1、113.3 函数的最大(小)值与导数(一)学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点 函数的最大(小)值与导数如图为函数 y f(x)， x a， b的图象思考 1 观察区间 a， b上函数 y f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值答案 极大值为 f(x1)， f(x3)，极小值为 f(x2)， f(x4)思考 2 结合图象判断，函数 y f(x)在区间 a， b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案 存在， f(x)min f(a)， f(x)max f(x3)梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间 a
2、， b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)一般地，求函数 y f(x)在 a， b上的最大值与最小值的步骤如下：求函数 y f(x)在( a， b)内的极值；将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，2最小的一个是最小值1函数的最大值不一定是函数的极大值( )2函数 f(x)在区间 a， b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得( )3有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值( )3类型一 求函数的最值命 题 角 度 1 利 用 导 数 直 接 求 最 值例 1 求下列各函数的最值：(1)f
3、(x) x42 x23， x3,2；(2)f(x) x33 x26 x2， x1,1考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1) f( x)4 x34 x，令 f( x)4 x(x1)( x1)0，得x1， x0， x1.当 x 变化时， f( x)及 f(x)的变化情况如下表：x 3 (3，1) 1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f( x) 0 0 0 f(x) 60 极大值 极小值 极大值 5当 x3 时， f(x)取最小值60；当 x1 或 x1 时， f(x)取最大值 4.(2)f( x)3 x26 x63( x22 x2)3( x1) 23， f( x)
4、在1,1内恒大于 0， f(x)在1,1上为增函数故当 x1 时， f(x)min12；当 x1 时， f(x)max2.即 f(x)的最小值为12，最大值为 2.反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验 f( x)0 的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值跟踪训练 1 求下列函数的最值(1)f(x) ；x 1ex4(2)f(x) xsin x， x0,212考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1)函数 f(x) 的定义域为 R.x 1exf( x
5、) ，1ex exx 1ex2 2 xex当 f( x)0 时， x2，当 f( x)0 时， x2.所以 f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以 f(x)无最小值，且当 x2 时， f(x)max f(2) .1e2(2)f( x) cos x， x0,2，12令 f( x)0，得 x 或 x .23 43因为 f(0)0， f(2)， f ， f ，(23 ) 3 32 (43 ) 23 32所以当 x0 时， f(x)有最小值 f(0)0，当 x2 时， f(x)有最大值 f(2).命 题 角 度 2 对 参 数 讨 论 求 最 值例 2 已知函数 f(x)e x ax
6、2 bx1，其中 a， bR，e2.718 28为自然对数的底数设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值解 因为 f(x)e x ax2 bx1，所以 g(x) f( x)e x2 ax b，又 g( x)e x2 a，因为 x0,1，1e xe，所以：(1)若 a ，则 2a1， g( x)e x2 a0，12所以函数 g(x)在区间0,1上单调递增， g(x)min g(0)1 b.(2)若 0，所以函数 g(x)在区间0，ln(2 a)上单调递减，在区间ln(2 a)，1上单调递增，g(x)mi
7、n g(ln(2a)2 a2 aln(2a) b.(3)若 a ，则 2ae， g( x)e x2 a0，e2所以函数 g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)min g(1)e2 a b.综上所述，当 a 时， g(x)在区间0,1上的最小值为 1 b；12当 0，6所以函数 g(x)在区间0，ln(2 a)上单调递减，在区间ln(2 a)，1上单调递增，g(x)min g(ln(2a)2 a2 aln(2a)0，解得 a 不符合题意，舍去e2(3)若 a ，则 2ae， g( x)e x2 a0，e2所以函数 g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)min g(1)e2 a0，解得 a .
8、e2反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况若导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练 2 已知 a 是实数，函数 f(x) x2(x a)，求 f(x)在区间0,2上的最大值考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值解 f( x)3 x22 ax.令 f( x)0，解得 x10， x2 .2a3当 0，即 a0 时，2a3f(x)在0,2上单调递增，从而 f(x)max f(2)84 a.当 2，即 a3 时，2a3f(x)在0,
9、2上单调递减，从而 f(x)max f(0)0.当 00，且当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f( x) 0 f(x) 7 a b b 16 a b由表可知，当 x0 时， f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值， f(0) b3.又 f(1)7 a3， f(2)16 a3 f(1)， f(2)16 a293，解得 a2.综上可得， a2， b3 或 a2， b29.反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列
10、方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练 3 已知函数 h(x) x33 x29 x1 在区间 k,2上的最大值是 28，求 k 的取值范围考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 h(x) x33 x29 x1， h( x)3 x26 x9.令 h( x)0，得 x13， x21，当 x 变化时， h( x)， h(x)的变化情况如下表：x (，3) 3 (3,1) 1 (1，)h( x) 0 0 h(x) 28 4 当 x3 时，取极大值 28；当 x1 时，取极小值4.8而 h(2)3e 时， f( x)0.f(x)极大值 f(e) ，且函数在定义域内只有一个极
11、值，所以 f(x)max .1e 1e4函数 f(x)2 x36 x2 m(m 是常数)在区间2,2上有最大值 3，则在区间2,2上的最小值为_考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 37解析 f( x)6 x212 x6 x(x2)，由题意知，在区间2,2上， x0 是 f(x)的最大值点， f(x)max f(0) m3. f(2)1624337， f(2)162435， f(x)min37.5已知函数 f(x) ax3 bx c 在点 x2 处取得极值 c16.(1)求 a， b 的值；(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在3,3上的最小值考点 导数在最值问题中的
12、应用题点 最值与极值的综合应用解 (1)因为 f(x) ax3 bx c，故 f( x)3 ax2 b.由于 f(x)在点 x2 处取得极值 c16，故有Error! 即Error!化简得Error! 解得 a1， b12.(2)令 f( x)0，得 x12， x22.当 x(，2)时， f( x)0，故 f(x)在(，2)上为增函数；当 x(2,2)时， f( x)0，故 f(x)在(2，)上为增函数由此可知 f(x)在 x12 处取得极大值， f(2)16 c， f(x)在 x22 处取得极小值， f(2) c16.由题设条件知 16 c28 得 c12.此时 f(3)9 c21， f(3
13、)9 c3， f(2)16 c4.因此， f(x)在3,3上的最小值为 f(2)4.111求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.一、选择题1设 M， m 分别是函数 f(x)在 a， b上的最大值和最小值，若 M m，则 f( x)( )A等于 0 B小于 0C等于 1 D不确定考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求导数答案 A解析 因为 M m，所以 f(x)为常数函数，故 f( x)0，故选 A.2函数 f(x) x44 x(|x|0，当 x1 时
14、， f(x)最小，最小值为 f(1)3.4若函数 f(x) asin x sin 3x 在 x 处有最值，则 a 等于( )13 3A2 B1C. D0233考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 A解析 f(x)在 x 处有最值， 3 x 是函数 f(x)的极值点 3又 f( x) acos xcos 3 x， f acos cos 0，解得 a2.( 3) 35已知函数 f(x)， g(x)均为 a， b上的可导函数，在 a， b上连续且 f( x)0)的导数 f( x)的最大值为 5，则在函数 f(x)图象23上的点(1， f(1)处的切线方程是_考点 导数在最值问题中的应
15、用题点 已知最值求参数答案 15 x3 y20解析 f( x)2 x24 ax32( x a)232 a2， f( x)max32 a25， a0， a1. f( x)2 x24 x3，f(1)2435.又 f(1) 23 ，23 133所求切线方程为 y 5( x1)133即 15x3 y20.10函数 f(x) ex(sin xcos x)在区间 上的值域为_12 0， 2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 12， 12解析 f( x) ex(sin xcos x) ex(cos xsin x)e xcos x，12 12当 0 x 时， f( x)0， 2所
16、以 f(x)在 上是增函数，0， 215故 f(x)的最大值为 f 2e， f(x)的最小值为 f(0) .( 2) 12 1211已知 y f(x)是奇函数，当 x(0,2)时， f(x)ln x ax ，当 x(2,0)时，(a12)f(x)的最小值为 1，则 a 的值为_考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 1解析 由题意知，当 x(0,2)时， f(x)的最大值为1.令 f( x) a0，得 x ，1x 1a当 00；1a当 x 时， f( x)0，得 01，所以 f(x)在 上单调递增，在(1，e上单调递减，1e， 1)所以 f(x)在 上的最大值为 f(1) .1e
17、， e 12四、探究与拓展14已知函数 f(x) x3 x2 x m 在0,1上的最小值为 ，则实数 m 的值为_13 13考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 2解析 由 f(x) x3 x2 x m，13可得 f( x) x22 x1，令 x22 x10，可得 x1 .2当 x(1 ，1 )时， f( x)0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)当 x1，e时，分如下情况讨论：当 a0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1) a0， f(x)单调递增，所以，函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1，由 ln a1 ，得 a .32 e当 ae 时，函数 f(x)在1，e上有 f( x)0， f(x)单调递减，其最小值为 f(e)2，这与最小值是 相矛盾；32当 ae 时，显然函数 f(x)在1，e上单调递减，其最小值为 f(e)1 2，仍与最小值ae是 相矛盾；32综上所述， a 的值为 .e
