1、115.1 曲边梯形的面积 15.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程知识点一 曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积？答案 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考 2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案 已知图形是由直线 x1， y0 和曲线 y x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段梳理 曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线 x a， x b(a b)， y0 和曲线 y f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如
2、图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间 a， b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割；近似代替；求和；取极限2知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 v v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在 a t b 内所作的位移 s.1求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程( )2当 n 很大时，函数 f(x) x2在
3、区间 上的值，只能用 2近似代替( )i 1n ， in (in)3利用求和符号计算 (i1)40.( )4i 1i类型一 求曲边梯形的面积例 1 求由直线 x0， x2， y0 与曲线 y x21 所围成的曲边梯形的面积参 考 公 式 12 22 n2 16nn 12n 1考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲线梯形的面积问题解 令 f(x) x21.(1)分割将区间0,2 n 等分，分点依次为x00， x1 ， x2 ， xn1 ， xn2.2n 4n 2n 1n第 i 个区间为 (i1,2， n)，每个区间长度为 x .2i 2n ， 2in 2in 2i 2n 2n(2)近似代替、求和取
4、 i (i1,2， n)，2inSn xni 1f(2in) 22ni 1(2in)2 1 2n 8n3ni 1i (122 2 n2)28n33 28n3 nn 12n 16 2.43(2 3n 1n2)(3)取极限S Sn ，limn lim n 43(2 3n 1n2) 2 143即所求曲边梯形的面积为 .143反思与感悟 求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用一些常见的求和公式，如123 n ，nn 12122 23 2 n2 ，nn 12n 16132 33 3 n3 2.nn 12
5、跟踪训练 1 求由直线 x0， x1， y0 和曲线 y x2所围成的图形的面积考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 (1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间：， ， ， ， ，其中 i1,2， n，每个小区间的长0，1n1n， 2n2n， 3n i 1n ， in n 1n ， 1度为 x .in i 1n 1n过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1， S2， Sn.(2)近似代替在区间 (i1,2， n)上，以 处的函数值 2为高，小区间的长度 xi 1n ， in i 1n (i 1n )4为底边的小矩形的面积作为第 i
6、个小曲边梯形的面积，即1n Si 2 .(i 1n ) 1n(3)求和Si 2 0 2 2 2 122 2( n1)ni 1ni 1(i 1n ) 1n 1n (1n) 1n (2n) 1n (n 1n ) 1n 1n32 .13 12n 16n2(4)取极限曲边梯形的面积 S .limn (13 12n 16n2) 13类型二 求变速运动的路程例 2 当汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 s vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t) t22(单位：km/h)，那么它在 1 t2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？考点 变速运动的路程问题题点 变
7、速运动的路程问题解 将区间1,2等分成 n 个小区间，第 i 个小区间为 .1i 1n ， 1 in所以 si v .(1i 1n ) 1nsn v n i 1(1 i 1n )1n 1n n i 1(1 i 1n )2 2 1n n i 1i 12n2 2i 1n 3 Error!Error!1n3 .n 12n 16n2 n 1ns sn .limn lim n 3 n 12n 16n2 n 1n 133所以这段时间行驶的路程为 km.133引申探究 本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果5是否一样？解 将区间1,2等分成 n 个小区间，第 i 个
8、小区间为 .1i 1n ， 1 in所以 si v .(1in) 1nsn vn i 1(1 in)1n3 122 2( n1) 2 n2 2462( n1)2 n1n3 1n23 .n 12n 16n2 n 1ns sn .limn lim n 3 n 12n 16n2 n 1n 133所以这段时间行驶的路程为 km.133所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲” “逼近”的思想求解求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间跟踪训练 2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶
9、，汽车在时刻 t 的速度为 v(t) t25(单位：km/h)，试计算这辆汽车在 0 t2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间0,2上等间隔插入 n1 个点，将区间分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为 (i1,2， n)， t .则汽车在时间段 ， ，2i 1n ， 2in 2n 0， 2n2n， 4n上行驶的路程分别记为： s1， s2， si， sn，有 sn si.2n 1n ， 2nn ni 1(2)近似代替：取 i (i1,2， n)，2in si v t (2in) (2in)2 5 2n (i
10、1,2， n)4i2n2 2n 10n(3)求和： sn sini 1ni 1( 4i2n22n 10n)68 10.13(1 1n)(1 12n)(4)取极限： s snlimn .limn 813(1 1n)(1 12n) 10 2231把区间1,3 n 等分，所得 n 个小区间的长度均为( )A. B. C. D.1n 2n 3n 12n考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 B解析 区间1,3的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为 .2n2在“近似代替”中，函数 f(x)在区间 xi， xi1 上的近似值等于( )A只能是左端点的函数值 f(xi)B只能是
11、右端点的函数值 f(xi1 )C可以是该区间内任一点的函数值 f( i)( i xi， xi1 )D以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C3一物体沿直线运动，其速度 v(t) t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间内所走的路程为( )A. B. C1 D.13 12 32考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 B4. _.ni 1in考点 求曲边梯形的面积问题题点 求和符号的表示7答案 n 12解析 (12 n)ni 1in 1n .1n nn 12 n 125求由曲线 y x2与直线 x1， x2， y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5
12、 等分，12则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 1.02解析 将区间 5 等分所得的小区间为 ， ， ， ， ，1，6565， 7575， 8585， 9595， 2于是所求平面图形的面积近似等于 1.02.110(1 3625 4925 6425 8125) 110 25525求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割： n 等分区间 a， b；(2)近似代替：取点 i xi1 ， xi；(3)求和： ( i) ；ni 1f b an(4)取极限： s ( i) .limn ni 1f b an“近似代替”也可以用较大的矩形
13、来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)一、选择题1和式 (xi1)可表示为( )5i 1A( x11)( x51)B x1 x2 x3 x4 x518C x1 x2 x3 x4 x55D( x11)( x21)( x51)考点 求曲边梯形的面积问题题点 求和符号的表示答案 C解析 (xi1)( x11)( x21)( x31)( x41)( x51)5i 1 x1 x2 x3 x4 x55.2在求由 x a， x b(ab)， y f(x) (f(x)0)及 y0 围成的曲边梯形的面积 S 时，在区间 a， b上等间隔地插入( n1)个分点，分别过这些分
14、点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) n 个小曲边梯形的面积和等于 S； n 个小曲边梯形的面积和小于 S； n 个小曲边梯形的面积和大于 S； n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定A1 B2C3 D4考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为 S.正确，错误3在求由直线 x0， x2， y0 与曲线 y x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间0,2等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间是( )A. B.i 1n ， in in， i 1n C.
15、 D.2i 1n ， 2in 2in， 2i 1n 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 将区间0,2等分为 n 个小区间后，每个小区间的长度为 ，第 i 个小区间为2n.2i 1n ， 2in94在求由曲线 y 与直线 x1， x3， y0 所围成图形的面积时，若将区间 n 等分，并1x用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第 i 个小曲边梯形的面积 Si约等于( )A. B.2n 2i 2n 2i 2C. D.2nn 2i 1n 2i考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 A解析 每个小区间的长度为 ，2n第 i 个小曲边梯形
16、的高为 ，11 2in第 i 个小曲边梯形的面积为 .2n 11 2in 2n 2i5在等分区间的情况下 f(x) (x0,2)及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限11 x2形式正确的是( )A. limn n i 111 (in)22nB. limn n i 111 (2in)22nC. limn n i 1( 11 i21n)D. limn n i 111 (in)2n考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 B解析 x ，和式为 .2 0n 2n n i 1 11 (2in)22n10故选 B.6对于由直线 x1， y0 和曲线 y x3所围成的曲边三角形，把区间 3
17、 等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A. B.130 125C. D.127 19考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 D解析 将区间0,1三等分为 ， ， ，各小矩形的面积和为0，1313， 2323， 1S0 3 3 3 .13 (13) 13 (23) 13 197设函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点 a x0x1xi1 xixn b，把区间 a， b等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi1 ， xi上任取一点 i(i1,2， n)，作和式 Sn( i) x(其中 x 为小区间的长度)，那么 Sn的大小( )ni 1fA与 f(x
18、)和区间 a， b有关，与分点的个数 n 和 i的取法无关B与 f(x)和区间 a， b的分点的个数 n 有关，与 i的取法无关C与 f(x)和区间 a， b的分点的个数 n， i的取法都有关D与 f(x)和区间 a， b的 i的取法有关，与分点的个数 n 无关考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 用分点 a x0x1xi1 xixn b 把区间 a， b等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi1 ， xi上任取一点 i(i1,2， n)，作和式 Sn ( i) x.若对和式求极ni 1f限，则可以得到函数 y f(x)的图象与直线 x a， x b， y0 围成的
19、区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关8. 的含义可以是 ( )limn n i 1(15in)(5n)A求由直线 x1， x5， y0， y3 x 围成的图形的面积B求由直线 x0， x1， y0， y15 x 围成的图形的面积C求由直线 x0， x5， y0， y3 x 围成的图形的面积11D求由直线 x0， x5， y0 及曲线 y 围成的图形的面积5x考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 将区间0,5 n 等分，则每一区间的长度为 ，各区间右端点对应函数值为 y ，5n 15in因此 可以表示由直线 x0， x5， y0
20、和 y3 x 围成的图形的面积的近似ni 1(15in)(5n)值9若直线 y2 x1 与直线 x0， x m， y0 围成图形的面积为 6，则正数 m 等于( )A1 B3C2 D4考点 求曲边梯形的面积问题题点 由曲边梯形的面积求参数答案 C解析 将区间0， mn 等分，每个区间长为 ，区间左端点函数值 y2 1 ，mn min 2mi nn作和 Sn ni 1(2mi nn ) mn m (123 n)mn 2mn m 2m2n2 nn 12 m ，m2n 1n S 6，limn m m2n 1n m2.故选 C.二、填空题10在区间0,8上插入 9 个等分点后，则所分的小区间长度为_，
21、第 5 个小区间是_考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 45 165， 412解析 在区间0,8上插入 9 个等分点后，把区间0,810 等分，每个小区间的长度为 ，第 5 个小区间为 .810 45 165， 411已知某物体运动的速度 v t， t0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 55解析 把区间0,1010 等分后，每个小区间右端点处的函数值为 n(n1,2，10)，每个小区间的长度为 1.物体运动的路程近似值 s1(1210)55.12当 n
22、 很大时，下列可以代替函数 f(x) x2在区间 上的值有_个i 1n ， in f ； f ； f ； f .(1n) (in) (i 1n ) (in 12n)考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 3解析 因为当 n 很大时，区间 上的任意的取值都可以代替，又因为 ，i 1n ， in 1ni 1n ， in ， ， ，故能代替的有 .i 1n i 1n ， in in i 1n ， in in 12n i 1n ， in三、解答题13求由直线 x0， x1， y0 和曲线 y x22 x 围成的图形的面积考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间0
23、,1 n 等分，每个区间长度为 ，区间右端点函数值 y 22 .1n (in) in i2n2 2in作和 Sn ni 1(i2n2 2in)1nni 1(i2n3 2in2) 2 n(n1)(2 n1) 1n3ni 1i 2n2ni 1i 1n3 16 2n2 nn 12 n 12n 16n2 n 1n，8n2 9n 16n2所求面积 S limn 8n2 9n 16n213 .limn (43 32n 16n2) 43四、探究与拓展14设函数 f(x)的图象与直线 x a， x b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在 a， b上的面积已知函数 ysin nx 在 (nN *)上
24、的面积为 ，则 ysin 3x 在 上0， n 2n 0， 23的面积为_考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 43解析 由于 ysin nx 在 (nN *)上的面积为 ，0， n 2n则 ysin 3 x 在 上的面积为 .0， 3 23而 ysin 3 x 的周期为 ，23所以 ysin 3 x 在 上的面积为 2 .0，23 23 4315有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻 t 的速度为 v(t)3 t22(单位：km/h)，那么该汽车在 0 t2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1
25、)分割在时间区间0,2上等间隔地插入 n1 个分点，将它分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为(i1,2， n)，其长度为 t .每个时间段上行驶的路程2i 1n ， 2in 2in 2i 1n 2n记为 si(i1,2， n)，则显然有 s si.ni 1(2)近似代替取 i (i1,2， n)，用小矩形的面积 s i近似地代替 si，于是2in si s i v t (2in) 3(2in)2 2 2n (i1,2， n)24i2n3 4n14(3)求和sn s i (122 2 n2)4ni 1ni 1(24i2n3 4n) 24n3 48 4.24n3 nn 12n 16 (1 1n)(1 12n)(4)取极限s sn 8412.limn lim n 8(1 1n)(1 12n) 4所以这段时间内行驶的路程为 12 km.
