ，即 ，112,3cxy2,3acP代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故选 D214a132cea-
13、 8 -点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，,accea,abc转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 , e( 的取值范围)e11 2.6 解析：设蒲 的长度组成等比数列 ，其前 项和 ；莞长度组成等比数列 ，其nanAnb前 项和 ；则 ，化简得 ，得 ，nnB121)(3nBA726n6n即： 6.2lg12l612. ；1 54解析： 22sinicos14
14、解得 3cs=5， in，故 sin=2cos14Ex13 ； 31解析：（1） 由 及正弦定理得222siisinsi0BCA，从而 ， 0bca21cobca3A（2）由（1）知 ，若 ，则 ，345C所以2sini4315621bBcC14. 1； 解析：原点到直线 的距离 ，所以Ryx,sinco 1sinco22d是单位圆的切线上的点组成的集合，集合 所表示的区域的最大面积 。MN151； 3- 9 -解析：设向量 的夹角为 ， ，所以 ，所以ba,24ab224ab所以 ，解得 ；03cos2 123cos13,1.339,cs aabba16. 432 解析：数字之和为 10 的
15、情况有 4，4，1，1；4，3，2，1； 3，3，2，2； 取出的卡片数字为 4，4，1，1 时；有 种不同排法；取出的卡片数字为 3，3，2，2 时；A有 种不同排法；取出的卡片数字为 4，3，2，1 时；每个数字都有两种不同A的取法，则有 种不同排法； 所以共有 种不同排法42 44A17. 10e解析：曲线 : 的图像最低点为 ，随着 从 到 变1Cmcxy2Mmc,化时，当 为椭圆上这两个点 和 时，为临界点；所以MabcA2,abB2,只要在 处的切线的斜率 ，既满足题意，而过 的切线方程为B1k，所以 ，12ayxc2ac所以 0e18 【答案】解:(1) 223sincosfxx
16、xm sin216xm 4分因为 03x， ,所以 56， 所以当 26即 x时,函数 fx在区间 03， 上取到最大值 此时, max32ff,得 1m 7 分(2)因为 1A,所以 sin6A, - 10 -即 1sin26A ,解得 0A(舍去)或 3 9 分因为 3siBC, nsiinabcBC,所以 bc.10 分因为 面积为 4, 所以 31ssin24S,即 bc.- 由和解得 3bc， 12 分因为 222os31cos3aA,所以 7a 14 分19 （本题 15 分）答案：（1）见解析；（2） 0（1）底面 是正方形, .ABCDCDB/又 平面 , 平面 .PP 平面
17、. （5 分）又平面 与平面 交于直线 ,l ,又 平面 , 平面 ,ABlABEABE 平面 .（7 分）（2）延伸平面 与棱 交于点 ,PDF , .EF/C/ ,A 为 的中点, 是棱 的中点. （9 分）P又 ,则直线 与平面 所成角的大小等于直线 与平面 所成角的大B/BEADBEF小, （11 分）平面 平面 , , 平面 ,平面 平面 ,ADCADBPPAD 为正三角形, , 平面 为直线 与平面PPFEF所成的角,BEF又 = ,直线 与平面 所成角的大小为 .（15 分）30 3020.（15 分）解 (1)函数 f(x)的定义域是1,1， f( x) ，1 x 1 x21
18、x2当 f( x)0 时，解得1 x0，当 f( x)0 时，解得 0x1，- 11 - f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,0)上单调递增， 4 分 f(x)min f(1) f(1) ， f(x)max f(0)2， 7 分2函数 f(x)的值域为 ，22(2)证明：设 h(x) x22， x0,1， h(0)0，1 x 1 x14 h( x) (1 x) (1 x) x12 12 12 12 12 x ，10 分121 21 x2 1 x 1 x ( ) 2 ，1 x2 1 x 1 x 1 x2 2 21 x2 h( x)0. h(x)在(0,1)上单调递减， 13 分又 h(0)0
19、， h(x) h(0)0， f(x)2 x2. 15 分1421 （本题 15 分）答案：（1） ；（2）164,7（1）当 时，直线 ，2m1:yxl联立直线 与抛物线的方程，消去 ，得 ，（2 分）l 0482y所以线段 的中点 的纵坐标为 4，MNQ又点 在直线 上，故 的坐标为 .（5 分）12:yxl ,7（2）设直线 的方程为 ，与抛物线的方程联立，消去 可得 ，Kntx042nty.0)(162nt设 ，则 ，（7 分）,2yxNnyt4,2121且 .)(1M- 12 -联立直线 与抛物线的方程，消去 可得 ，1:myxl x042my所以 ，（9 分）4,4212y所以 ，即
20、直线 过点 ，（11 分）nKN)0,(E所以 的面积 ，A|m4|y|)|A|212121yS又 （13 分）4,2m所以 816ANKS故 面积的最大值为 16. （15 分）22.（1）证明： ，()lnfxxln,0,1ln0fxfx当 时 ，故函数 在区间(0,1)上是增函数； 4 分（2）证明：（用数学归纳法）假设当 时， 成立，(*)xkN1ka即 ，那么当 时，由 在区间 是增函数，110ka 1n(fx(0，得 . 而 ，则 ()kkfaf1)nnf， ，即当 时， 成立；121(),kkf2k1na10 分（3）由（2）知 递增，故若存在正整数 ，使得 ，则 .nakmbm1kmb否则，若 ，则由 知 ，()mbk10a 0lnllnaa，1111lnlnllkkkkkkiiaa又 ，于是 ，故11lliib1111l()kabab1ka15 分
