1、1124 分项练 2 不等式与推理证明1(2018北京海淀区模拟)已知 xy0，则( )A. B. x y1x1y (12) (12)Ccos xcos y Dln( x1)ln( y1)答案 D解析 因为当 xy0 时， 0， b0)平分圆x2 y22 x4 y0，则 的最小值为( )1a 1bA2 B22C. D323 222 2答案 C解析 将 x2 y22 x4 y0 化为( x1) 2( y2) 25，因为直线 l： ax by2 平分圆 x2 y22 x4 y0，所以 a2 b2，又 a0， b0，则 (a2 b)1a 1b 12 (1a 1b) 12(3 2ba ab) 3 22
2、2.(当 且 仅 当2ba ab， 即 a 2b时 取 等 号 )5(2018华大新高考联盟模拟)若实数 x， y 满足不等式组Error!则 x2 y2的取值范围是( )A. B0,2 C. D.14， 2 12， 2 0， 23答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x2 y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然 O 点为最小值点，而 A(1,1)为最大值点，故 x2 y2的取值范围是0,26已知实数 x， y 满足Error!如果目标函数 z x y 的最小值为1，则实数 m 等于( )A7 B5 C4 D1答案 B解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(
3、含边界)，联立直线方程Error!可得交点坐标为 A ，(m 13 ， 2m 13 )由目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，所以 1，解得 m5.m 13 2m 137有三支股票 A， B， C,28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票则只持有 B 股票的股民人数是( )A7 B6C5 D4答案 A解析 设只持有 A 股票的人数为 X(如
4、图所示)，4则持有 A 股票还持有其它股票的人数为 X1(图中 d e f 的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票，则只持有了 B 或 C 股票的人数和为 X(图中 b c 部分)假设只同时持有了 B 和 C 股票的人数为 a(如图所示)，那么 X X1 X a28，即 3X a29，则 X 的取值可能是 9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的 a 值为 2,5,8,11,14,17,20,23,26.因为没持有 A 股票的股民中，持有 B 股票的人数为持有 C 股票人数的 2 倍，得b a2( c a)，即 X a3 c，故当 X8， a5 时满足题意，故 c1， b
5、7，故只持有 B股票的股民人数是 7，故选 A.8(2018哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点( x， y)满足约束条件Error!且 xZ， yZ，则这样的点共有( )A12 个 B11 个 C10 个 D9 个答案 A解析 画出Error!表示的可行域(含边界)，由图可知，满足 xZ， yZ 的( x， y)有(4，1)，(3,0)，(2,1)，(2,0)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共 12 个9.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定
6、理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF AB，设AC a， BC b，则该图形可以完成的无字证明为( )A. (a0， b0)a b2 abB a2 b22 ab(a0， b0)C. (a0， b0)2aba b abD. (a0， b0)a b2 a2 b22答案 D5解析 由 AC a， BC b，可得圆 O 的半径 r ，a b2又 OC OB BC b ，a b2 a b2则 FC2 OC2 OF2 ，a b24 a b24 a2 b22再根据题图知 FO FC，即 ，当且仅当 a b 时取等号故选 D.a
7、 b2 a2 b2210已知实数 x， y 满足约束条件Error!如果目标函数 z x ay 的最大值为 ，则实数 a 的163值为( )A3 B.143C3 或 D3 或143 113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当 a0 时不满足题意，故 a0.目标函数化为 y x z，当 a0 时， 0，1a(3)当 00，解得 a1.aa 1同理 b1. 9( a1)2 6 ，1a 1 9aa 1 1 1a 1 9a 11a 17当且仅当 9(a1) ，即 a 时等号成立1a 1 43 的最小值为 6.1a 1 9b 113(2018上饶模拟)若 x， y 满足约束条件E
8、rror!则 的最小值为_y 1x 2答案 23解析 画出 x， y 满足约束条件Error!的可行域如图阴影部分所示(含边界)的几何意义为可行域内的动点 P(x， y)与定点 Q(2，1)连线的斜率，y 1x 2当 P 位于 A(1,1)时，直线 PQ 的斜率最大，此时 kmax 2，1 1 1 2当 P 位于 B(1,1)时，直线 PQ 的斜率最小，此时 kmin .1 11 2 2314(2018南平模拟)若实数 x， y 满足Error!且 z mx ny(m0， n0)的最大值为 4，则 的最小值为_1m 1n答案 2解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)由可行域知
9、可行域内的点( x， y)均满足 x0， y0.所以要使 z mx ny(m0， n0)最大，只需 x 最大， y 最大即可，即在点 A 处取得最大值联立Error! 解得 A(2,2)所以有 2m2 n4，即 m n2.8 (m n) (22)2.1m 1n 12 (1m 1n) 12(1 mn nm 1) 12当且仅当 m n1 时， 取得最小值 2.1m 1n15(2018宣城调研)已知函数 f(x)2 xsin x，若正实数 a， b 满足 f(a) f(2b1)0，则 的最小值是_1a 4b答案 94 2解析 因为 f( x)2cos x0， f( x)2 xsin x f(x)，所
10、以函数 f(x)为单调递增的奇函数，因此由 f(a) f(2b1)0，得 f(a) f(2b1) f(12 b)，所以 a12 b， a2 b1，因此 9 92 9 4 ，1a 4b (1a 4b)(a 2b) 2ba 4ab 2ba4ab 2当且仅当 a ， b 时取等号22 17 4 2716(2018漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段 AB 的长度为 a，在线段 AB 上取两个点 C， D
11、，使得 AC DB AB，以 CD 为一边在14线段 AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 CD，得到图 2 中的图形；对图 2 中的最上方的线段 EF 做相同的操作，得到图 3 中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第 n 个图形(图 1 为第 1 个图形)中的所有线段长的和为 Sn，现给出有关数列 Sn的四个命题：数列 Sn是等比数列；数列 Sn是递增数列；存在最小的正数 a，使得对任意的正整数 n，都有 Sn2 018；存在最大的正数 a，使得对任意的正整数 n，都有 Sn2 018.9其中真命题是_(请写出所有真命题的序号)答案 解析 由题意，得图 1 中的线段为 a，
12、 S1 a，图 2 中的正六边形的边长为 ，a2S2 S1 4 S12 a，a2图 3 中的最小正六边形的边长为 ，a4S3 S2 4 S2 a，a4图 4 中的最小正六边形的边长为 ，a8S4 S3 4 S3 ，a8 a2由此类推， Sn Sn1 (n2)，a2n 3即 Sn为递增数列，但不是等比数列，即错误，正确；因为 Sn S1( S2 S1)( S3 S2)( Sn Sn1 ) a2 a a aa2 a2n 32a(1 12n 1)1 12 a4 a 5a， n2，(112n 1)又 S1 a5a，所以存在最大的正数 a ，2 0185使得对任意的正整数 n，都有 Sn2 018，即正确，错误
