1、1专题一 5 大数学思想方法类型一 分类讨论思想(2018临沂中考)将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 (0360)，得到矩形 AEFG.(1)如图，当点 E 在 BD 上时，求证：FDCD；(2)当 为何值时，GCGB？画出图形，并说明理由【分析】 (1)先判定四边形 BDFA 是平行四边形，可得 FDAB，再根据 ABCD，即可得出 FDCD；(2)当 GCGB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角 的度数【自主解答】 在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案1(20
2、18宿迁中考)在平面直角坐标系中 ，过点(1，2)作直线 l，若直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，则满足条件的直线 l 的条数是( )A5 B4 C 3 D2 2(2018随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件 20 元，设第 x 天(1x15，且 x 为整数)每件产品的成本是 p 元，p 与 x 之间符合一次函数关系，部分数据如表：2天数(x) 1 3 6 10每件成本 p(元) 7.5 8.5 10 12任务完成后，统计发现工人李师傅第 x 天生产的产品件数 y(件)与 x(天)满足如下关系：
3、设李师傅第 x 天创造的产品利润为 W 元(1)直接写出 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为 299 元工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20 元奖金请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二 数形结合思想(2018齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人 20 min 后乘坐小轿车沿同一路线 出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上 来之后，大客车以出发时
4、速度的 继续行驶，小轿车保持原速度不变小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在107驶过景点入口 6 km 时，原路提速返回，恰好与大客车同 时到达景点入口两车距学校的路程 s(km)和行驶时 间 t(min)之间的函数关系如图所示请结合图象解决下面问题：3(1)学校到景点的路程为_ km，大客车途中停留了_ min，a_；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待_分钟，大客车才能到达景点入
5、口【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算 a的 值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线 CD 的解析式，计算小轿车驶过景点入口 6 km 时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶 6 km 的速度与 80 km/h 作比较可得结论(4)利用路程速度时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可【自主解答】 把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决43(2018大
6、庆中考)如图，二次函数 yax 2bxc 的图象经过点 A(1，0)，点 B(3，0)，点C(4，y 1)，若点 D(x2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数 yax 2bxc 的最小值为4a；若1x 24，则 0y 25a；若 y2y 1，则 x24；一元二次方程 cx2bxa0 的两个根为1 和 .13其中正确结论的个数是( )A1 B2 C3 D44(2018苏州中考)如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y 在第一象限内的kx图象经过点 D 交 BC 于点 E.若 AB4，CE2BE，tanAOD ，则 k 的值为( )34A3 B2 C
7、6 D1235(2018上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y(升)与行驶路程 x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离5加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017江西中考)如图 1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角” 约为20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角” 约
8、为 100.图 2 是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕 BC 垂直(1)若屏幕上下宽 BC20 cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离 DG100 cm，上臂 DE30 cm，下臂 EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离 FH72 cm.请判断此时 是否符合科学要求的 100？(参考数据：sin 69 ，cos 21 ，tan 20 ，tan 43 ，所有结果精确到个位)1415 1415 411 1415【分析】 (1)在 RtABC 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长 FE 交 DG 于点 I，利用三角函数求得DEI 即可求
9、得 的值，从而作出判断【自主解答】 6把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等6(2018山西中考)如图，正方形 ABCD 内接于O，O 的半径为 2，以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积是( )A44 B48 C84 D887(2018黄冈中考)则 a ，则 a2 值为_1a 6 1a28(2018白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式
10、如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程已知CAB30，CBA45，AC640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据： 1.7， 1.4)3 27类型四 方程思想(2018娄底中考)如图， C，D 是以 AB 为直径的O 上的点， ，弦 CD 交 AB 于点 E.AC BC (1)当 PB 是O 的切线时，求证：PBDDAB；(2)求证：BC 2CE 2CEDE；(3)已知 OA4，E 是半径 OA 的中点，求线段 DE 的长【分析】 (
11、1)由 AB 是O 的直径知BADABD90，由 PB 是O 的切线知PBDABD90， 据此可得证；(2)连接 OC，设圆的半径为 r，证ADECBE，由 知AOCBOC90，再根据勾股定理即可AC BC 得证；(3)先求出 BC，CE，再根据 BC2CE 2CEDE 计算可得【自主解答】 在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化89(2018白银中考)若正多边形的内角和是 1 080，则该正多边形的边数是_10(2018上海中考)如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D，E 在ABC 的边 BC
12、上，顶点 G，F 分别在边AB，AC 上如果 BC4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是_类型五 函数思想(2017杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为 1 时，它的另一边长为 3.(1)设矩形的相邻两边长分别为 x，y.求 y 关于 x 的函数解析式；当 y3 时，求 x 的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为 6，方方说有一个矩形的周长为 10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】 (1)直接利用矩形面积求法进而得出 y 与 x 之间的关系；直接利用 y3 得出 x 的取值范围；(2)直接利用 xy 的值结合根的判别式得出答案【自主解答】
13、9在解答此类问题时，建立函数模型求出函数解析式结合函数解析式与函数的性质作出解答要注意从几何和代数两个角度思考问题11(2018桂林中考)如图，已知抛物线 yax 2bx6(a0)与 x 轴交于点 A(3，0)和点 B(1，0)，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线 y 的函数解析式及点 C 的坐标；(2)点 M 为坐标平面内一点，若 MAMBMC，求点 M 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点 E，使 4tanABE11tanACB？若存在，求出满足条件的所有点 E 的坐标；若不存在，请说明理由参考答 案类型一10【例 1】 (1)如图 1，连接 AF.由四边形 ABCD 是矩形，结合旋转可得
14、 BDAF，EAFABD.ABAE，ABDAEB，EAFAEB，BDAF，四边形 BDFA 是平行四边形，FDAB.ABCD，FDCD.(2)如图 2，当点 G 位于 BC 的垂直平分线上，且在 BC的右边时，连接 DG，CG，BG，易知点 G 也是 AD 的垂直平分线上的点，DGAG.又AGAD，ADG 是等边三角形，DAG60，60.如图 3，当点 G 位于 BC 的垂直平分线上，且在 BC 的左边时，连接 CG，B G，DG，同理，ADG 是等边三角形，DAG60，此时 300.综上所述，当 为 60或 300时，GCGB.变式训练1C 2解：(1)设 p 与 x 之间的函数关系式为 p
15、kxb，11代入(1，7.5)，(3，8.5)得解得k b 7.5，3k b 8.5， ) k 0.5，b 7， )即 p 与 x 的函数关系式为 p0.5x7(1x15，x 为整数)当 1x10 时，W20(0.5x7)(2x20)x 216x260.当 10x15 时，W20(0.5x7)4020x520，即 W x2 16x 260（ 1 x10， x为 整 数 ） ， 20x 520（ 10 x 15， x为 整 数 ） .)(2)当 1x10 时，Wx 216x260(x8) 2324，当 x8 时，W 取得最大值，此时 W324.当 10x15 时，W20x520，当 x10 时，
16、W 取得最大值，此时 W320.324320，李师傅第 8 天创造的利润最大，最大利润是 324 元(3)当 1x10 时，令x 216x260299，得 x13，x 213，当 W299 时，3x13.1x10，3x10.当 10x15 时，令 W20x520299，得 x11.05，10x11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是 4 月到 11 月，李师傅共获得奖金为 20(113)160(元)答：李师傅共可获得 160 元奖金类型二【例 2】(1)由图形可得学校到景点的路程为 40 km，大客车途中停留了 5min，小轿车的速度为 1(km/min)，4060 20a(3520)115.故
17、答案为 40，5，15.(2)由(1)得 a15，大客车的速度为 (km/min)1530 12小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(6035) (km)，40 15 (km)107 12 1257 1257 507答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有 km.50712(3)设直线 CD 的解析式为 sktb，将(20，0)和(60，40)代入得 解得20k b 0，60k b 40， ) k 1，b 20， )直线 CD 的解析式为 st20.当 s46 时，46t20，解得 t66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为 35(min)，40 1512107小轿车司机折返时的速
18、度为 6(353566) (km/min)90 km/h80km/h.32答：小轿车折返时已经超 速(4)大客车的时间： 80(min)，807010(min)4012故答案为 10.变式训练3B 4.A 5解：(1)设该一次函数解析式为 ykxb，将(150，45)，(0，60)代入 ykxb 中得解得150k b 45，b 60， ) k 110，b 60， )该一次函数解析式为 y x60.110(2)当 y x608 时，解得 x520，110即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升53052010(千米)，油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米答：在开往该加油
19、站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米类型三【例 3】 (1)RtABC 中，tan A ，BCABAB 55(cm)BCtan A BCtan 2020411(2)如图，延长 FE 交 DG 于点 I，则四边形 GHFI 为矩形，IGFH，DIDGFH1007228(cm)13在 RtDEI 中，sinDEI ，DIDE 2830 1415DEI69，18069111100，此时 不符合科学要求的 100.变式训练6A 7.8 8解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D.在 RtADC 和 RtBCD 中，CAB30，CBA45，AC640，CD320，AD320 ，
20、3BDCD320，BC320 ，2ACBC640320 1 088，2ABADBD320 320864，31 088864224(公里)答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将缩短约 224 公里类型四【例 4】 (1)AB 是O 的直径，ADB90，BADABD90.PB 是O 的切线，ABP90，PBDABD90，BADPBD.(2)ADCB，AEDCEB，ADECBE， ，即 DECEAEBE.DEBE AECE如图，连接 OC.14设圆的半径为 r，则 OAOBOCr，则 DECEAEBE(OAOE)(OBOE)r 2OE 2. ，AC BC AOCBOC90，CE 2
21、OE 2OC 2OE 2r 2，BC2BO 2CO 22r 2，则 BC2CE 22r 2(OE 2r 2)r 2OE 2，BC 2CE 2DECE.(3)OA4，OBOCOA4，BC 4 .OB2 OC2 2又E 是半径 OA 的中点，AEOE2，则 CE 2 .OC2 OE2 42 22 5BC 2CE 2DECE，(4 )2(2 )2DE2 ，2 5 5解得 DE .6 55变式训练98 10.127类型五【例 5】 (1)由题意可得 xy3，则 y .3x当 y3 时， 3，解得 x1，3xx 的取值范围是 0x1.(2)一个矩形的周长为 6，xy3，x 3，整理得 x23x30.3x
22、15b 24ac91230，矩形的周长不可能是 6，圆圆的说法不对一个矩形的周长为 10，xy5，x 5，整理得 x25x30.3xb 24ac2512130，矩形的周长可能是 10，方方的说法对变式训练11解：(1)将点 A，B 的坐标代入函数解析式得解得9a 3b 6 0，a b 6 0， ) a 2，b 4， )抛物线的函数解析式为 y2x 24x6，当 x0 时，y6，点 C 的坐标为(0，6)(2)由 MAMBMC 得 M 点在 AB 的垂直平分线上，M 点在 AC 的垂直平分线上设 M(1，y)，由 MAMC 得(13) 2y 2(y6) 2(10) 2，解得 y ，114点 M
23、的坐标为(1， )114(3)如图，过点 A 作 DAAC 交 y 轴于点 F，交 CB 的延长线于点 D.ACOCAO90，DAOCAO90，ACOAFO90，DAOACO，CAOAFO，AOFCOA， ，AOOF COAOAO 2OCOF.OA3，OC6，OF ，F(0， )326 32 32A(3，0)，F(0， )，32直线 AF 的解析式为 y x .12 32B(1，0)，C(0，6)，直线 BC 的解析式为 y6x6，16联立 解得y 12x 32，y 6x 6， ) x 1511，y 2411， )D( ， )，AD ，AC3 ，1511 2411 2411 5 5tanACB
24、 .24 5113 5 8114tanABE11tanACB，tanABE2.如图，过点 A 作 AMx 轴，连接 BM 交抛物线于点 E.AB4，tanABE2，AM8，M(3，8)B(1，0)，M(3，8)，直线 BM 的解析式为 y2x2.联立 y 2x 2，y 2x2 4x 6， )解得 或 (舍去)x 2，y 6 ) x 1，y 0， )E(2，6)17当点 E 在 x 轴下方时，如图，过点 E 作 EGAB，连接 BE.设点 E(m，2m 24m6)，tanABE 2，GEBG 2m2 4m 6 m 1m4 或 m1(舍去)，可得 E(4，10)综上所述，E 点坐标为(2，6)或(4，10)
