1、- 1 -铜仁一中 2019 届高三第二次月考（文科数学）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】算出集合 和集合 后可得 .【详解】 ， ，故 ，选 D.【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2.已知 为虚数单位，则复数 （ ）A. -1 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法计算即可.【详解】 ，故选 C.【点睛】本题考查复数的运算，对于除法运算，只需分子和分母同时乘以分母的共轭复数即可计算，这类问题属于基础题.3.在等比数列 中， 是方程 的两根，则 =( )A. B. C. D. 【答
2、案】B【解析】【分析】利用韦达定理得到 ，再利用数列的性质计算 .【详解】因为 是方程的根，故 且 ，由 是等比数列可知，故 ，- 2 -因为 ，故 ，故 ，选 B.【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：（1）若 ，则 ；（2） 且 ；（3） 且 为等差数列；（4） 为等差数列.4.执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则输入的 为（ ）A. 2 B. 4 C. -2 或 1 D. 2 或 16【答案】C【解析】【分析】流程图的功能是计算函数 的函数值.【详解】根据流程图有 ，当 时，有 或 ，故或 ，故选 C.【点睛】本题考查算法中的选择结构，弄清每一个选择分支的功能是关
3、键，此类问题属于基- 3 -础题.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 35 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，一条侧棱垂直于底面，根据三视图中的数据可以得到底面直角梯形的上下底边长和高，也能得到棱锥的体高，利用棱锥的体积公式可得该几何体的体积.【详解】三视图对应的几何体如图所示：其底面为直角梯形 ，其中 ，平面 ，且 ，故体积为 ，故选 B.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系及几何量的对应的关系- 4 -6.已知双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为( )A. B. C. D. 【
4、答案】D【解析】【分析】利用双曲线的离心率得到 关系后可以得到椭圆的离心率【详解】由双曲线的离心率为 可得 ，故 ，故椭圆的离心率为 ，故选 D【点睛】圆锥曲线的离心率的计算，关键是找到 的一个关系式即可，注意双曲线和椭圆中 的意义不一样，关系也不一样，双曲线中实半轴长 、虚半轴长 和半焦距长 满足，而在椭圆中长半轴长 、短半轴长 和半焦距长 满足 7.已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】为 上的奇函数且为单调增函数，故不等式 等价于 ，利用单调性可解不等式【详解】 ，当 时， ，故 ，所以 为 上的增函数又 ，故 为 上的奇函数，因 等价
5、于 ，故 ，故 ，故选 C【点睛】函数值的大小关系与自变量大小关系的转化，常需要利用函数的单调性和奇偶性来转化，如果函数较为复杂，应把函数函数看出一些简单函数的加、减等，再利用导数等工具- 5 -判别这些简单函数的单调性等性质即可8.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ,则C. 若 ,则 D. 若 ， 则【答案】D【解析】【分析】以正方体为模型逐个验证四个选项后可得正确的选项【详解】如图，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，但 ，故A 错；平面 平面 ， 平面 ， ，但 平面 ，故 B 错；， 平面 ， 平面 ，但平面 平面 ，故 C 错；
6、对于 D，因为 ， ，所以 ，而 ，所以 综上，选 D【点睛】本题考查立体几何中的点、线、面的位置关系，具有一定的综合性解决这类问题，可选择一些常见的几何模型，在模型中寻找符合条件的位置关系或反例9.已知函数 在 上是减函数，则 的最大值是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】- 6 -，因 在 是减函数得到 在 恒成立可得实数 的最大值【详解】 ，由题设，有 在 上恒成立，所以，故 ， 所以 ，因 ，故 即 ， 的最大值为 ，故选 A【点睛】一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 10.已知 是等差
7、数列， , ,那么使其前 项和 最大的 是（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】【分析】因 ，故公差小于零，再根据前 项和的函数特征可得 时 最大【详解】因 ，故公差小于零，数列 的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为 ，故 时 最大【点睛】等差数列的通项公式和前 和公式有如下函数特征：（1）等差数列 的通项可写为 ，当 时，数列 的散点图分布在一次函数的图像上，且直线的斜率就是公差（2）等差数列 的前 项和可写为 ，当 时，数列 的散点图分布在二次函数 上，该二次函数的图像恒过 ，当 时，散点图开点向上，当 ，散点图开口向下11.已知函数 的部分图象如图所示，则函数图
8、象的一个对称中心可能为（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图像算出函数的周期，进而根据图像上的对称中心得到其他的对称中心后可得正确的选项【详解】由图像可知 的周期为 ，故 图像的对称中心为 ， ，当时，有对称中心为 ，故选 D【点睛】 的图像上相邻两条对称轴之间的距离为半周期，相邻两个对称中心之间的距离为半周期三角函数的图像和性质大多数和其对称轴和对称中心相关12.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】不等式 存在整数解等价于 的图像有部分在直线 的下方且这部分图像上有横坐标为整数
9、的点，用导数刻画 的图像后考虑动直线 的变化- 8 -趋势从而得到实数 的取值范围【详解】令 ，则 ，当 时， ，所以 在 上是单调减函数；当 时， ，所以 在 上是单调增函数；所以 的图像如图所示：直线 恒过点 ，设过 的直线与曲线 相切于点 且切线方程为：，代入 ，故 ，解得 或者 ，当 时， ，所以当 时，直线 可与 在 轴下方的图像相交因为 有且只有一个整数解，故曲线 上的点 在直线下方， 在直线上方或在直线上，故 即 ，故选 B【点睛】导数背景下的不等式有解问题，可直接利用导数考虑不等式对应的函数，如果该函数的导数的零点不易求得，则可以考虑把不等式有解问题转化为函数图像的位置关系问题
10、，其中一个函数的图像是确定的，另一函数的图像是动态变化的（通常为动直线等） ，观察两者之间的关系可得参数的取值范围二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.已知实数 ， 满足不等式组 目标函数 ，则 的最大值为- 9 -_【答案】3【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线 可得 的最大值【详解】不等组对应的可行域如图所示，当动直线 过 是 有最大值，由 得 ，故 ，此时 ，填 3【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如 表示动直线 的横截距的三倍 ，而 则表示动点 与 的连线的斜率14.已知 ， ，若
11、 ，则 和 的夹角是_.【答案】【解析】【分析】利用 得到 的值，再利用 得到两向量的夹角【详解】因为 ，故 ，故 即 ，故 ，因 ，故 ，填 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，- 10 -.特别地，两个非零向量 垂直的充要条件是 .15.若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为_.【答案】【解析】试题分析：因为 为圆 的弦 的中点，所以圆心坐标为 ， 所在直线方程为 ，化简为 ，故答案为 .考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.16.若 ， ， ，满足： ， ，则的值为_.【答案】【解析】【分析】可化为 ， 可化为，从而构造函
12、数 ，利用 为奇函数且在 为增函数可得 ，从而可得所求之值.【详解】由题设有 且 ，令 ， ，因 ，故 为 上的奇函数.当 ， ，故 为 上的增函数，所以 为 上的增函数.又可化为 ， ，故 即 ，其中，所以即 ，所以 ，故填 .【点睛】本题中共有 3 个变量，我们需从两个方程中求解一个定值，因此需要从两个方程中- 11 -寻找变量之间的等量关系，两个方程具有一定的相似性，故可以构建新函数，通过新函数的性质如单调性、奇偶性等得到两个变量的等量关系.三、解答题（每小题 12 分）17.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
13、【答案】 （1） ；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用 得到 ，再利用等比数列的通项公式求解.（2）利用裂项相消法求前 项 .【详解】 （1）当 时， ，整理得 ，当 时，有 .数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列， 所以 （2）由（1）有 ，则 ， 故 ，故原不等式得证.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18.贵州省铜仁第一中学为弘扬优良传统，展示 80 年来的办学成果，特举
14、办“建校 80 周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者，在众多候选人中选取 100 名志愿者，为了在志愿者中选拔出节目主持人，现按身高分组，得到的频率分布表如图所示.- 12 -（1）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为选拔出主持人，决定在第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 人上台，求第 3、4、5 组每组各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，主持人会在上台的 6 人中随机抽取 2 人表演诗歌朗诵，求第 3 组至少有一人被抽取的概率？【答案】 （1）直方图见解析；（2）3,2,1；（3） .【解析】- 13 -【分析】（1）根第
15、二组的频率计算第二组的频数，再根据总人数得到第三组的频数和频率，从而可补全频率分布表并制作频率分布直方图.（2）按比例计算各组抽取人数.（3）用枚举法列出所有的基本事件后用古典概型的概率公式计算即可.【详解】第二组的频数为 ，故第三组的频数为 ，故第三组的频率为 ，第五组的频率为 ，补全后频率分布表为：组号 分组 频数 频率第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合计 100 1频率分布直方图为：- 14 -（2）第三组、第四组、第五组的频率之比 ，故第三组、第四组、第五组抽取的人数分别为 .（3）设第三组中抽取的三人为 ，第四组中抽取的两人为 ，第五组中抽取的一人为 ，则 6 人中任意抽取两
16、人，所有的基本事件如下：，故第三组中至少有 1 人被抽取的概率为 .【点睛】根据频率分布表绘制频率分布直方图时，注意小矩形的高是频率除以组距，各小矩形的面积和为 .计算古典概型的概率时，可用枚举法列出所有的基本事件以便于概率的计算.19.已知 ，设命题 函数 在 上单调递减，命题 函数的图像与 交于不同的两点如果 为假， 为真，求实数 的取值范围【答案】【解析】【分析】先计算 为真时 的取值范围，再计算 为真时 的取值范围，利用 真 假和 假 真得到实数 的取值范围【详解】当命题 为真，即函数 在 上单调递减时，可得 - 15 -当命题 为真，即函数 的图像与 交于不同的两点，所以 有两个不同
17、的根所以 ，解得 或 ，又 ，所以当 为真命题时，有 或 为真， 为假， 真 假或 假 真若 真 假，则 ，解得 ；若 假 真，则 ，解得 实数 的取值范围是 【点睛】对于 为真， 为假的问题，我们一般先求出 真时参数的范围，再求出 为真时参数的范围，通过 真 假和 假 真得到最终的参数的取值范围20.已知 ，记 .（1）当 ,求 的值域；（2）在 中， ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ，求 周长的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标运算和降幂公式、辅助角公式可得 ，算出的取值范围可得函数的值域（2）由 可得 ，再由余弦定理得到 ，由基本不等式
18、可以得到 ，最后利用两边之和大于第三边得到 【详解】 （1）由题意得 原式- 16 -，因为 ，所以 ，当 即 时， ；当 即 时， 故 的值域为 (2)由题意可得 ,故 ，又因为 ,则 ，由余弦定理可得， ,即 又因为 ，所以 ，所以 ,当且仅当 等号成立，故三角形周长的取值范围是 .【点睛】形如 的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为 的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、值域、对称轴方程和对称中心等21.已知函数（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；（2）当 时，判断函数 的单调性；（3）当 且 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值【答案】 （1） ；（2） 的单
19、调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ；（3）3.【解析】【分析】（1）求出 及 后可得切线方程（2） ，故 ，讨论 上 的符号可得函数的单调区间- 17 -（3） 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，令 ，利用导数可得函数 的极小值点 且 ，利用 可化简 ，从而可得整数 的最大值【详解】 （1）当 时，函数 的导函数 ,则切线的斜率 ，而 ，所以直线的切线方程为 ,即 （2）依题意可得 所以 .故 ，列表讨论如下：单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 (3)当 时， ，原不等式可化为 ，即 对任意 恒成立令 ，则 ，令 ，则 ， 在 上单调递增
20、 ， ， 存在 使 即 ，当 时， ，即 ；当 时， ，即 - 18 - 在 上单调递减，在 上单调递增由 ，得 ， ， ， .【点睛】 （1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；（2）一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 （3）不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以相应的最值范围四、
21、选做题（本小题 10 分,第 22 题和第 23 题选做一题；若两题都做，按 22 题给分）22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，曲线 （ 为参数） （1）求曲线 和 的普通方程；（2）若点 在曲线 上运动，试求出 到曲线 的距离的最小值【答案】 （1） ；（2） 【解析】【分析】（1）利用 可得曲线 的直角方程，利用 可得 的普通方程（2）设 ，利用点到直线的距离公式可得 到直线的距离，再利用辅助角公式化简后可得距离的最小值- 19 -【详解】 （1）曲线 的普通方程为 ，将 ： 代入 中，得 （2）因 ，则 到直线 的距
22、离为：，当 时取最小值 ，此时 【点睛】 （1）极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是 参数方程化为直角方程，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等（2）圆锥曲线上的动点到定直线距离的最值问题可以用圆锥曲线的参数方程来简化计算23.已知函数 .（1）若 ，解不等式 ；（2）若不存在实数 ，使得不等式 ，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法求不等式的解（2）原不等式无解等价于 恒成立，即 ，解这个不等式可得实数 的取值范围【详解】 （1） ， ，当 时， ，解得 ，所以当 时， ，解得 当 时， ，解得 ，所以 ，综上所述，不等式 的解集为 .（2）不存在实数 ,使得不等式 等价于 恒成立，即 恒成立.因为 ，所以 ，- 20 -当 时， ，解得 当 时， ，解得 所以 时，不存在实数 ，使得不等式 .【点睛】解绝对值不等式，关键在于去掉不等式中的绝对值符号，可用零点分段讨论的方法去掉绝对值符号另外，不等式无解问题可以转化为恒成立问题来处理
