1、12018-2019 学年度上学期省六校协作体高三期初考试数学（理）试题第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 2若复数 满足 （ 为虚数单位），则A. B. C. D. 3已知 ，则 =（ )54)cos(A. B. C. D. 4已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 ( )A. 1 B. C. 2 D. 5算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和
2、数学知识起到了很大的作用如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的 a 值为 5，则输出的值为（ ）A. 19 B. 35 C. 67 D. 1986某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为2A. 1 B. 2C. 3 D. 47已知 ，则 的大小关系为A. B. C. bca D. cab8若实数 满足不等式组 ，则目标函数 的最大值是（ ）A. B. C. D. 9将函数 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位得到函数 图象，在 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A. B. C.
3、 D. 10已知函数 ，若函数 恰好有两个零点，则实数 等于（为自然对数的底数）（ ）A. B. C. D. 311已知双曲线 ，过其右焦点 且平行于一条渐近线的直线 与另一条渐近线交于点 ， 与双曲线交于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 212已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，3fx3,Mtyfx则实数 的取值范围是( )tA. B. C. D. 9,1818,18,6,6第卷二、填空题：本大题共四小题，每小题 5 分，满分 20 分。13在 中，面积 ，则角 的大小为_14直线 与曲线 交于两点，且这两点关于直线对称，则 _15已知球面上有四个点 ， ，
4、， ，球心为点 ， 在 上，若三棱锥ABCDOCD的体积的最大值为 ，则该球 的表面积为_ABCD8316等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 _三、解答题：满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。17已知函数 ， . （1）求 的单调递增区间；（2） ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 ，角 B 所对边 ，若 ，求 ABC 的面积.418随着经济的发展，人民的收入水平逐步提高，为了解北京市居民的收入水平，某报社随机调查了 名居民的月收入，得到如下的频率分布直方图：（1）求 的值及
5、这 名居民的平均月收入 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）通过大数据分析，北京人的月收入服从正态分布 ，其中 ， ，求北京人收入 落在 的概率；将频率视为概率，若北京某公司一部门有 3 人，记这 3 人中月收入落在 的人数为 ，求 的数学期望.附：若 ，则19如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120，A1A=4，C 1C=1，AB=BC=B 1B=2（）证明：AB 1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值20已知函数 ，其中(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)当 时，求函数
6、 的单调区间与极值.521在平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的短轴长为 ，离心率 （1）求椭圆 的方程；（2）已知 为椭圆 的上顶点，点 为 轴正半轴上一点，过点 作 的垂线 与椭圆 交于另一点 ，若 ，求点 的坐标选考题：共 10 分。请同学们在第 22 和 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44；坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)在以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为()写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；()设点 .若直线 与曲线 相交于不同的两点 ，求 的值23选修 45；不等
7、式选讲设函数 的最小值为 .(1)求不等式 的解集；6(2)已知 ，证明:参考答案1D 2D 3B 4A 5C 6C 7D 8B 9A 10C 11B12A13 142 15 161617（1） ;（2）（1）函数 由 ，解得 时， ，可得 的增区间为 6分（2）设ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 ，角 B 所对边 b=5，若 ，即有 解得 ，即由余弦定理可得 a2=b2+c22 bccosA，化为 c25 c+6=0，解得 c=2 或 3， 10 分若 c=2，则 即有 B 为钝角， c=2 不成立，则 c=3，ABC 的面积为 12 分18(1) ; .(2) ， .详解：（1）由已知
8、得： ，解之得： ，； 4 分（2）因为 ，所以所以 . 8 分由频率分布直方图可知由频率分布直方图可知所以 ，所以 . 12 分719（）见解析；（） .详解：方法一：（）由 得 ，所以 .故 .由 ， 得 ，由 得 ，由 ，得 ，所以 ，故 .因此 平面 .方法二：（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB， OC 为 x， y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由 得 .由 得 .所以 平面 . 6 分（）设直线 与平面 所成的角为 .由（）可知 设平面 的法向量 .由 即 可取 .所以 .直线 与平面 所成的角的正弦值是 . 12 分8
9、20（1） ；（2）见解析（1）当 时， 此时 .所以 ，又因为切点为 ，所以切线方程 ，曲线 在点 处的切线方程为 . 4 分（2）由于 ，所以 ， 由 ，得 ， ， 6 分(i)当 时，则 ， 易得 在区间 ， 内为减函数，在区间为增函数，故函数 在 处取得极小值 ，函数 在 处取得最大值 ；（ii）当 时，则 ， 易得 在区间 内为增函数，在区间 为减函数，故函数 在 处取得极小值 ；函数 在 处取得极大值 . 12 分921(1) .(2) .详解：（1）因为椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ，所以 解得 所以椭圆 的方程为 4 分（2）因为 为椭圆 的上顶点，所以 设 （ ），则 .又
10、，所以 ，所以直线 的方程为 .由 消去 整理得 ，所以 ， 8 分所以 ，在直角 中，由 ，得 ，所以 ，解得 .所以点 的坐标为 12 分22(1) ； .(2) .详解： ()由直线 的参数方程消去参数 ，得化简，得直线 的普通方程为又将曲线 的极坐标方程化为 ， ，曲线 的直角坐标方程为 . 5 分10（）将直线 的参数方程代入 中，得化简，得 .此时 .此方程的两根为直线 与曲线 的交点 对应的参数 ， .由根与系数的关系，得 ，由直线参数的几何意义，知 10 分23（1） （2）见解析详解：(1)因为 ,当 ,即 时取等号,则 的最小值为 ,所以 .由 ,得即 ,所以不等式的解集是 . 5 分(2)因为 ，则 ，得 同理所以 10 分
