1、113.1 函数的单调性与导数(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一 函数的单调性与导函数的关系思考 观察图中函数 f(x)，填写下表导数值 切线的斜率 倾斜角 曲线的变化趋势 函数的单调性f( x)0 k0 锐角 上升 递增f( x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果 f( x)0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式 f( x)0.( )类型一 函数图象与导数图象的应用2例 1 已知函数 y f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表 f(x)的导函数 y f( x
2、)的图象如图所示.x 1 0 4 5f(x) 1 2 2 1给出下列关于函数 f(x)的说法：函数 y f(x)是周期函数；函数 f(x)在0,2上是减函数；如果当 x1， t时， f(x)的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4；当 10，则 y f(x)在( a， b)上单调递增；如果 f( x)1 时， xf( x)0， f( x)0，故 y f(x)在(1，)上为增函数故选 C.类型二 利用导数求函数的单调区间命 题 角 度 1 不 含 参 数 的 函 数 求 单 调 区 间例 2 求下列函数的单调区间(1)y x2ln x；12(2)y x (b0)bx考点 利用导数求函数的单调区间
3、题点 利用导数求不含参数函数的单调区间解 (1)函数 y x2ln x 的定义域为(0，)，12又 y .x 1x 1x4若 y0，即Error!解得 x1；若 y0，则 (x )(x )0，1x2 b b所以 x 或 x0，函数在解集所表示的定义域内为增函数(4)解不等式 f( x)0，得 x1，由 f( x)0 时， f( x) ，a(x a 1a )x 1x a0， 0.a 1a由 f( x)0，得 x1，由 f( x)0，所以 f(x)在(，)上单调递增若 a0，则当 x(，ln a)时， f( x)0.所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上所述，当
4、a0 时，函数 f(x)在(，)上单调递增；当 a0 时， f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.1函数 f(x) xln x( )A在(0,6)上是增函数B在(0,6)上是减函数C在 上是减函数，在 上是增函数(0，1e) (1e， 6)D在 上是增函数，在 上是减函数(0，1e) (1e， 6)考点 函数的单调性与导数的关系6题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 A2若函数 f(x)的图象如图所示，则导函数 f( x)的图象可能为( )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 C解析 由 f(x)的图象可知，函数 f(x)的单调
5、递增区间为(1,4)，单调递减区间为(，1)和(4，)，因此，当 x(1,4)时， f( x)0，当 x(，1)或 x(4，)时，f( x)0，即 ln x10，得 x .1e故函数 f(x)的单调递增区间为 .(1e， )4若函数 f(x) x3 bx2 cx d 的单调递减区间为1,2，则b_， c_.考点 利用导数求函数的单调区间7题点 已知单调区间求参数值答案 632解析 f( x)3 x22 bx c，由题意知， f( x)0 即 3x22 bx c0 的两根为1 和 2.由Error! 得Error!5试求函数 f(x) kxln x 的单调区间考点 利用导数求函数的单调区间题点
6、利用导数求含参数函数的单调区间解 函数 f(x) kxln x 的定义域为(0，)，f( x) k .1x kx 1x当 k0 时， kx10 时，由 f( x)0，即 0，解得 x .kx 1x 1k当 k0 时， f(x)的单调递减区间为 ，(0，1k)单调递增区间为 .(1k， )综上所述，当 k0 时， f(x)的单调递减区间为(0，)；当 k0 时， f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，1k) (1k， )1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函
7、数 f(x)的定义域；(2)求导数 f( x)；(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f( x)0 和 f( x)0，所以在(4,5)上， f(x)是增函数2函数 y f(x)的图象如图所示，则导函数 y f( x)的图象可能是( )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象9答案 D解析 函数 f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当 x0 时， f( x)0)，函数在(，0)上单调递减，在(0， a)上单调递增，在( a，)上单调递减，故选 C.4函数 f(x) xe x的一个单调递增区间是( )A1,0 B2,8C1,2 D0,2考点 利用导数求函数的单调区
8、间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间答案 A解析 因为 f( x) (1 x)e x0，ex xexex2又因为 e x0，所以 x0， y xex在(0，)内为增函数6.函数 f(x)的导函数 f( x)的图象如图所示，若 ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A f(cos A)f(sin B)D f(sin A)f(cos B)考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 D解析 根据图象知，当 00， f(x)在区间(0,1)上是增函数 ABC 为锐角三角形， A， B 都是锐角且 A B ， 2则 0f(cos B)7定义在 R 上的函数 f(x)，若
9、( x1) f( x)2f(1)B f(0) f(2)2 f(1)C f(0) f(2)1 时， f( x)0，则 f(x)在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增， f(0)1 时， f( x)0，则Error! 或Error!解得 00，解得 x0，故 f(x)的单调递增区间为(0，)11已知函数 f(x)2 x3 ax21( a 为常数)在区间(，0)，(2，)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则 a 的值为_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知单调区间求参数值答案 6解析 由题意得 f( x)6 x22 ax0 的两根为 0 和 2，可得 a6.12定义在 R 上的函数
10、f(x)满足 f(1)1， f( x)2x1 的 x 的取值范围是_考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (，1)解析 令 g(x) f(x)2 x1，则 g( x) f( x)2g(1)0 时， x0，即 f(x)2x1 的解集为(，1)三、解答题13已知函数 f(x) x3 bx2 cx d 的图象经过点 P(0,2)，且在点 M(1， f(1)处的切线方程为 6x y70.(1)求函数 y f(x)的解析式；(2)求函数 y f(x)的单调区间考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间解 (1)由 y f(x)的图象经过点 P(0,2)，知 d
11、2， f(x) x3 bx2 cx2， f( x)3 x22 bx c.由在点 M(1， f(1)处的切线方程为 6x y70，13知6 f(1)70，即 f(1)1.又 f(1)6，Error!即Error!解得 b c3，故所求函数解析式是 f(x) x33 x23 x2.(2)f( x)3 x26 x3.令 f( x)0，得 x1 ；2 2令 f( x)0，试讨论 f(x)的单调性2x考点 利用导函数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数的函数的单调区间解 f(x)的定义域为(0，)，f( x)1 .2x2 ax x2 ax 2x2令 g(x) x2 ax2，其判别式 a28.(1)当
12、0， 都 有 f (x)0， 此 时 f(x)是 (0， )上 的 单 调 递2增 函 数；(2)当 0，即 a2 时，当且仅当 x 时，有 f( x)0，对定义域内其余的 x 都有2 2f( x)0，此时 f(x)也是(0，)上的单调递增函数；14(3)当 0，即 a2 时，方程 g(x)0 有两个不同的实根： x1 ， x22a a2 82，0 x1x2.a a2 82当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0， x1) x1 (x1， x2) x2 (x2，)f( x) 0 0 f(x) 即 f(x)在 和 上单调递增；在 上单(0，a a2 82 ) (a a2 82 ， ) (a a2 82 ， a a2 82 )调递减.
