1、1考前强化练 7 解答题组合练( C)1.在 ABC中,角 A,B,C所对边分别是 a,b,c,满足 4acos B-bcos C=ccos B.(1)求 cos B的值;(2)若 =3,b=3 ,求 a和 c的值 . 22.(2018河南六市联考一,理 17)已知数列 an中, a1=1,其前 n项的和为 Sn,且满足an= (n2) .222-12(1)求证:数列 是等差数列 ;1(2)证明:当 n2 时, S1+ S2+ S3+ Snb0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点 D22+22在椭圆 C上,直线 l:y=kx+m与椭圆 C相交于 A,P两点 ,与 x轴、 y
2、轴分别相交于点 N和 M,且(1,32)|PM|=|MN|,点 Q是点 P关于 x轴的对称点, QM的延长线交椭圆于点 B,过点 A,B分别作 x轴的垂线,垂足分别为 A1,B1.(1)求椭圆 C的方程 .4(2)是否存在直线 l,使得点 N平分线段 A1B1?若存在,求出直线 l的方程,若不存在,请说明理由 .56.(2018山东临沂三模,理 20)如图,已知抛物线 E:x2=2py(p0)与圆 O:x2+y2=5相交于 A,B两点,且|AB|=4.过劣弧 AB上的动点 P(x0,y0)作圆 O的切线交抛物线 E于 C,D两点,分别以 C,D为切点作抛物线 E的切线 l1,l2,相交于点 M
3、.(1)求抛物线 E的方程;(2)求点 M到直线 CD距离的最大值 .参考答案考前强化练 7 解答题组合练( C)1.解 (1)由题意得,4sin Acos B-sin Bcos C=sin Ccos B,所以 4sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A.因为 sin A0,所以 cos B=14.(2)由 =3,得 accos B=3,ac=12.由 b2=a2+c2-2accos B,b=3 可得 a2+c2=24,所以可得 2a=c=2 3.62.解 (1)当 n2 时, Sn-Sn-1= ,Sn-1-Sn=2SnSn-1, =2,从
4、而 构成以 1为首项,2222-1 1 1-1 1为公差的等差数列 .(2)由(1)可知, +(n-1)2=2n-1,S n= , 当 n2 时, Sn=1=11 12-1 1,从而 S1+ S2+ S3+ Sn= ,3 3 |=332+3253=255 sin= ,55即二面角 B1-CC1-D1的正弦值为55.4.(1)证明 连接 DE,由题意知 AD=4,BD=2,AC 2+BC2=AB2, ACB=90.cos ABC= ,236=33CD 2=22+12-222 cos ABC3=8.CD= 2 ,2CD 2+AD2=AC2,则 CD AB,又 平面 PAB平面 ABC,CD 平面
5、PAB,CD PD,PD AC,AC,CD都在平面 ABC内, PD 平面 ABC.(2)由(1)知 PD,CD,AB两两互相垂直,建立如图所示的直角坐标系 D-xyz,且 PA与平面 ABC所成的角为 ,有 PD=4,则 A(0,-4,0),C(2 ,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4),4 2=(-2 ,2,0), =(2 ,4,0), =(0,-4,-4), 2 2 AD= 2DB,CE=2EB,DE AC.由(1)知 AC BC,PD平面 ABC,CB 平面 DEP.8=(-2 ,2,0)为平面 DEP的一个法向量 .设平面 PAC的法向量为 n=(x,y,z),则 2=0,=
6、0,令 z=1,则 x= ,y=-1, n=( ,-1,1)为平面 PAC的一个法向量 .22+4=0,-4-4=0, 2 2 cos= =-4-2412 32.故平面 PAC与平面 PDE的锐二面角的余弦值为 ,所以平面 PAC与平面 PDE的锐二面角为3230.5.解 (1)由题意得=3,12+942=1,2=2+2,解得 a2=4,b2=3,故椭圆 C的方程为 =1.24+23(2)假设存在这样的直线 l:y=kx+m,M (0,m),N ,(-,0)|PM|=|MN| ,P ,Q ,(,2) (,-2) 直线 QM的方程为 y=-3kx+m.设 A(x1,y1),由=+,24+23=1
7、,得(3 +4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,x 1+ =- , 83+429x 1=-3(1+42)(3+42).设 B(x2,y2),由=-3+,24+23=1, 得(3 +36k2)x2-24kmx+4(m2-3)=0,x 2+ ,= 81+122x 2=-(1+42)(1+122). 点 N平分线段 A1B1,x 1+x2=- ,2- =- ,3(1+42)(3+42)(1+42)(1+122) 2k= ,P (2m,2m), =1,解得 m= ,|m|= 0,符合12 424 +423 217 217 3题意, 直线 l的方程为 y= x12 217.6.解 (1)由 |A
8、B|=4,且 B在圆上,由抛物线和圆的对称性,得 B(2,1),代入抛物线方程得 22=2p1,p=2, 抛物线 E的方程为 x2=4y.(2)设 C x1, ,D x2, ,214 224由 x2=4y,得 y= x2,y= x.14 12则 l1的方程为 y- x1(x-x1),214=1210即 y= x1x- 12 214.同理得 l2的方程为 y= x2x- 12 224.联立 解得=1+22 ,=124 . 又 CD与圆 x2+y2=5切于点 P(x0,y0),得 CD的方程为 x0x+y0y=5,且 =5,y01, ,20+20 5联立 化简得 y0x2+4x0x-20=0.2=4,0+0=5,则 x1+x2=- ,x1x2=-40y0 200.设点 M(x,y),则 x= =- ,y= =- ,即 M - ,- ,1+22 200 124 50 200 50 点 M到直线 CD:x0x+y0y=5的距离为 d=,| -2200-5-5|20+20 =2200+105 =2(5-20)0 +105 =100-20+105易知 d关于 y0单调递减,而 y01, ,当 y0=1时, dmax= ,即点 M到510-2+105 =1855直线 CD距离的最大值为1855 .
