1、- 1 -福建省福州市第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理(考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分)第 I卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂1.命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 2.不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 3.“ ”是“a,b,c 成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.下列说法
2、正确的是（ ） A. 的最小值为 2 B. 的最小值为 4， C. 的最小值为 D. 的最大值为 15.已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则 等于（ ） A. B. C. D. 6.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，- 2 -每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人每天发大米 3 升，共发出大米 40392 升，问修
3、筑堤坝多少天”，在这个问题中，第 8 天应发大米（ ） A. 350 升 B. 339 升C. 2024 升 D. 2124 升7.若不等式 2kx2kx 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( ) A. (3,0) B. 3,0)C. 3,0 D. (3,08.在ABC 中，如果 ，且 B 为锐角，试判断此三角形的形状（ ）。 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形9.实数 满足 ，若 的最小值为 1，则正实数 （ ） A. 2 B. 1 C. D. 10.数列 中 ，且对任意的 都有 ，则 =（ ）A. B. C. D. 11.在 中，角
4、 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且，若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12.已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ） - 3 -A. B. C. D. 第 卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在答题卷的相应位置13.已知关于 的不等式 的解集是 ，则 _. 14.已知 ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为_. 15.北京 101 中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在 A 处，图书馆在 B 处，为测量 A，B 两地之间的距离，某同学选
5、定了与 A，B不共线的 C 处，构成ABC，以下是测量的数据的不同方案：测量A，AC，BC；测量A，B，BC；测量C，AC，BC；测量A，C，B. 其中一定能唯一确定 A，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_16.把数列 的各项依次排列，如图所示，则第 行的第 个数为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在平面四边形 中， （1）求 ; （2）若 求 . - 4 -18.数列 满足 . （1）证明：数列 是等差数列； （2）若 ，求 .19.设数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 60 项的和 T60. 20.AB
6、C 的外接圆半径 R= ，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 = （1）求角 B 和边长 b； （2）求 SABC 的最大值及取得最大值时的 a，c 的值，并判断此时三角形的形状 - 5 -21.已知：等差数列 中， ，且前 项和 满足条件 ， （1）求数列 的通项公式和 ； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 22.如图，某自行车手从 O 点出发，沿折线 OABO 匀速骑行，其中点 A 位于点 O 南偏东45且与点 O 相距 20 千米该车手于上午 8 点整到达点 A，8 点 20 分骑至点 C，其中点C 位于点 O 南偏东（45）（其中 sin= ，090）且与点 O 相距 5
7、千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上） （1）求该自行车手的骑行速度； （2）若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E，假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围内有长时间的持续强降雨试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由 - 6 -1.【答案】B 【解答】根据逆否命题的概念可知，命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”故答案为：B.【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题2.【答案】A 【解
8、答】由题意得 ，即 ，所以不等式的解集为 ，故答案为：A【分析】首先对不等式进行通分，变号。再运用分式不等式求解方法进行计算.3.【答案】B 【解答】解：因为 此时不能推出结论，反之就成立。因此条件是结论成立的必要不充分条件.故答案为：B【分析】结合必要条件和充分条件的概念，即可得出答案。4.【答案】D 【解答】解： ，定义域 ，所以值域为 ，所以无最小值。A 错误，当 时取等号，而 时 故不能取等号，B 错误的最小值为 1，C 错误。故答案为：D。【分析】解决本题时，需熟练掌握均值不等式的基本性质： ,且取等式- 7 -时，两项相等。即可判断 A，B 两项。针对一元两次不等式，只有当取对称轴
9、时，才能取得最值，C，D 可解。即可得出答案。5.【答案】C 【解答】a 1 ， a3 ， 2a 2成等差数列，a 3=a1+2a2 ， q 22q1=0，q=1+ ，q=1 （舍去）， 故答案为：C.【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据所给的三项成等差数列，写出关于公比的方程式，求解得到公比的值，最后把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，化简计算得到答案6.【答案】D 【解答】令派遣人数的等差数列为 ，设 ，其前 项和为 ，令 ，解得 . ，故要发米 升. 故答案为：D【分析】根据题意可得派遣人数为等差数列，结合等差数列的性质求出首项和公差的值，再把数值代入到等差数列前 n 项和公
10、式，由待定系数法求出n 的值即可。7.【答案】D 【解答】当 k0 时，显然成立；当 k0 时，即一元二次不等式 2kx2kx 0 对一切实数 x 都成立，则 解得3k0.综上，满足不等式 2kx2kx 0 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(3,0，故答案为：D.【分析】由二次项系数小于 0，对应的判别式小于 0 联立求解 一元二次不等式解法与求一元二次方程的根相似，大体上有十字相乘法，配方法，万能公式法- 8 -8.【答案】C 解答：因为 ，所以 ，又因为 B 是锐角，所以 因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，即 所以 cosC0，所以 所以 所以ABC 是等腰直角三角形。分析：由对数
11、运算性质可求得 B，由 可得 .由代入已知式子可得9.【答案】C 【解答】由 ,舍; 由 作可行域,则直线过点 A 取最小值 1,满足题意,所以 .故答案为:C【分析】先作出可行域,结合图形得在点 A 处取得最小值,从而求出 k 的值.10.【答案】C 【解答】 对任意的 都成立， ，即- 9 -， ，把上面 个式子相加可得， ， ，从而有 ， ，故答案为：C.【分析】先取 m=1 得到数列的递推式,用累加法求出数列的通项公式,再用裂项相消法求和.11.【答案】A 【解答】解：因为 ，所以 所以 因此 ， 选 A.【分析】利用余弦定理，代入计算，结合基本不等式可求 c 的取值范围。12.【答案
12、】C 【解答】解：因为 ，且 ，所以数列 是以 为首项、1 为公差的等差数列，则 ，即 ，令 ，得 ，又 ， ，- 10 -则 的最小值为 .故答案为：C【分析】构造一个等差数列，再结合等差数列小于 0 的部分组成的部分和最小，即可得出答案。13.【答案】2 【解答】化分式不等式为整式不等式 ，根据解集是 得， ,方程的两实根分别为 ， ，所以 = ，a=2【分析】将分式不等式转化为整式不等式 ，根据不等式的解集，结合不等式的解集与方程的解的关系，即可得出结论。14.【答案】9 【解答】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故答案是 9.【分析】利用题目条件成等
13、差数列，得出 ,然后将 a+4b 乘以 并利用基本不等式求出最后的最小值。15.【答案】 【解答】解：考查所给的四个条件：测量 A ， AC ， BC ， 已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有 2 个解，不能唯一确定点 A ， B 两地之间的距离；测量 A ， B ， BC ， 已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点 A ， B 两地之间的距离；测量 C ， AC ， BC ， 已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能- 11 -唯一确定点 A ， B 两地之间的距离；测量 A ， C ， B ， 知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A ，
14、 B 两地之间的距离；综上可得，一定能唯一确定 A ， B 两地之间的距离的所有方案的序号是.【分析】正确理解余弦函数 ，正弦函数 的含义，即可得出答案。16.【答案】 【考点】数列的应用 【解答】第 行有 个数；第 行有 个数；第 行有 个数，,第 行有 个数，前 行共有 个数，第 行第 个数是数列 的第 项为 ，故答案为 .【分析】由图可得数阵中的前 10 行共有 1+3+5+19 个数，进而可得第 11 行第 15 个数对应的位置17.【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 .由题设知， ，所以 .由题设知， ，所以 .（2）解：由题设及（1）知， .- 12 -在 中，由余弦定理得.所
15、以 . 【分析】:(1)在三角形 ABD 中,由正弦定理求出 ,再由同角关系式求出 ;(2)由 ,求出 ,再在 中由余弦定理求出 BC.18.【答案】（1）解：由已知可得 ，即 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.（2）解：由（1）得 ，所以 ，【分析】（1）由题意，可化简得 ，即可得到数列表示首项为 1，公差我 1 的等差数列；（2）由（1）可得 ，在利用并项法，即可求解数列的前 n 项和。- 13 -19.【答案】（1）解： 数列 满足 时， -得 ，即 当 n=1 时， 适合上式， （2）解：令 ，即 【分析】(1)结合题意对 n 赋值得到关于该数列的两个代数式，两式相减即可得出数
16、列 an的通项公式，经过验证从而得到数列的通项公式。(2)首先整理数列的通项公式再由裂项相消法即可求出 T60的值。20.【答案】（1）解： ， 2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC，可得 2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），在ABC 中，sin（B+C）=sin（A）=sinA0，2sinAcosB=sinA，可得 cosB= 又B（0，）， ，由正弦定理 ，可得 b=2RsinB=2 sin =3（2）解：b=3， ， 由余弦定理 b2=a2+c22accosB，得 a2+c2ac=9，因此，ac+9=a 2+c22ac，可得 ac9，
17、当且仅当 a=c 时等号成立，S ABC = = ， - 14 -由此可得：当且仅当 a=c 时，S ABC 有最大值 ，此时 a=b=c=3，可得ABC 是等边三角形 21.【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ,由 得： ，所以 ，且 ，所以 （2）解：由 ，得 所以 ， ， 得所以 【分析】（1）可以带入特殊值法，代入 n=1,计算出首项和通项，再利用前 n 项和计算得到答案。（2）本道题目可以采取错位相减法计算前 n 项和。22.【答案】（1）解：由题意，知：OA=20 ，OC=5 ， AOC=，sin= 由于 090，所以 cos= = - 15 -由余弦定理，得 AC=V=5 所
18、以该自行车手的行驶速度为 =15 （千米/小时）（2）解：如图， 设直线 OE 与 AB 相交于点 M在AOC 中，由余弦定理，得：cosOAC= = = ，从而 sinOAC= = 在AOM 中，由正弦定理，得：OM= = =20，由于 OE=27.540=OM，所以点 M 位于点 O 和点 E 之间，且 ME=OEOM=7.5过点 E 作 EH AB 于点 H，则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离 在 RtEHM 中，EH=EMsinEMH=EMsin（45OAC）=7.5 = 3.5所以该自行车手会进入降雨区 【分析】（1）根据余弦定理，即可求出 AC 的长，即可求出自行车的速度，（2）先根据余弦定理，即可求出 cosOAC，再根据正弦定理可得 OM，再在 RtEHM 中，求出 EM 的大小，比较即可
