1、- 1 -2018-2019 学年度第一学期永泰一中期中考高中二年 数学 科试卷（理科）一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1不等式 的解集为 （ ）0)2(1xA B C (,),(,2)(1,)(1,2)D 22在 BC中，若 CA222sinisin，则角 A 是（ ）A钝角 B直角 C锐角 D不能确定3对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值范围( )x02kxkA B C D)0,1(,11,1,4设 ，给出下列三个结论： ； ； ,cab bcac 其中所有的正确结论的序号是 ( )(log)(
2、logbaA B C D5若变量 x， y 满足约束条件 则 z2 x y 的最大值为( )1yxA0 B5 C-3 D-26已知等比数列a n的前 n 项和 Sn=2n+4r，则 r=( )A B C. D. 4123117已知满足条件 ， ， 的 的个数有两个，则 x 的取值范围是 ( )3axb06ABCA. B. C. D. x84934x7348设 是等差数列,下列结论中一定成立的是（ ）naA若 ，则 B若 ，则120230a130a120a- 2 -C 若 ，则 D若 ，则 10a21230a120a213a9等比数列 的各项均为正数，且 ，则n 641381a（ ）20212l
3、ogloglA60 B50 C40 D20+log 2 5 10如图，一艘船上午 10：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 11：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处，且与它相距 9 n mile,则此船的航速是（ ）2A16 n mile/h B18 n mile/h C32 n mile/h D36 n mile/h11等差数列a n中， ， ,且 ， 为其前 n 项01a110anS之和，则使 的最大正整数 是（ ）SA198 B 199 C200 D201 12 中，三个内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，且
4、C ,A,abcCBAsin,2si，则 （ ）15tanbaA B C 2 D 2322二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13公差为 2 的等差数列 中， 成等比数列，则 的前 项和为 .na136,ana1014ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 的面积为 ，则角ABC3422bcB= ,15设 ，若关于 的不等式 在 恒成立， 则 的取值范围为 .0ax93x）,(a16已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依 此
5、 类 推 .记 此 数 列 为 ， 则na。2018a- 3 -三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （本小题满分 10 分）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC, ,abc2， 3c1os4(1) 求 的值； (2) 求 的值bsin18 （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 。kxaxf 2)3()(2Ra,(1)若不等式 的解集为 ，求实数 值。0)(xf51,(2)当 时，解关于 x 的不等式 。3a0)(xf19 （本小题满分 12 分）已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.na24a32a4(1)求数列 的
6、前 n 项和 ；aS(2)设 ，求数列 的前 项和 .2log1nbnabnT20 （本小题满分 12 分）如图，已知圆内接四边形 ABCD 中，AB=3,AD=2,BCD=120 0(1)求线段 BD 的长与圆的面积。(2)求四边形 ABCD 的周长的最大值。21 （本小题满分 12 分）闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区，该小镇有一块 1800 平方米的矩形地块，开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部DCBA- 4 -分所示)种植柳树，形成柳中观鱼特色景观。假设池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池塘所占的总面积为 平方米 S(
7、1)试用 表示 a 及 ；x(2)当 取何值时，才能使得 最大？并求出 的最大值S22定义 为 n 个正数 的“均倒数” 。已知正项数列a n的前 np21 np,21项的“均倒数”为 。（1）求数列a n的通项公式。（2）设数列 的前 n 项和为 ，若 4 对一切 恒成立试12nanTn42m*Nn求实数 m 的取值范围。(3)令 ，问：是否存在正整数 k 使得 对一切 恒成立，如存在nnb)09( nkb求出 k 值，否则说明理由。参考答案及评分参考1.C 2C 3D 4B 5B6A 7. B 8. D 9B 10 D - 5 -11. B 12 C 13170 14. 15 16 2 6
8、,917解：（I）由余弦定理， ，2cosbaB得 ， 3 分221304b 5 分10（II）方法 1：由余弦定理，得 ， 8 分224109cos 8abcC 是 的内角， 9 分CAB 10 分236sincos8方法 2： ，且 是 的内角， 14ABC 6 分25sincosB根据正弦定理， ， iinbC 10 分153sin64i 80cBCb18.解：(1)由于不等式 的解集为 ，所以 1 与 5 为方程 的两根，)(xf51x0)(xf0)5(1f即 2 分025)3(2kkaa=3,k= 4 分1(用韦达定理计算同样得分)(2)a=3 时， ，解方程kxxf 2)3()(2
9、得 5 分0)(xf,12- 6 -由于 1- = 所以)32(k当 时， 此时不等式 的解集为 7 分10)(xf ,132,k当 时， 此时不等式 的解集为 9 分2k3kf,当 时， 此时不等式 的解集为 11 分10)(xf ,321,k综上当 时，不等式 解集为23k0)(xf ,132,k当 时，不等式 解集为f,当 时，不等式 解集为 12 分23k0)(xf ,321,k(如果误用第一结论，结果正确，可酌情给 2 分)19.解：（）设数列 的公比为 ，naq因为 ，所以 ， 1 分24a342因为 是 和 的等差中项，所以 2 分32 324aa即 ，化简得 244qq20q因
10、为公比 ，所以 4 分0所以 ,所以数列 的前 n 项和 = 6 分21qaa21)()(1nnnqaS1（）因为 ，所以 n2lognnb所以 8 分nab21则 ， nnT21539 分21132 n- 7 - 得 13221nnT= 1121n= 11 分121nn 123n所以 12 分nnT320.解：(1)由于四边形 ABCD 为圆内接四边形，所以BCD+BAD=180 0由题设知BCD=120 0，所以BAD=60 01 分在 中由余弦定理得BAD 022 6cosADBABD= =734 分7由正弦定理得 6 分RBR23760sin2 2R圆 的 面 积 37(2)解法一：设
11、CBD=，那么 0060 07 分在 中有正弦定理得BCD 012sinisinBDCB8 分)120(37si2379 分sinCD四边形 ABCD 的周长=5+ )120sin(37sin37= 11 分)60sin(3725由于 0060 0，所以 600+60 01200所以 +60 0=900即所以 =30 0时四边形 ABCD 的周长取得最大值 5+ 12 分321解法二：- 8 -设 ， ，在 中由余弦定理得 7 分xBCyDBC 02212cosyxBD8 分72yxx7)(29 分)(yx)(43231y四边形 ABCD 的周长 11 分15yx当且仅当 时上式取等号， 四边
12、形 ABCD 的周长最大值为321yx 321512 分(没有取等条件扣一分)21.(1)由题图形知，3 a6 x， a .2 分x 63则总面积 S a2 a 4 分(1 800x 4) (1 800x 6) a (5 400x 16) x 63 (5 400x 16)1 832 ，(10 800x 16x3)即 S1 832 (x0) 6 分(10 800x 16x3)（定义域没写扣一分）(2)由 S1 832 ，(10 800x 16x3)得 S1 8322 8 分10 800x 16x31 83222401 352(平方米) 9 分当且仅当 ，此时， x45. 11 分10 800x
13、16x3即当 x 为 45 米时， S 最大，且 S 最大值为 1 352 平方米 12 分22解：(1)设数列 的前 n 项和为 ，an由于数列a n的前 n 项的“均倒数”为 ，所以 nS1= 2 分S2- 9 -当 11San时当 22)1(2nnn时（对当 成立）4 分(2) = = 5 分12na)14(3( )143(n= = 6 分nT)954n 4( 对一切 恒成立2m*N1解之得 或即 m 的取值范围是 8 分51或(3)解法一： = 9 分nnab)09()2()由于 10911 nn= 10 分)29()0时 ， 时,nb1,nb1时 取得最大值，即存在正整数 k=10 使得 对一切 恒成立1nn k*N12 分解法二： = 9 分nnab)09()12()假设存在正整数 k 使得 则 为数列 中的最大项kbknb由 得 10 分1kb )32()1092()091kkk11 分 又 k=10 即存在正整数 k=10 使得 对29*Nnkb一切 恒成立12 分*Nn
