1、1第二章 推理与证明章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般原理；小前提 所研究的特殊情况；结论 根据一般原理，对特殊
2、情况做出的判断3直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推出结论的证明方法；2分析法是从结论追溯到条件的证明方法(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法4数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当 n n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当 n k 时结论成立，推得当 n k1 时结论也成立1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( )2 “所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数” ，
3、这是三段论推理，但其结论是错误的( )3综合法是直接证明，分析法是间接证明( )4反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾( )类型一 合情推理与演绎推理例 1 (1)观察下列等式：2 2 12；(sin 3) (sin 23) 432 2 2 2(sin 5) (sin 25) (sin 35) (sin 45) 23；432 2 2 2 34；(sin 7) (sin 27) (sin 37) (sin 67) 432 2 2 2 45；(sin 9) (sin 29) (sin 39) (sin 89) 43照此规律，2 2 2 2 _.(sin 2n 1) (sin 22n 1) (s
4、in 32n 1) (sin 2n2n 1)考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 n(n1)433解析 第一个等式中 1 ，2 ；3 12 3 12第二个等式中，2 ，3 ；5 12 5 12第三个等式中，3 ，4 .7 12 7 12由此可推得第 n 个等式等于 n(n1)43 2n 1 12 2n 1 12 43(2)根据图(1)的面积关系： ，可猜想图(2)有体积关系：S PA BS PAB PAPA PBPB_.V三 棱 锥 P A B CV三 棱 锥 P ABC考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 PAPA PBPB PCPC解析 题干两图
5、中，与 PAB， PA B相对应的是三棱锥 P ABC， P A B C；与PA B两边 PA， PB相对应的是三棱锥 P A B C的三条侧棱 PA， PB， PC.与 PAB 的两条边 PA， PB 相对应的是三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA， PB， PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为 .V三 棱 锥 P A B CV三 棱 锥 P ABC PAPA PBPB PCPC(3)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上
6、相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 1 和 3解析 由题意可知丙不拿 2 和 3.若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意；若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意故甲的卡片上的数字是 1 和 3.反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限4的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住
7、一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确跟踪训练 1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第 n 个图形由 n 个正方形组成通过观察可以发现：第 4 个图形中有_根火柴棒；第 n 个图形中有_根火柴棒考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 13 3 n1解析 设第 n 个图形中火柴棒的根数为 an，可知 a413.通过观察得到递推关系式 an an1 3( n2， nN *)，所以 an3 n1.(2)若数列 an为等差
8、数列， Sn为其前 n 项和，则有性质“若 Sm Sn(m， nN *且 m n)，则Sm n0.”类比上述性质，相应地，当数列 bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 数列 bn为等比数列， Tm表示其前 m 项的积，若 Tm Tn(m， nN *， m n)，则Tm n1解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算累加类比为累乘，由此，等差数列 an的性质类比到等比数列 bn中为：数列 bn为等比数列， Tm表示其前 m 项的积，若 Tm Tn(m， nN *， m n)，则 Tm n1.
9、类型二 综合法与分析法例 2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知 (0，)，求证：2sin 2 5.sin 1 cos 考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 方法一 分析法要证 2sin 2 成立，sin 1 cos 只需证 4sin cos ，sin 1 cos (0，)，sin 0，只需证 4cos ，11 cos 1cos 0，4cos (1cos )1，可变形为 4cos2 4cos 10，只需证(2cos 1) 20，显然成立方法二 综合法 4(1cos )4，11 cos 当且仅当 cos ，即 时取等号，12 34cos .11 cos (0，)
10、，sin 0，4sin cos ，sin 1 cos 2sin 2 .sin 1 cos 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练 2 设 a， b 是两个正实数，且 a b，求证： a3 b3a2b ab2.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证 a3 b3a2b ab2成立，即需证(a b)(a2 ab b2)ab(a b)成立，6即需证 a2 ab b
11、2ab 成立只需证 a22 ab b20 成立，即需证( a b)20 成立而由已知条件可知， a b，所以 a b0，所以( a b)20 显然成立即 a3 b3a2b ab2.类型三 反证法例 3 若 x， y 都是正实数，且 x y2，求证： 0 且 y0，所以 1 x2 y 且 1 y2 x，两式相加，得 2 x y2 x2 y，所以 x y2.这与已知 x y2 矛盾故 2ac，即 ac0， b0，则有( )A. 2b a B. 0， 所 以 ex1,00， 即 f (x)0.所1ex 1ex 1ex 1ex以 f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是( )A综合法 B分析法C
12、反证法 D以上都不是考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 A解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选 A.2若 ab1b 1aC b a1a 1bD. n21 对于 n n0的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A2 B3C5 D6考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析 当 n 取 1,2,3,4 时，2 nn21 不成立，当 n5 时，2 5325 2126，即第一个能使 2nn21 成立的 n 值为 5，故选 C.7已知 a b c0，则 ab bc ca 的值( )A大于 0 B小于 0C不小于
13、 0 D不大于 0考点 综合法及应用题点 综合法的应用答案 D解析 因为( a b c)2 a2 b2 c22( ab bc ca)0，13又因为 a2 b2 c20，所以 2(ab bc ca)0，即 ab bc ca0.8某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位：米)1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030 秒跳绳(单位：次)63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65在这
14、 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则( )A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 B解析 进入立定跳远决赛的有 8 人，根据成绩应是 1 号至 8 号若 a63，则同时进入两决赛的不是 6 人，不符合题意；若 61 a63，则同时进入两决赛的有 1,2,3,5,6,7 号，符合题意；若 a60，则同时进入两决赛的不是 6 人，不符合题意；若 a59，则同时进入两决赛的有 1
15、,3,4,5,6,7 号，符合题意综上可知，5 号进入 30 秒跳绳决赛二、填空题9已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是13_考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 正四面体的内切球的半径是高的1414解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积 S ah13 arr h1(其中 a 是正12 12 13三角形的边长， h1是高， r 是内切圆半径)类比，用等体积法， V Sh24 RSR h2(其中 S 为底面正三角形的面积， h2是高，13 13 14R 是内切球的半径)10已知 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， a， b 均为正
16、实数，2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 ab ab由以上规律可推测出 a， b 的值，则 a b_.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 41解析 由题意归纳推理得 6 ， b6 2135， a6.6 ab ab a b63541.11完成反证法证题的全过程题目：设 a1， a2， a7是由数字 1,2，7 任意排成的一个数列，求证：乘积 p( a11)(a22)( a77)为偶数证明：假设 p 为奇数，则_均为奇数因为 7 个奇数之和为奇数，故有(a11)( a22)( a77)为_而( a11)( a22)( a77)( a1 a2 a7)(12
17、7)_.与矛盾，故 p 为偶数考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 a11， a22， a77 奇数 0解析 由假设 p 为奇数可知，( a11)，( a22)，( a77)均为奇数，故( a11)( a22)( a77)( a1 a2 a7)(127)0 为奇数，这与 0 为偶数相矛盾三、解答题12用综合法或分析法证明：(1)如果 a， b0，则 lg ；a b2 lg a lg b2(2)6 2 2.10 315考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 (1)当 a， b0 时，有 ，a b2 ablg lg ，a b2 ablg lg(ab) .a b2 12
18、 lg a lg b2(2)要证 2 2，6 10 3只需证( )2(2 2) 2，6 10 3即 2 2 ，这是显然成立的，60 48原不等式成立13求证：不论 x， y 取何非零实数，等式 总不成立1x 1y 1x y考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数 x， y 使得等式 成立1x 1y 1x y于是有 y(x y) x(x y) xy，即 x2 y2 xy0，即 2 y20.(xy2) 34由 y0，得 y20.34又 20，(xy2)所以 2 y20.(xy2) 34与 x2 y2 xy0 矛盾，故原命题成立四、探究与拓展14设 S， V 分别表示表面积和体积，
19、如 ABC 的面积用 S ABC表示，三棱锥 O ABC 的体积用 VO ABC表示，对于命题：如果 O 是线段 AB 上一点，则| | | | 0.将它类比OB OA OA OB 到平面的情形时，应该有：若 O 是 ABC 内一点，有 S OBC S OCA S OBA 0.OA OB OC 将它类比到空间的情形时，应该有：若 O 是三棱锥 A BCD 内一点，则有_考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比16答案 VO BCD VO ACD VO ABD VO ABC 0OA OB OC OD 15给出下列等式：11，14(12)，149123，14916(1234)，(1)
20、写出第 5 个和第 6 个等式，并猜想第 n(nN *)个等式；(2)用数学归纳法证明你猜想的等式考点 利用数学归纳法证明等式题点 等式中的归纳、猜想、证明(1)解 第 5 个等式为 149162512345，第 6 个等式为 149162536(123456)猜想第 n 个等式为 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 (123 n)(2)证明 当 n1 时，左边1 21，右边(1) 011，左边右边，猜想成立假设当 n k(k1， k N*)时 ， 猜 想 成 立 ， 即 12 22 32 42 ( 1)k1 k2(1) k1 ，kk 12则当 n k1 时，1 22 23 24 2(1) k1 k2(1) k(k1) 2(1)k1 (1) k(k1) 2(1) k(k1) (1) k ，kk 12 k 1 k2 k 1k 1 12故当 n k1 时，猜想也成立由可知，对于任意 nN *，猜想均成立
