1、13.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念知识点一 复数的乘法及其运算律思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可梳理 (1)复数的乘法法则设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，那么它们的积(a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意 z1， z2， z3C，有交换律 z1z2 z2z1结合律 (z1z2)z3 z1(z2z3)
2、乘法对加法的分配律 z1(z2 z3) z1z2 z1z3知识点二 共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数， z 的共轭复数用 表示即 z a bi，则 a bi.z z知识点三 复数的除法法则2思考 类比根式除法的分母有理化，比如 ，你能写出复数的除法法则1 33 2 1 33 23 23 2吗？答案 设 z1 a bi， z2 c di(c di0)，则 i.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d21复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减( )2两个共轭复数的和与积是实数( )3若 z1， z2C，且 z z 0，则 z
3、1 z20.( )21 2类型一 复数代数形式的乘除运算例 1 计算：(1) (1i) ；(12 32i)(32 12i)(2) ；1 2i2 31 i2 i(3) .1 4i1 i 2 4i3 4i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1) (1i)(12 32i)(32 12i) (1i)(34 34) (34 14)i (1i)(32 12i) i(32 12) (12 32) i.1 32 1 32(2) 1 2i2 31 i2 i 3 4i 3 3i2 i i.i2 i i2 i5 15 253(3) 1 4i1 i 2 4i3 4i 5 3i 2 4i3 4i 7
4、i3 4i 7 i3 4i3 4i3 4i 1i.21 28i 3i 425 25 25i25反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化” ，这个过程与“分母有理化”类似跟踪训练 1 计算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2) ；3 2i2 3i 3 2i2 3i(3) .i 2i 11 ii 1 i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4i)(62
5、i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2) 3 2i2 3i 3 2i2 3i ii0.i2 3i2 3i i2 3i2 3i(3) i 2i 11 ii 1 i i2 i 2i 2i 1 i2 i i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 2 i 2 i 1i. 2 i 6i 3i25 5 5i5类型二 i 的运算性质例 2 计算：(1) 2 016；2 2i1 i2 ( 21 i)(2)ii 2i 2 017.4考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质解 (1)原式 1 00821 i 2i (22i)i(1i)(
6、i) 1 008ii 2(1) 1 008i1 008i1i 4252i11i.(2)方法一 原式 i1 i2 0171 i i i2 0181 i i i4504i21 i i 11 i i.1 i1 i1 i1 i 2i2方法二 因为 ini n1 i n2 i n3 i n(1ii 2i 3)0( nN *)，所以原式(ii 2i 3i 4)(i 5i 6i 7i 8)(i 2 013i 2 014i 2 015i 2 016)i 2 017i 2 017(i 4)504i1 504ii.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即ini n1
7、 i n2 i n3 0( nN *)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i) 22i，(1i) 22i； i， i；1 i1 i 1 i1 i i.1i跟踪训练 2 (1) 2 017_.(1 i1 i)考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 i解析 2 017 2 017 2 017(1 i1 i) 1 i1 i1 i1 i (2i2)i 2 017(i 4)504i1 504ii.(2)化简 i2i 23i 3100i 100.考点 虚数单位 i 及其性质5题点 虚数单位 i 的运算性质解 设 Si2i 23i 3100i 100，所以 iSi 22i 399i
8、 100100i 101，得(1i) Sii 2i 3i 100100i 101 100i 1010100i100i.i1 i1001 i所以 S 100i1 i 100i1 i1 i1 i 100 1 i25050i.所以 i2i 23i 3100i 1005050i.类型三 共轭复数及其应用例 3 把复数 z 的共轭复数记作 ，已知(12i) 43i，求 z.z z考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z由已知得(12i)( a bi)( a2 b)(2 a b)i43i，由复数相等的定义知，Error!得 a2， b1，所以
9、z2i.引申探究 例 3 条件改为 (z2)43i，求 z.z解 设 z x yi(x， yR)则 x yi，z由题意知，( x yi)(x yi2)43i.得Error!解得Error! 或Error!所以 z i 或 z i.( 1112) 32 ( 1 112) 32反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解跟踪训练 3 已知复数 z 满足| z|1，且(34i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设 z a bi(a， bR)，则| z| 1，a2 b2即 a2 b21.
10、6因为(34i) z(34i)( a bi)(3 a4 b)(3 b4 a)i 是纯虚数，所以 3a4 b0，且3b4 a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i 或 i.z45 35 z 45 351设复数 z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )Ai BiC1 D1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 z i.1i2若 z43i(i 为虚数单位)，则 等于( )z|z|A1 B1C. i D. i45 35 45 35考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 z43i，| z|5， i.z|z| 45 353
11、已知 1i(i 为虚数单位)，则复数 z 等于( )1 i2zA1i B1iC1i D1i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 D解析 因为 1i，1 i2z7所以 z 1i.1 i21 i 2i1 i 2i1 i24设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 z ，则 _.z2i31 i z考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 1i解析 z 1i，2i31 i 2i1 i1 i1 i所以 1i.z5已知复数 z 满足： z 2 zi86i，求复数 z 的实部与虚部的和z考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关系的综合问题解 设 z a bi(a，
12、 bR)，则 z a2 b2，z a2 b22i( a bi)86i，即 a2 b22 b2 ai86i，Error! 解得Error! a b4，复数 z 的实部与虚部的和是 4.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z a bi(a， bR)，利用复数
13、相等的充要条件转化.一、选择题81i 为虚数单位， 等于( )1i 1i3 1i5 1i7A0 B2iC2i D4i考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 A解析 i， i， i， i，1i 1i3 1i5 1i7 0.1i 1i3 1i5 1i72复数(1i) 2(23i)的值为( )A64i B64iC64i D64i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 (1i) 2(23i)2i(23i)64i.3已知复数 z 满足( z1)i1i，则 z 等于( )A2i B2iC2i D2i考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案
14、 C解析 由( z1)i1i，两边同乘以i，则有 z11i，所以 z2i.4已知复数 z13 bi， z212i，若 是实数，则实数 b 等于( )z1z2A6 B6C0 D.16考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 z1z2 3 bi1 2i 3 bi1 2i1 2i1 2i9 是实数，3 2b 6 bi56 b0，实数 b 的值为 6，故选 A.105已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数 z，则表示复数 的点是( )z1 iA M B NC P D Q考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知 z3i，所以
15、复数 2i 表示的点是 Q(2，1)故选 D.z1 i 3 i1 i 3 i1 i1 i1 i 4 2i26设复数 z 满足 i，则| z|等于( )1 z1 zA1 B. 2C. D23考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 由 i，1 z1 z得 z i， 1 i1 i 1 i1 i2 2i2|z|i|1.7若 z 6， z 10，则 z 等于( )z zA13i B3iC3i D3i考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z所以Error! 解得Error! 则 z3i.118计算
16、 的值是( ) 1 3i31 i6 2 i1 2iA0 B1C2i Di考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式 1 3i31 i23 2 i1 2i1 2i1 2i 1 3i32i3 2 4i i 25 i i( 12 32i)3 i 1 i i2i.i ii二、填空题9已知 a， bR，i 是虚数单位，若(1i)(1 bi) a，则 的值为_ab考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1i)(1 bi)1 b(1 b)i a，又 a， bR，所以 1 b a 且 1 b0，得 a2， b1，所以 2.ab10若复数 z 满足(
17、34i) z43i(i 是虚数单位)，则| z|_.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 1解析 因为(34i) z43i，所以 z i.4 3i3 4i 4 3i3 4i3 4i3 4i 25i25则| z|1.11定义一种运算： ad bc.则复数a bc d 1 i 12 3i12的共轭复数是_考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 13i解析 3i(1i)213i，1 i 12 3i其共轭复数为13i.三、解答题12已知 z， 为复数，(13i) z 为纯虚数， ，且| |5 ，求 .z2 i 2考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用
18、解 设 z a bi(a， bR)，则(13i) z a3 b(3 a b)i.由题意得 a3 b0,3 a b.因为| | 5 ，|z2 i| 2所以| z| 5 ，a2 b2 10将 a3 b 代入，解得 a15， b5 或 a15， b5，故 (7i)15 5i2 i13已知复数 z1i.(1)设 z23 4，求 ；z(2)若 1i，求实数 a， b 的值z2 az bz2 z 1考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为 z1i，所以 z23 4(1i) 23(1i)41i.z(2)因为 z1i，所以 1i，z2 az bz2 z 1 1 i2 a1 i
19、 b1 i2 1 i 1即 1i，a b a 2ii所以( a b)( a2)i(1i)i1i，所以Error! 解得Error!13四、探究与拓展14投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n，则复数( m ni)(n mi)为实数的概率为_考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知( m ni)(n mi) mn m2i n2i mn2 mn( n2 m2)i.若复数( m ni)(n mi)为实数，则 m2 n2，即( m， n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6 种情况，所以所求概率为 .636 1615设 z
20、 是虚数， z 是实数，且1 2.1z(1)求| z|的值及 z 的实部的取值范围；(2)设 ，求证： 为纯虚数1 z1 z考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为 z 是虚数，所以可设 z x yi(x， yR，且 y0)，则 z ( x yi) x yi i.1z 1x yi x yix2 y2 (x xx2 y2) (y yx2 y2)因为 是实数，且 y0，所以 y 0，yx2 y2即 x2 y21.所以| z|1，此时 2 x.又1 2，所以12 x2.所以 x1，12即 z 的实部的取值范围是 .(12， 1)(2)证明 1 z1 z 1 x yi1 x yi1 x yi1 x yi1 x2 y214 .1 x2 y2 2yi1 2x x2 y2又 x2 y21，所以 i.y1 x因为 y0，所以 为纯虚数
