1、1第 2 课时 导数的运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一 和、差的导数已知 f(x) x， g(x) .Q(x) f(x) g(x)， H(x) f(x) g(x)1x思考 1 f(x)， g(x)的导数分别是什么？答案 f( x)1， g( x) .1x2思考 2 试求 y Q(x)， y H(x)的导数并观察 Q( x)， H( x)与 f( x)， g( x)的关系答案 y( x x) 1x x (x 1x) x ， xxx x 1 . y x 1xx x Q( x) lim x 0
2、 y x 1 .lim x 01 1xx x 1x22同理， H( x)1 .1x2Q(x)的导数等于 f(x)， g(x)的导数的和 H(x)的导数等于 f(x)， g(x)的导数的差梳理 和、差的导数f(x)g(x) f( x)g( x)知识点二 积、商的导数(1)积的导数 f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x) cf(x) cf( x)(2)商的导数 (g(x)0)fxgx f xgx fxg xgx2(3)注意 f(x)g(x) f( x)g( x)， .fxgx f xg x1若 f( x)2 x，则 f(x) x2.( )2函数 f(x) xex的导数是 f( x
3、)e x(x1)( )3当 g(x)0 时， .( )1gx g xg2x类型一 利用导数的运算法则求导例 1 求下列函数的导数(1)y3 x2 xcos x；(2)ylg x ；1x2(3)y( x23)(e xln x)；(4)y x2tan x；(5)y .exx 1考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则解 (1) y6 xcos x x(cos x)36 xcos x xsin x.(2)y(lg x)( x2 ) .1xln 10 2x3(3)y( x23)(e xln x)( x23)(e xln x)2 x(exln x)( x23) (ex1x)e x(x22 x3)2 xl
4、n x x .3x(4)因为 y x2 ，sin xcos x所以 y( x2) (sin xcos x)2 xcos2x sin x sin xcos2x2 x .1cos2x(5)yex x 1 x 1 exx 12exx 1 exx 12 .xexx 12反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算跟踪训练 1 求下列函数的导数(1)y ；2x3 3x x 1xx(2)y ；x2 1x2 3(3)y( x1)( x3)( x5)考点 导数的运算法则题点 导数的运算法
5、则解 (1) y23x312 x1 32， y31 x2 5.32 324(2)方法一 yx2 1 x2 3 x2 1x2 3x2 32 .2xx2 3 2xx2 1x2 32 4xx2 32方法二 y 1 ，x2 1x2 3 x2 3 2x2 3 2x2 3 y (12x2 3) ( 2x2 3) 2 x2 3 2x2 3x2 32 .4xx2 32(3)方法一 y( x1)( x3)( x5)( x1)( x3)( x5)( x1)( x3)( x1)( x3)( x5)( x1)( x3)(2 x4)( x5)( x1)( x3)3 x218 x23.方法二 y( x1)( x3)( x
6、5)( x24 x3)( x5) x39 x223 x15， y( x39 x223 x15)3 x218 x23.类型二 导数公式及运算法则的综合应用命 题 角 度 1 利 用 导 数 求 函 数 解 析 式例 2 (1)已知函数 f(x) 2 xf(1)，试比较 f(e)与 f(1)的大小关系；ln xx(2)设 f(x)( ax b)sin x( cx d)cos x，试确定常数 a， b， c， d，使得 f( x) xcos x.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 (1)由题意得 f( x) 2 f(1)，1 ln xx2令 x1，得 f(1) 2 f(1)，即 f(
7、1)1.1 ln 11 f(x) 2 x.ln xx f(e) 2e 2e， f(1)2，ln ee 1e由 f(e) f(1) 2e20)在 x x0处的导数为 0，那么 x0等于( )x2 a2xA a B aC a D a2考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则答案 B解析 y ，(x2 a2x ) 2xx x2 a2x2 x2 a2x2由 x a20，得 x0 a.203若函数 f(x)e xsin x，则此函数图象在点(4， f(4)处的切线的倾斜角为( )A. B0 C钝角 D锐角 2考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 C解析 f( x)e xsin xe xc
8、os x， f(4)e 4(sin 4cos 4)0 的解集为( )A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则答案 C解析 f(x) x22 x4ln x， f( x)2 x2 0，4x整理得 0，x 1x 2x解得12.又 x0， x2.5函数 f(x) xcos xsin x 的导函数是( )A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 B解析 f( x)( xcos x)(sin x)cos x xsin xcos x xsin x.令 F(x) xsin x，
9、 xR，则 F( x) xsin( x) xsin x F(x)， f( x)是偶函数6设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 ax y10 垂直，则 a 等于( )x 1x 1A2 B. C D212 12考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 D11解析 y 1 ，x 1x 1 2x 1 y ， =3|xy .2x 12 12 a 1，即 a2.(12)7在下面的四个图象中，其中一个图象是函数 f(x) x3 ax2( a21) x1( aR)的导函13数 y f( x)的图象，则 f(1)等于( )A. B13 13C. D 或73 13 53考点 导数的运算法则题点 导
10、数运算法则的综合应用答案 B解析 f( x) x22 ax( a21)，导函数 f( x)的图象开口向上，故其图象必为.由图象特征知 f(0)0，且对称轴 a0， a1，则 f(1) 11 ，故选 B.13 13二、填空题8设 f(5)5， f(5)3， g(5)4， g(5)1，若 h(x) ，则 h(5)fx 2gx_.考点 导数的运算法则题点 导数的运算法则12答案 516解析 由题意知 f(5)5， f(5)3， g(5)4， g(5)1， h( x) ，f xgx fx 2g xgx2 h(5)f 5g5 f5 2g 5g52 .34 5 2142 5169已知某运动着的物体的运动方
11、程为 s(t) 2 t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t 1t2t1 s 时物体的瞬时速度为_ m/s.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 5解析 因为 s(t) 2 t2 2 t2t 1t2 tt2 1t2 2 t2，1t 1t2所以 s( t) 2 4 t，1t2 1t3所以 s(1)1245，即物体在 t1 s 时的瞬时速度为 5 m/s.10已知函数 f(x) f cos xsin x，则 f 的值为_( 4) ( 4)考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 1解析 f( x) f sin xcos x，( 4) f f ，( 4) ( 4) 22
12、22得 f 1.( 4) 2 f(x)( 1)cos xsin x，2 f 1.( 4)11已知函数 f(x) xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 y f(x)相切，则直线 l13的方程为_考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 x y10解析 点(0，1)不在曲线 f(x) xln x 上，设切点坐标为( x0， y0)又 f( x)1ln x，Error!解得 x01， y00.切点坐标为(1,0)， f(1)1ln 11.直线 l 的方程为 y x1，即 x y10.12已知曲线 y xln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y ax2( a2) x1 相切
13、，则a_.考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 8解析 由 y xln x，得 y1 ，1x得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为 k =1|y2，所以切线方程为 y12( x1)，即 y2 x1.此切线与曲线 y ax2( a2) x1 相切，消去 y，得 ax2 ax20，所以 a0 且 a28 a0，解得 a8.三、解答题13偶函数 f(x) ax4 bx3 cx2 dx e 的图象过点 P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为y x2，求 f(x)的解析式考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 f(x)的图象过点 P(0,1)， e1.又 f(x)为偶函数，
14、f( x) f(x)故 ax4 bx3 cx2 dx e ax4 bx3 cx2 dx e. b0， d0. f(x) ax4 cx21.函数 f(x)在 x1 处的切线方程为 y x2，切点坐标为(1，1) a c11.14 f( x)|x1 4 a2 c，4 a2 c1. a ， c .52 92函数 f(x)的解析式为 f(x) x4 x21.52 92四、探究与拓展14在等比数列 an中， a12， a84，函数 f(x) x(x a1)(x a2)(x a8)，则 f(0)等于( )A2 6 B2 9C2 15 D2 12考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用答案 D解析
15、f( x) x( x a1)(x a2)(x a8) x(x a1)( x a2)(x a8) x(x a1)(x a2)(x a8)( x a1)(x a2)(x a8) x(x a2)(x a8) x(x a1)(x a2)(x a7)， f(0) a1a2a8( a1a8)48 42 12.15设函数 f(x) ax ，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 7x4 y120.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用解 (
16、1)由 7x4 y120，得 y x3.74当 x2 时， y ， f(2) ，12 12又 f( x) a ， f(2) ，bx2 74由得Error!解得Error!故 f(x) x .3x(2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 知，曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为3x2y y0 (x x0)，(13x20)15即 y (x x0)(x03x0) (1 3x20)令 x0，得 y ，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 .6x0 (0， 6x0)令 y x，得 y x2 x0，从而切线与直线 y x 的交点坐标为(2 x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形面积为 |2x0|6.12| 6x0|故 曲 线 y f(x)上 任 一 点 处 的 切 线 与 直 线 x 0， y x 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 定 值 ， 此 定 值 为6.
