1、- 1 -2016-2017 学年度下学期高二年级第二次阶段性考试理科数学一、选择题：（每题 5 分，满分 60 分）1. 复数A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得 ，故选 D考点：复数的运算2. 下列说法：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，标准差也变为原来的 倍；设有一个回归方程 ，变量 增加 1 个单位时， 平均减少 5 个单位；线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；在某项测量中，测量结果服从正态分布 ，若位于区域 的概率为 0.4，则位于区域 内的概率为 0.6利用统计量 来判断“两个事件 的关系”时，算出的 值越大，判断
2、“ 与 有关”的把握就越大其中正确的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】逐一考查所给的说法：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，标准差也变为原来的 倍，原说法错误；设有一个回归方程 ，变量 增加 1 个单位时， 平均减少 5 个单位，原说法正确；线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错误；在某项测量中，测量结果服从正态分布 ，若位于区域 的概率为 0.4，则位于区域 内的概率为 0.5，原说法错误；- 2 -利用统计量 来判断“两个事件 的关系”时，算出的 值越大，判断“ 与 有关”的把握就越大，原说法正确.本题选
3、择 B 选项.3. 的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为定积分 ，结合定积分的几何意义可知圆心为（1,1） ，半径为 1 的四分之一个圆的面积减去得到，即为 ，选 A.4. 设定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，若 ，则A. B. C. D. 与 的大小不能确定【答案】C【解析】解析：由题设可知函数 的图像关于直线 成轴对称，且当 是增函数，当 时是减函数，因为 ，且 ，所以 ，应选答案 C。5. 书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取一本书，取后不放回，若第一次从书架取出一本数学书记为事件 ，第二次从书架取出一本数学书记为事件 ，则A. B. C.
4、 D. 【答案】C【解析】第一次从书架取出一本数学书有 种方法，其中第二次从书架取出一本数学书有 种方法，据此可得，所求概率值为 .本题选择 C 选项.6. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点，- 3 -1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点，则第 11 行的实心圆点的个数是A. 21 B. 34 C. 55 D. 89【答案】C【解析】根据 1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点，1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点，知：第 1 行的实心圆点的个数是 0；第 2 行的实心圆点的个数是
5、1；第 3 行的实心圆点的个数是 1=0+1；第 4 行的实心圆点的个数是 2=1+1；第 5 行的实心圆点的个数是 3=1+2；第 6 行的实心圆点的个数是 5=2+3；第 7 行的实心圆点的个数是 8=3+5；第 8 行的实心圆点的个数是 13=5+8；第 9 行的实心圆点的个数是 21=8+13；第 10 行的实心圆点的个数是 34=13+21；第 11 行的实心圆点的个数是 55=21+34.本题选择 C 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一
6、个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项7. 若 的展开式中没有常数项，则 的可能取值是A. 7 B. 8 C. 9 D. 10- 4 -【答案】C【解析】由题意可得( x+x3)n的展开式中没有常数项，且没有 x1项，且没有 x2项。而( x+x3)n的展开式的通项公式为 故 n4r=0 无解，且 n4r=1 无解，且 n4r=2 无解。结合所给的选项可得， n=9，本题选择 C 选项.8. 三位同学乘一列火车，火车有 10 节车厢，则至少有 2 位同学上了同一车厢的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用分步乘法原理求出
7、三位同学乘同一列火车乘车方式；利用排列求出没有同学在同一节车厢的乘车方式，利用古典概型的概率公式求出没有同学在同一节车厢的概率；利用对立事件的概率公式求出至少有 2 位同学上了同一车厢的概率解答：解：三位同学乘同一列火车，所有的乘车方式有 103=1000没有同学在同一节车厢的乘车方式有 A103=1098=720没有同学在同一节车厢的概率为 = 至少有 2 位同学上了同一车厢的概率为 1- =故选 D9. 已知函数 ，则 的图象大致为A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 ， ,得该函数在 递减，在 递增，且当 时，所以函数 的定义域为 ，且在 递增，在 递减.- 5 -从而选 A.1
8、0. 某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置） ，其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种【答案】B【解析】若 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的 2 个家庭，有种方法，若 户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的 2 名小孩来自剩下的 3 个家庭中的一个，有 ，所以共有 12+12=24 种方法，故选；B.11. 设函数 在区间 上的导函数
9、为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数” 已知，若对任意的实数 满足 时，函数 在区间 上为“凸函数”，则区间 可以是A. B. C. D. 【答案】C【解析】当| m|2 时, f( x)=x2mx3x23 恒成立。当 x=0 时, f( x)=30, ， m 的最小值是2, ，从而解得 00，函数 t(x)是单调增函数， t(x)(0, e)( e,4e2)， a .本题选择 D 选项.点睛：2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为 0 的点；含参数时，要讨论参数的大小3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过
10、认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得 二、填空题：（每题 5 分，满分 20 分）13. 如果复数 满足 ，那么 的最小值是 _【答案】1【解析】复数 z 满足|z+3i|+|z3i|=6，z 的几何意义是以 A(0,3),B(0,3)为端点的线段 AB，则|z+1+i|=|z( 1i)|的几何意义为 AB 上的点到 C(1,1)的距离，则由图象知 C 到线段 AB 的距离的最小值为 1，- 7 -14. 将 A，B，C，D，E 这 5 名同学从左至右排成一排，则 A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有一名同学的排法有_种.【答案】29【解析】根据题意，
11、分 2 种情况讨论：、若 A 与 C 之间为 B，即 B 在 A. C 中间且三人相邻，考虑 A. C 的顺序,有 种情况，将三人看成一个整体，与 D. E2 人全排列,有 种情况，则此时有 26=12 种排法；、若 A 与 C 之间不是 B，先 D. E 中选取 1 人,安排 A. C 之间,有 种选法，此时 B 在 A 的另一侧,将 4 人看成一共整体,考虑之间的顺序,有 种情况，将这个整体与剩余的 1 人全排列,有 种情况，则此时有 222=8 种排法；则一共有 12+8=20 种符合题意的排法.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生
12、的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法15. 甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏开始时每人拥有 3 张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片规定：当- 8 -一人拥有 6 张卡片或“出手”次数达到 6 次时游戏结束设游戏结束时“出手”次数为，则_.【答案】【解析】由题设知的可能求值为 3，4，5，6，. .16. 对任意的
13、正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立，则实数 的取值范围是 _ .【答案】【解析】由 x2(lnylnx)ay2=0(x,y0),可得： ,令 ，设 .令 g( t)0.解得 ,此时函数 g(t)单调递增；令 g( t)1 时, g(t)0;1t0 时, g(t)0.可得函数 g(t)的图象。因此当 时,存在两个正数,使得 成立，即对任意的正数 x，都存在两个不同的正数 y，使 x2(lnylnx)ay2=0 成立。- 9 -三、解答题.17. “开门大吉”是中央电视台推出的娱乐节目.选手面对 18 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方
14、式演绎） ，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位：岁） ，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.(1) 完成下列 22 列联表（见答题纸） ； (2)判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由.（下面的临界值表供参考）0.10 0.05 0.010 0.0052.706 3.841 6.635 7.879（参考公式： ， ）【答案】 （1）见解析；（2）有 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.【解析】试题分析：(1)利用题意完成题中的列联表即可；(2)由题意可得： ，则
15、有 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.- 10 -试题解析：年龄/正误 正确 错误 合计2030 10 30 403040 10 70 80合计 20 100 120（1）（2）有 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.18. 若等差数列 的首项为 ，公差是 展开式中的常数项，其中 为 除以 19 的余数，求通项公式 .【答案】 .【解析】试题分析：利用题意求得首项和公差，据此可得数列的通项公式为 .试题解析：由题意， ，又 ， =2，又 = 除以 19 的余数为 5，即 =5 又 ，令 ， ， .19. 浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛每 3 人组成一队，每人投掷- 1
16、1 -一次假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功” （靶面正方形 如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数的图像） 每队有 3 人“成功”获一等奖，2 人“成功” 获二等奖，1 人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖） （其中任何两位队员“成功”与否互不影响） （1）求某队员投掷一次“成功”的概率；（2）设 为某队获奖等次，求随机变量 的分布列及其期望【答案】 （1） ；（2） .试题解析：解：（）由题意知： ，记某队员投掷一次 “成功”事件为 A，则（）因为 为某队获奖等次，则 取值为 1、2、3、4.， ，- 12 -，即 分布
17、列为：1 2 3 4所以， 的期望考点：几何概型概率，定积分求曲线面积，随机变量分布列与数学期望值20. 在数列 中， ，当 时， 成等比数列。（1）求 ，并推出 的表达式；（2）用数学归纳法证明所得结论.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)利用递推关系求得数列的前 4 项，然后归纳数列的通项公式即可；(2)利用数学归纳法结合题意和(1)中的结论即可证得结论.试题解析：（1） 成等比数列， 由 代入得由 代入得同理可得 ，由此推出： .（2）证明：当 时，由（1）知成立，- 13 -（2）假设 时，命题成立，即 ， （舍），也就是说，当 时，命题也成立根据（1） （2）对
18、于任意 ， . 21. 已知函数（1）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；（2）当 时，不等式 恒成立，试求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可得 ，解方程即可求得 的值；（2）要使不等式 恒成立，可构造函数 ，转化为求函数的最小值，通过讨论 的范围得其单调性，求得其最小值，分别判断不等式是否成立即可求得 的范围试题解析：（1）已知 则 ，由题意知 ， 4 分（2）令则i）当 时， ，当 时， ，即函数 在 上为增函数 ，即当 时，- 14 -ii）当 时， ， 时， ，从而 ，即从而函数 在 上为减函数 时 ，这与题意不符综上所述当 时
19、， ， 的取值范围为 12 分考点：导数的几何意义及函数恒成立问题中参数的范围问题【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义及函数恒成立问题中参数的范围问题，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题 （1）中求 的值只需明确函数在某点处的导数就是其在该点的切线的斜率即可；本题的难点是第（2） ，把不等式的恒成立转化为求函数的最小值，通过讨论 的范围，得到 时，恰好成立，据此及 时的单调性即可排除这种情况，这种方法也是函数中常用的技巧22. 设 ，函数 （1）当 时，求 在 上的单调区间；（2）设函数 ，当 有两个极值点 时，总有 ，求实数 的值【答案】 （1）增区间是 ，减区间是 ；（2） .【解析】试题分析：(2)利用题意结合导函数的性质可得 .试题解析：（1）当 时， ，- 15 -则 ，令 ，则 .易知 在 上单调递减，又所以 在 上单调递减，又因为 ，所以当 时， ，从而 ，这时 单调递增，当 时， ，从而 ，这时 单调递减.所以 在 上的增区间是 减区间是 （2）由题可知 ，则 .根据题意方程 有两个不等实数根 且 ，令 得 ，且 ，所以由 ，其中 ，得 .将 代入左式得：，整理得 . 即不等式 对任意 恒成立. 当 时，得 当 时，即令 ，易知 是 上的减函数，所以 ，所以当 时，即 .- 16 -在 上也是减函数， ,所以综上所述
