1、1第 2 节 用样本估计总体最新考纲 1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距 ；极 差组 数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开
2、区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示 ，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.频 率组 距2.茎叶图统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.3.样本的数字特征(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.2(3)平均数：把 称为 a1， a2， a
3、n这 n 个数的平均数.a1 a2 ann(4)标准差与方差：设一组数据 x1， x2， x3， xn的平均数为 x，则这组数据的标准差和方差分别是s1n（ x1 ） 2 （ x2 ） 2 （ xn ） 2s2 (x1 )2( x2 )2( xn )21n常用结论与微点提醒1.频率分布直方图中各小矩形的面积之和为 1.2.平均数、方差的公式推广(1)若数据 x1， x2， xn的平均数为 x，那么 mx1 a， mx2 a， mx3 a， mxn a 的平均数是 m a.(2)数据 x1， x2， xn的方差为 s2.数据 x1 a， x2 a， xn a 的方差也为 s2；数据 ax1， a
4、x2， axn的方差为 a2s2.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.( )解析 (1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势.(2)错误.方差越大，这组数据越离散.(3)正确.小矩形的面积组距 频率.频 率组 距(4)错误.茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序
5、写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.答案 (1) (2) (3) (4)2.(教材习题改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )3A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92C.91 和 91.5 D.92 和 92解析 这组数据由小到大排列为 87，89，90，91，92，93，94，96，中位数是 91.5，91 922平均数 x 91.5.87 89 90 91 92 93 94 968答案 A3.(2017全国卷)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，
6、x2， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1， x2， xn的平均数 B.x1， x2， xn的标准差C.x1， x2， xn的最大值 D.x1， x2， xn的中位数解析 刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.答案 B4.(2018烟台质检)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速” ，并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测后所作的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )A.30 辆 B.40 辆 C.60 辆 D.80 辆解析 从频率分布直方图知，车速大于或等于 7
7、0 km/h 的频率为 0.02100.2.由于样本容量为 200，故“超速”被罚的汽车约有 2000.240(辆).答案 B5.(2016江苏卷)已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_.4解析 易求 x (4.74.85.15.45.5)5.1，15方差 s2 (0.4) 2(0.3) 20 20.3 20.4 20.1.15答案 0.1考点一 茎叶图及其应用【例 1】 (1)(2017山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为( )A.3，5 B.
8、5，5 C.3，7 D.5，7(2)(2018济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40 名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于 85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于 85 分且不小于 70 分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为( )A.2 B.4 C.5 D.6解析 (1)由茎叶图，可得甲组数据的中位数为 65，从而乙组数据的中位数也是 65，所以y5.由乙组数据 59，61，67，6
9、5，78，可得乙组数据的平均值为 66，故甲组数据的平均值也为66，从而有 66，解得 x3.56 62 65 74 70 x5(2)由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有 8 人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为 8 2(人).1040答案 (1)A (2)A5规律方法 1.茎叶图的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.2.
10、利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确从中提炼信息.【训练 1】 (1)(2018广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m n 的值是( )A.10 B.11 C.12 D.13(2)(2018沈阳模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，050 为优；51100 为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；大
11、于 300 为严重污染.从某地一环保人士某年的 AQI 记录数据中，随机抽取 10 个，用茎叶图记录如下.根据该统计数据，估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为_(该年为 365 天).解析 (1)甲组学生成绩的平均数是 88，由茎叶图可知 788684889590 m92887， m3，乙组学生成绩的中位数是 89， n9， m n12.(2)该样本中 AQI 大于 100 的频数是 4，频率为 ，25由此估计该地全年 AQI 大于 100 的频率为 ，256估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 365 146.25答案 (1)C (2)146考点二 频率分布直方图(易错警
12、示)【例 2】 (2017北京卷)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30)，30，40)，80，90，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于
13、 70 的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于 70 的频率为 10.60.4.所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70 的概率估计为 0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间40，50)内的人数为 1001000.955.所以总体中分数在区间40，50)内的人数估计为 400 20.5100(3)由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60 30.12所以样本中的男生人数为 30260，女生人数
14、为 1006040，男生和女生人数的比例为604032.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 32.规律方法 1.频率、频数、样本容量的计算方法7(1) 组距频率.频 率组 距(2) 频率， 样本容量，样本容量频率频数.频 数样 本 容 量 频 数频 率2.例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，这是解题的关键，并利用频率分布直方图可以估计总体分布.易错警示 1.频率分布直方图的纵坐标是 ，而不是频率，切莫与条形图混淆.频 率组 距2.制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确.【训练 2】 某校 2018 届高三文(1)班在一次数
15、学测验中，全班 N 名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在 110120 的学生有 14 人.(1)求总人数 N 和分数在 120125 的人数 n；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？解 (1)分数在 110120 内的学生的频率为P1(0.040.03)50.35，所以该班总人数 N 40.140.35分数在 120125 内的学生的频率为P21(0.010.040.050.040.030.01)50.10，分数在 120125 内的人数 n400.104.(2)由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为107.5.105 1
16、102设中位数为 a，80.0150.0450.0550.50， a110.众数和中位数分别是 107.5，110.考点三 样本的数字特征【例 3】 (1)(2018济南一中质检)2017 年 2 月 20 日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动.为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为( )A.9 B.4 C.3 D.2(2)(2016四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，
17、将数据按照0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.求直方图中 a 的值；设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由；估计居民月均用水量的中位数.(1)解析 由茎叶图得该组数据的平均数 x (8789909193)90.15方差为 (8790) 2(8990) 2(9090) 2(9190) 2(9390) 24.15答案 B(2)解 由频率分布直方图可知：月均用水量在0，0.5)内的频率为 0.080.50.04.同理，在0.5，1)，1.5，2)，2，2.5)，3，3.5)，3.5，4)，4，4.5等组的频率分别
18、为 0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由 1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5 a0.5 a，解得 a0.30.由知，该市 100 位居民中月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.060.040.020.12.9由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.1236 000.设中位数为 x 吨.因为前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.210.250.730.5.又前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.48P2，因此正确.410 25设男生、女生两组数
19、据的平均数分别为 x甲 ， 乙 ，标准差分别为 s 甲 ， s 乙.易求 x甲 65.2， x乙 61.8，知 甲 乙 ，正确.又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散， s 甲 s 乙 ，错误，因此符合茎叶图所给数据的结论是.答案 C基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为20，40)，40，60)，60，80)，80，100.若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是( )A.45 B.50C.55 D.60解析 由频率分布直方图，知低于 60 分的频率为(0.0100.005)200.
20、3.该班学生人数 n 50.150.3答案 B2.重庆市 2017 年各月的平均气温()数据的茎叶图如下：11则这组数据的中位数是( )A.19 B.20C.21.5 D.23解析 从茎叶图知所有数据为 8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为 20，20，故中位数为 20.答案 B3.(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C
21、.各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳解析 由题图可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误.答案 A4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲 乙 丙 丁平均环数 x 8.3 8.8 8.8 8.7方差 s2 3.5 3.6 2.2 5.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( )A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析 由题表中数据可知，丙的平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好.12答案 C5.
22、(2016山东卷)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )A.56 B.60 C.120 D.140解析 由频率分布直方图可知每周自习时间不少于 22.5 小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，则每周自习时间不少于 22.5 小时的人数为 0.7200140.答案 D二、填空题6.某校女子篮球队 7 名运动员身高
23、(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为 x，那么x 的值为_.解析 170 (12 x451011)175，17(33 x)5，即 33 x35，解得 x2.17答案 27.(2018宜春调研)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的
24、有6 人，则第三组中有疗效的人数为_.13解析 全体志愿者共有： 50(人)，20（ 0.24 0.16） 1所以第三组有志愿者：0.3615018(人)，第三组中没有疗效的有 6 人，有疗效的有 18612(人).答案 128.若样本数据 x1， x2， x10的标准差为 8，则数据 2x11，2 x21，2 x101 的标准差为_.解析 依题意， x1， x2， x3， x10的方差 s264.则数据 2x11，2 x21，2 x101的方差为 22s22 264，所以其标准差为 2816.2264答案 16三、解答题9.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以160，180)
25、，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中 x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数.解 (1)由(0.0020.009 50.0110.012 5 x0.0050.002 5)201，得x0.007 5，所以直方图中 x 的值为 0.007 5.(2)月平均用电量的众数是 230.220 2402(0.0020.009 50.011)200.450.5，14月平均用电量的中位数在220，240中，设中位数为 a，则(0.0020.009 50.011)200.012 5( a220)
26、0.5.解得 a224，即中位数为 224.10.(2016北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米， w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当 w3 时，估计该市居民该月的人均水费.解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间0.5，1，(1，1.5，
27、(1.5，2，(2，2.5，(2.5，3内的频率依次为 0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用水量不超过 2 立方米的居民占 45%.依题意， w 至少定为 3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7 8分组 2，4 (4，6(6，8(8，10 (10，12(12，17(17，22(22，27频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为40.160.1580.2100.25120.15
28、170.05220.05270.0510.5(元).能力提升题组(建议用时：20 分钟)1511.(2018邯郸一中质检)为比较甲乙两地某月 11 时的气温情况，随机选取该月 5 天 11 时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月 11 时的平均气温比乙地该月11 时的平均气温高 1 ，则甲地该月 11 时的平均气温的标准差为( )A.2 B. C.10 D.2 10解析 甲地该月 5 天 11 时的气温数据(单位：)为 28，29，30，30 m，32；乙地该月 5 天 11 时的气温数据(单位：)为 26，28，29，31，31，则乙地该月 11 时的平均气温为(26282
29、93131)529()，所以甲地该月 11 时的平均气温为 30 ，故(28293030 m32)530，解得 m1.则甲地该月 11 时的平均气温的标准差为 .15（ 28 30） 2 （ 29 30） 2 （ 30 30） 2 （ 31 30） 2 （ 32 30） 2 2答案 B12.(2018长沙一中质检)某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3，0.9内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的 a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为_.解析 (1)由(1.52.5
30、a2.00.80.2)0.11，解得 a3.(2)区间0.3，0.5)内的频率为 0.11.50.12.50.4，故0.5，0.9内的频率为10.40.6.因此，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为 0.610 0006 000.答案 (1)3 (2)6 00013.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：16质量指标值分组75，85) 85，95) 95，105) 105，115) 115，125频数 6 26 38 22 8(1)作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该
31、组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品 80%”的规定？解 (1)样本数据的频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为s2(20) 20.06(10) 20.2600.3810 20.2220 20.08104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104.(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68.17由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.
