1、1习题课 导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用1函数的单调性与其导数的关系定义在区间( a， b)内的函数 y f(x)f( x)的正负 f(x)的单调性f( x)0 单调递增f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极小值3函数 y f(x)在 a， b上最大值与最小值的求法(1)求函数 y f(x)在( a， b)内的极值(2)将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2类型一 构造法的应用命 题 角 度 1 比
2、 较 函 数 值 的 大 小例 1 已知定义在 上的函数 f(x)， f( x)是它的导函数，且 sin xf( x)cos (0， 2)xf(x)恒成立，则( )A. f f B. f f 2 ( 6) ( 4) 3 ( 6) ( 3)C. f 2f D. f f(x)cos x，得 f( x)sin x f(x)cos x0，构造函数 g(x) ，fxsin x则 g( x) .f xsin x fxcos xsin2x当 x 时， g( x)0，(0， 2)即函数 g(x)在 上单调递增，(0， 2) g 0 时， xf( x) f(x)0. g(x)在(0，)上是减函数 f( x)，且
3、 f(0)2，则不等式 f(x)f( x)， g( x)0，不等式的解集为(0，)，故选 C.反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到 x 的取值范围跟踪训练 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)1，且对任意的 xR 都有 f( x) 的解集为_lg x 23考点 利用导数研究函数的单调性4题点 构造法的应用答案 (0,10)解析 f( x) ，得 f(lg x) 0，lg x 23 lg x 23 F(lg x)F(1) F(x)在 R 上单调递减，lg x0)ax2 2x ax2 2x ax2当 a0 时， f( x)0 时，令 g(x) ax22 x a，函
4、数 f(x)在区间1，)上是单调函数， g(x)0 在区间1，)上恒成立， a 在区间1，)上恒成立2xx2 1令 u(x) ， x1，)2xx2 1 u(x) 1，2x 1x22x1x当且仅当 x1 时取等号 a1.5当 a1 时，函数 f(x)单调递增实数 a 的取值范围是(，01，)(2)由(1)可知：当 a0 时， f( x)0)，f( x) 2 x4 ，1x 2x2 4x 1x令 f( x)0，解得 x 或 xg(x) ；12(3)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由考点 导数在最值中的应用题点 已知最值求参数(1)解 当 a1
5、时， f(x)2 xln(2 x)， f( x)2 ， x(0，e，1x 2x 1x当 00，此时 f(x)单调递增12所以 f(x)的极小值为 f 1，(12)故 f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， f(x)的极小值为 f 1，无极(0，12) (12， e (12)大值(2)证明 令 h(x) g(x) ，12 ln xx 12h( x) ， x(0，e，1 ln xx2当 00，此时 h(x)单调递增，所以 h(x)max h(e) g(x) .12(3)解 假设存在实数 a，使 f(x)2 axln(2 x)， x(0，e有最小值 3，f( x)2 a ， x(0，e，1x
6、 2ax 1x当 a0 时，因为 x(0，e，7所以 f( x) 时， f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，12a 12e (0， 12a) (12a， e所以 f(x)min f 1ln 3，(12a) 1a解得 ae 2，满足条件，当 e，即 01，当 00；当 1c 时， f( x)0. f(x)的单调递增区间为(0,1)，( c，)；单调递减区间为(1， c)(2)若 c1，则 f(x)极小值 f(c) cln c c2 c(1 c) cln c c c20 恒成立2对任意的 xR，函数 f(x) x3 ax27 ax 不存在极值点的充要条件是( )A0 a21 B a0 或 a7
7、C a21 D a0 或 a21考点 利用导数研究函数的极值题点 极值存在性问题答案 A解析 f( x)3 x22 ax7 a，当 4 a284 a0，即 0 a21 时， f( x)0 恒成立，函数 f(x)不存在极值点3若函数 f(x)( x2 ax1)e x1 的一个极值点为 x1，则 f(x)的极大值为( )A1 B2e 3C5e 3 D1考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 C解析 由题意知 f(1)0，解得 a1， f( x)( x2 x2)e x1 ，则函数的极值点为 x12， x21，当 x1 时， f( x)0，函数是增函数，当 x(2,1)时，函数是减函数，
8、 f(x)极大值 f(2)5e 3 .4.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象如图，则 xf( x)0 的解集为( )A(，0)(1,2) B(1,2)12C(，1) D(，1)(2，)考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据单调性确定导数值的正负号答案 A解析 不等式 xf( x)0 等价于当 x0 时， f( x)0，即当 x0 时，函数单调递增，此时11 f(x)， f(0)6，其中 f( x)是 f(x)的导函数，则不等式 exf(x)ex5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(1，) D(3，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 构
9、造法的应用答案 A解析 不等式 exf(x)ex5 可化为 exf(x)e x50.设 g(x)e xf(x)e x5，则 g( x)e xf(x)e xf( x)e xe xf(x) f( x)10，所以函数 g(x)在定义域 R 上单调递增又 g(0)0，所以 g(x)0 的解集为(0，)二、填空题8函数 f(x) x33 ax b(a0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的单调递增区间为_考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 (，1)和(1，)解析 令 f( x)3 x23 a0，得 x .a由题意得 f( )2， f( )6，得 a1， b4.a a由 f( x
10、)3 x230，得 f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)9已知函数 f(x)满足 f(x) f( x)，且当 x 时， f(x) xsin x，设( 2， 2)a f(1)， b f(2)， c f(3)，则 a， b， c 的大小关系是_考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 c2130， 2所以 f(2) f(1)f(3)即 c0，得11 在区间(1，)内恒成立，则实数 a 的取值范围为_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 1，)解析 由 f(x)1，得 axln x1， x1，原不等式转化为 a ，1 ln xx设
11、g(x) ，得 g( x) ，ln x 1x ln xx2当 x(1，)时， g( x) 在(1，)上恒成立， a1.1 ln xx三、解答题12已知函数 f(x) x33 x29 x a.(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值考点 导数在最值问题中的应用题点 求函数的最值解 (1) f( x)3 x26 x9，15令 f( x)3，函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2) f(2)81218 a2 a，f(2)81218 a22 a， f(2)f(2)于是有 22 a20， a2， f(x) x33 x29 x
12、2.当 x(1,3)时， f( x)0， f(x)在1,2上单调递增又由于 f(x)在2，1)上单调递减， f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2,2上的最大值和最小值， f(1)13927，即 f(x)的最小值为7.13已知函数 f(x) x2 aln x(aR)12(1)若 f(x)在 x2 时取得极值，求 a 的值；(2)求 f(x)的单调区间；(3)求证：当 x1 时， x2ln x0，所以当 a4 时， x2 是一个极小值点，故 a4.(2)解 因为 f( x) x ，ax x2 ax所以当 a0 时， f(x)的单调递增区间为(0，)当 a0 时， f( x) x ，ax x
13、2 ax x ax ax所以函数 f(x)的单调递增区间为( ，)；单调递减区间为(0， )a a(3)证明 设 g(x) x3 x2ln x，23 1216则 g( x)2 x2 x ，1x因为当 x1 时， g( x) 0，x 12x2 x 1x所以 g(x)在 x(1，)上是增函数，所以 g(x)g(1) 0，16所以当 x1 时， x2ln x0 时，有 0，则不xf x fxx2等式 x2f(x)0 的解集是_考点 利用导数求函数的单调区间题点 求不等式的解集答案 (1,0)(1，)解析 令 g(x) (x0)，fxx则 g( x) .xf x fxx2当 x0 时， 0，即 g(
14、x)0，xf x fxx2 g(x)在(0，)上为增函数又 f(1)0， g(1) f(1)0，在(0，)上， g(x)0 的解集为(1，) f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，在(，0)上， g(x)0，得 f(x)0(x0)又 f(x)0 的解集为(1,0)(1，)，不等式 x2f(x)0 的解集为(1,0)(1，)15设函数 f(x) x3 x22 ax.13 12(1)若 f(x)在 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(23， )(2)当 00，即 a .(23) (23) 23 19即实数 a 的取值范围为 .(19， )(2)已知 00，f(4)1642 a2 a120，13 12 16所以 f(4) 64 168 a 8 a0.13 12 403所以 f(4) 8 a ，即 a1.403 163此时，由 f( x0) x x020，20得 x02 或1(舍去)，即 f(x)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减所以函数 f(x)max f(2) .103
