1、11.7 定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值知识点一 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可梳理 (1)当 x a， b时，若 f(x)0，由直线 x a， x b(a b)， y0 和曲线 y f(x)所围成的曲边梯形的面积 S f(x)dx.ba(2)当 x a， b时，若 f(x)g(x)0，由直线 x a， x b (a
2、 b)和曲线 y f(x)， y g(x)所围成的平面图形的面积 S f(x) g(x)badx.(如图)知识点二 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？答案 不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念梳理 (1)当 v(t)0 时，求某一时间段内的路程和位移均用 21()tvdt求解(2)当 v(t)0，则运动物体的路程为 s v(t)dt；若 v(t)0，阴影部分的面积 S f(x)dx f(x)dx.cb ba2一物体以速度 v(3 t22 t)m/s做直线运动，则它在 t0 s到 t3 s时间段内的位移是( )A31 m B36 mC38 m D40 m考
3、点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 B解析 S (3t22 t)dt( t3 t2)| 3 33 236(m)，故选 B.30 303一物体在力 F(x)4 x1(单位：N)的作用下，沿着与力 F相同的方向，从 x1 运动到x3 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为( )A8 J B10 J C12 J D14 J考点 利用定积分求变力做功问题题点 定积分在弹力做功中的应用答案 D9解析 由变力做功公式有 W (4x1)d x(2 x2 x)| 14(J)，故选 D.31 31104由直线 x0， x ， y0 与曲线 y2sin x所围成的图形的面积等于( )23A3
4、 B. C1 D.32 12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 A解析 直线 x0， x ， y0 与曲线 y2sin x所围成的图形如图所示，23其面积为S230sindx2cos x230|2cos (2cos 0)123，故选 A.235由 y x2， y x2及 x1 围成的图形的面积 S等于( )14A. B.12 13C. D114考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 C解析 y x2， y x2， x1 所围成的图形如图所示，14S x2dx x2dx10 1014 x2dx1034Error! .10146由
5、直线 y x，曲线 y x3围成的封闭图形的面积为( )11A. B.14 34C. D.12 43考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 C解析 由直线 y x，曲线 y x3围成的封闭图形如图，所以由直线 y x，曲线 y x3围成的封闭图形的面积为 2 (x x3)dx ，故选 C.10127由曲线 y 与直线 y2 x1 及 x轴所围成的封闭图形的面积为( )xA. B.12 1112C. D.16 512考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 D解析 联立曲线 y 与直线 y2 x1，构成方程组xError!解得 Error
6、联立直线 y2 x1， y0 构成方程组，解得Error!曲线 y 与直线 y2 x1 及 x轴所围成的封闭图形的面x 积为S dx 12()d10x31102|()| .23 14 12 51212二、填空题8一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73 t (t251 t的单位：s， v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是_考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 425ln 5解析 由 v(t)73 t 0，可得 t4 ，因此汽车从刹车到停止一共行251 t (t 83舍 去 )驶了 4 s，此期间行驶的距离为 v
7、t)dt dtError! 425ln 5.40 40(7 3t251 t) 409由曲线 ye x， ye x及 x1 所围成的图形的面积为_考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 e 21e解析 如图，所围成的图形的面积为 (exe x)dx10(e xe x)|10ee 1 2e 2.1e10.如图，已知点 A ，点 P(x0， y0)(x00)在曲线 y x2上，若阴影部分的面积与 OAP(0，14)的面积相等，则 x0_.考点 导数与积分几何意义的应用题点 导数与积分几何定义的应用答案 64解析 由题意知 x0 02d,x12 1413即 x0 x
8、18 1330解得 x0 或 x0 或 x00.64 64 x00， x0 .6411若两曲线 y x2与 y cx3(c0)围成图形的面积是 ，则 c_.23考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 12解析 由Error!得 x0 或 x .1c当 0cx3，1c S 0(-)dError!10c .13c3 14c3 112c3 23 c3 ， c .18 12三、解答题12求由抛物线 y28 x(y0)与直线 x y60 及 y0 所围成图形的面积考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 需分割的图形的面积求解解 如图所示，由Error!得Er
9、ror! 所以抛物线 y28 x(y0)与直线 x y60 的交点坐标为(2,4)方法一 (选 y为积分变量)S dy40(6 y18y2)Error! 40248 64 .124 403方法二 (选 x为积分变量)14S ( )dx (6 x)dx20 8x 62Error! Error!20 62 163 (66 1262) (62 1222) .40313.已知函数 f(x) x3 ax2 bx(a， bR)的图象如图所示，它与直线 y0 在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ，求 a的值274考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 由题图知方程 f(x)0 有两个实根，其中有一个实根为 0，于是 b0，所以 f(x) x2(x a)有 0( x3 ax2)dxError! ，274 a0 a0 a412所以 a3.又 a0，即 a0， S单调递增，所以当 t1 时，Smin2.
