1、- 1 -宜昌市葛洲坝中学 2018-2019 学年第一学期高二年级期中考试试卷数学（理科）试题考试时间：2018 年 11月第卷一、选择题（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1设直线 的倾斜角为 ，且 ，则 满足（ ）0axbycsinco0,abA. B C D1aba12用“辗转相除法”求得 和 的最大公约数是（ ）45937A B C D3153直线 ，当 变动时，所有直线都通过定点（ ）1kxykA B C D(0,)(3,)(0,1)(2,1)4圆 关于原点 对称的圆的方程为 ( )25xy,PA B()22()5xyC
2、D22()xy5有 件产品编号从 到 ,现在从中抽取 件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为( )01505A.5,10,15,20,25 B.5,15,20,35,40 C.10,20,30,40,50 D.5,11,17,23,296在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( )A B C D9.4,089.4,0169.5,0169.5,047圆 在点 处的切线方程为（ ）2xy)3,(PA B C D3y3yx023yx8 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于
3、或 等于 的颗粒物,也称2.5PM2.5m为细颗粒物,一般情况下 浓度(单位: )越2.5P3gm- 2 -大,大气环境质量越差.如图所示的是宜昌市区甲、乙两个监测站某 日内每日的 浓102.5PM度读数的茎叶图,则下列说法正确的是( )A.这 10日内甲、乙监测站读数的极差相等B.这 10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C.这 10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D.这 10日内甲、乙监测站读数的平均数相等9.点 与圆 上任一点连结的线段的中点的轨迹方程( )4,2P24xyA. B. 12214xyC. D. 22xy10两圆 与 的公共弦长等于( )40220xyA. B. C
4、. D. 23411.若实数 满足 则 的取值范围为( ),xy1xy2xA. B. C. D. 4034,3,3,0312已知点 (2,)A, (0B， (,2)C，直线 ()yab将 ABC分割为面积相等的两部分，则 b的取值范围是( )A.（0， ） B. (,1) C. 2(,3 D.,1)二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）13. =_ .)5(412)7(14已知圆 M与直线 3x4y0 及 3x4y100 都相切，圆心在直线 yx4 上，则圆M的方程为_15阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 .- 3 -16.如图,已知直线 与 轴、
5、轴分别交于 , 两点, 是以 为圆心, 34yxyABP01C为半径的圆上一动点,连接 , ,则 面积的最大值是 1PAB第卷三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17 （本题满分 10分）在锐角 中， a， b， c分别为角 A， B， C所对的边,且 ABC 32sinacA() 确定角 C的大小;() 若 ,且 的周长为 ,求 的面积7c5718 （本题满分 12分）某城市 100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300)分组的频率分布直方图如图() 求直
6、方图中 x的值；() 求月平均用电量的众数、中位数；() 在月平均用电量为220，240)，240，260)，260，280)，280，300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11户居民，则月平均用电量在220，240)的用户中应抽取多少户？- 4 -19 （本题满分 12分）如图， AB是圆的直径， PA垂直圆所在的平面， C是圆上的点.（）求证：平面 PAC平面 PBC；（）若 AB=2， AC=1， PA=1，求二面角 C-PB-A的余弦值.20 （本题满分 12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 和房屋的面积 的数据： yx() 画出数据对应的散点图；() 求线性回归方程，并在
7、散点图中加上回归直线；()据()的结果估计当房屋面积为 时的销售价格.2150m附：对于一组数据 ， ， ，其回归直线 的斜率和1,uv2,v,nuvvu截距的最小二乘估计分别为 ， 12()nii21 （本题满分 12分）如图,在平面直角坐标系 中,已知圆 及点 xOy2:40Cxy(1,)(,2AB()若直线 平行于 ,与圆 相交于 两点, lABMN,求直线 的方程;MNAB()在圆 上是否存在点 ,使得 若存在, CP21?B求点 的个数;若不存在,说明理由.P22 （本题满分 12分）已知各项均为正数的数列 ,满足 且 .na2210*nnaN12a()求数列 的通项公式；n()设
8、,若 的前 n项和为 ,求 ；12logbabnS()在（2）的条件下,求使 成立的正整数 n的最小值1250S- 5 -宜昌市葛洲坝中学 2018-2019学年第一学期高二年级期中考试试卷数学试题（理科） 答案112. BDBAC CDCAD AB13. 14. 1 15. 9 16. 2(x 3)2 (y 1)2 2117解：（1）因为 ，由正弦定理得 ，sinacA3sinisnAC因为 ，所以 .sin0A3i2C所以 或 . 因为 是锐角三角形， 所以 .3CAB3（2）因为 ，且 的周长为 ，所以 a+b=5 7cC57由余弦定理得 ，即 2cos3ab27由变形得 ，所以 ab=
9、6，得 .2713sin2Sab18. 解：()由直方图的性质可得(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，解方程可得 x0.007 5.直方图中 x的值为 0.007 5；(2 分)()月平均用电量的众数是 230，-(4 分)220 2402(0.0020.009 50.011)200.450.5，月平均用电量的中位数在220，240)内，设中位数为 a，由(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5 可得a224.月平均用电量的中位数为 224；-(6 分)()月平均用电量为220，240)的用户有 0.012 5
10、2010025，月平均用电量为240，260)的用户有 0.007 52010015，月平均用电量为260，280)的用户有 0.0052010010，月平均用电量为280，300)的用户有 0.002 5201005，- 6 -抽取比例为 ，-(11 分)1125 15 10 5 15月平均用电量在220，240)的用户中应抽取 25 5（户） -（12 分）1519. 证明：（）由 AB是圆的直径，得 ，ACB由 平面 ABC， 平面 ABC，得 PACPA又 ， 平面 PAC， 平面 PAC，P所以 平面 PACBC因为 平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC6分（）解法一：过 C作
11、 CM/AP，则 CM平面 ABC如图（1） ，以点 C为坐标原点，分别以直线 CB， CA， CM为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系在 Rt ABC中，因为 AB=2， AC=1，所以 3BC又因为 PA=1，所以 A（0，1， 0） ， B（ ，0，0） ， P（0，1，1） 3故 (3,),(,1)P设平面 BCP的法向量为 ，,xyzn则 所以10,.ACBnP130,.z不妨令 ，则 1y1(,)因为 (0,)3,10,AAB设平面 ABP的法向量为 ，22(,)xyzn则 所以20,.PAnB203.z不妨令 ，则 21x(,)第 18 题图（1）- 7 -于是 1236c
12、os,4n由图（1）知二面角 C-PB-A为锐角，故二面角 C-PB-A的余弦值为 12分64（）解法二：如图（2） ，过 C作 CM AB于 M，因为 PA平面 ABC， 平面 ABC，所以 PA CM又因为 ，且 平面 PAB， 平面 PAB，PABPAB所以 CM平面 PAB过 M作 MN PB于 N，连接 NC，由三垂线定理得 CN PB，所以 CNM为二面角 C-PB-A的平面角在 Rt ABC中，由 AB=2， AC=1，得 ， ， 3B2M3B在 Rt PAB中，由 AB=2， PA=1，得 5P因为 Rt BNMRt BAP，所以 ，所以3215N3510N所以在 Rt CNM
13、中， ，C所以 ，6cos4M所以故二面角 C-PB-A的余弦值为 12分6420.（1）数据对应的散点图如图所示：第 18 题图（2）- 8 -（2） ， ，1095ix1570)(251xliix38)(,.31ylyiiixy设所求回归直线方程为 ，abx则 ， 1962.05738xylb 816.5703192.xby故所求回归直线方程为 86.1.y（3）据（2） ，当 时，销售价格的估计值为：210xm（万元）4.386.5196.0y21. 解析：1.圆 的标准方程为 ,C2()xy所以圆心 ,半径为 .(20)因为 ,所以直线 的斜率为 ,/,1,(2)lABl201()设直
14、线 的方程为 ,l0xym则圆心 到直线 的距离为 Cl22md因为 ,2MNAB而 ,所以 ,2d2()4- 9 -解得 或 ,0m4故直 线的方程为 或 .l0xy402.假设圆 上存在点 ,设 ,则 , CP()x2()4y,222(1)11PABxy即 ,即 ,30xy()因为 222()所以圆 与圆相交, 所以点 的个数为4xy(1)4xyP222解：（1） ，2210nnaa110nna数列 的各项均为正数， ，1n ，即120n12*nN所以数列 是以 2为公比的等比数列.a ，数列 的通项公式 .1nna（2）由（1）及 得， ，12lognb2b ，2nnS 34n 25 1
15、22nn -得 2345111222nn nnS（3）要使 成立，只需 成立，即 ，10n150n15n使 成立的正整数 n的最小值为 5.25nS- 10 -附：双向细目表高_二 _数学理_科期中考试命题双向细目表 能力要求题型题号考察知识点（非章节节点）预估难度系数了解识记理解 掌握灵活运用分值备注1 直线倾斜角月斜率 0.9 5 2 辗转相除法 0.9 5 3 直线的定点问题 0.9 5 4 圆的标准方程 0.9 5 5 抽样方法 0.9 5 6 样本的数字特征 0.8 5 7 圆的切线问题 0.7 5 8 茎叶图 0.8 5 9 求轨迹方程 0.7 5 10 两圆的位置关系 0.6 5 11 直线与圆的关系应用 0.6 5 12 直线的特征量的理解应用 0.4 5 选择题 13 k进制互化 0.8 5 14 相切类求圆的方程 0.7 5 15 程序框图 0.7 5 16 直线与圆的最值问题 0.6 5 填空题 17 解三角形 0.7 10 18 频率分布直方图、抽样方法 0. 8 12 解答题 19 线与面位置关系及计算 0.7 12 - 11 -20 回归直线方程 0.8 12 21 直线与圆、圆与圆的位置关系 0.7 12 22 数列通项、求和及应用 0.6 12 整套试题的难度系数 0.7
