1、1124 分项练 4 平面向量与数学文化1(2018贵阳模拟)如图，在 ABC 中， BE 是边 AC 的中线， O 是 BE 边的中点，若 a，AB b，则 等于( )AC AO A. a b B. a b12 12 12 14C. a b D. a b14 12 14 14答案 B解析 在 ABC 中， BE 是 AC 边上的中线， ，AE 12AC O 是 BE 边的中点， ( )，AO 12AB AE ，AO 12AB 14AC a， b，AB AC a b.AO 12 1422已知向量 a(2,4)，| b|2，| a2 b|8，则 a 在 a b 方向上的投影为( )A. B. C
2、. D.435 328 557 131010答案 D解析 由 a(2,4)，| b|2，| a2 b|8，可知| a| 2 ，22 42 5(a2 b)2 a24 b24 ab64，则 ab7，所以 a 在 a b 方向上的投影为 aa b|a b| a2 aba2 b2 2ab .20 720 4 2 7 1310103若两个非零向量 a， b 满足| a|1，| b|2，|2 a b|2 ，则 a 与 b 的夹角为( )3A. B. C. D. 6 4 3 23答案 C解析 设 a， b 的夹角为 ， 0，则由| a|1，| b|2，|2 a b|2 ，3得(2 a b)212，即(2 a
3、)24 ab b244 ab412，所以 ab1，所以 cos ，所以 .12 34(2018上饶模拟)设 D， E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 BC2，则 等于( )AD AE A. B. C. D.49 89 269 263答案 C解析 如图，| | |2， ， 60，AB AC AB AC D， E 是边 BC 的两个三等分点， AD AE (AB 13BC ) (AC 13CB ) (23AB 13AC ) (13AB 23AC )3 | |2 | |229AB 59AB AC 29AC 4 22 4 .29 59 12 29 2695(2018烟台模拟)如果
4、 2， 3， ab4，则 的值是( )|a| |b| |a 2b|A24 B2 C24 D26 6答案 B解析 由 2， 3， ab4，|a| |b|得 |a 2b| a 2b2 a2 4b2 4ab 2 .4 36 44 66(2018昆明模拟)程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996斤棉花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A65 B176 C183 D184答案 D解析 根据
5、题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列 an，其中d17， n8， S8996.由等差数列前 n 项和公式可得 8a1 17996，872解得 a165.由等差数列通项公式得 a865(81)17184.7八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH，其中 OA1，则给出下列结论： 0； ；HD BF OA OD 22 ；| | .OB OH 2OE AH FH 2 2其中正确结论的个数为( )A4 B3 C2 D14答案 B解析 正八边形 ABCDEFGH 中， HD BF， 0，故正确；HD BF 11cos ，故正确；
6、OA OD 34 22 ，故正确；OB OH 2OA 2OE | | | |，AH FH AF OF OA 则| |211211cos 2 ，AF 34 2| | ，故错误AF 2 2综上，正确的结论为，故选 B.8(2018芜湖模拟)我国古代数学著作九章算术中有一道题目，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问：米几何？如图是源于其思想的一个程序框图，若输出的 S2(单位：升)，则输入 k 的值为( )A6 B7 C8 D9答案 C解析 阅读程序框图，初始化数值 n1， S k，循环结果执行如下：第一次： n10)，3则大正方形的边长为 2k，小正
7、方形的边长为( 1) k，3所以大正方形的面积为 4k2，小正方形的面积为( 1) 2k2，36故所求概率为 1 .3 12k24k2 3211(2018南平质检)我国古代著名的数学著作有周髀算经 、 九章算术 、 孙子算经 、五曹算经 、 夏侯阳算经 、 孙丘建算经 、 海岛算经 、 五经算术 、 缀术 、 缉古算机等 10 部算书，被称为“算经十书” 某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少” ；乙：“甲比丙多” ；丙：“我比丁多” ；丁：“丙比乙多” ，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个
8、人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )A乙甲丙丁 B甲丁乙丙C丙甲丁乙 D甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：甲 乙 丙 丁甲说 丁乙乙说 甲丙丙说 丙丁丁说 丙乙对于选项 A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项 B，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项 C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项 D，甲说的对，也正好是最少的，符合，选 D.12(2018河北省衡水中学模拟)已知 2，点 C 在线段 AB 上，且 的最小值为|OA | |OB | |OC
9、|1，则 (tR)的最小值为( )|OA tOB |A. B. C2 D.2 3 5答案 B解析 2，|OA | |OB |点 O 在线段 AB 的垂直平分线上点 C 在线段 AB 上，且 的最小值为 1，|OC |当 C 是 AB 的中点时 最小，此时 1，|OC | |OC |7此时 与 的夹角为 60，OB OC ， 的夹角为 120.OA OB 又 2 2 t2 22 t |OA tOB | OA OB OA OB 44 t22 t22cos 1204 t24 t44 233，(t12)当且仅当 t 时等号成立12 2的最小值为 3，|OA tOB | 的最小值为 .|OA tOB |
10、 313(2018石家庄模拟)已知向量 a 与 b 的夹角是 ，| a|1，| b| ，则向量 a2 b 与 a 3 12的夹角为_答案 3解析 ab cos ，|a|b| 3 14a(a2 b) a22 ab ，12|a2 b| a 2b2 1.a2 4ab 4b21 414 414设向量 a2 b 与 a 的夹角为 ，cos ，aa 2b|a|a 2b| 12又因为 0，所以 . 314(2018宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在张丘建算经中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百钱买百鸡，问鸡翁母
11、雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为 x， y， z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组Error!的解其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数 m 的值为_8答案 4解析 由Error!得 y25 x，故 x 必为 4 的倍数，74当 x4 t 时， y257 t，由 y257 t0 得， t 的最大值为 3，故判断框应填入的是 t4？，即 m4.15若非零向量 a， b 满足| b| |a|，若( a2 b)(3 a tb)， a 与 b 的夹角等于 ，则实2 4数 t 的值为_答案 95解析 由 a 与 b 的夹角等于 可得 4cos ，故 ab|
12、a|2. 4 ab|a|b| ab2|a|2由( a2 b)(3 a tb)可得3a2 tab6 ab2 tb20，即 3|a|2(6 t)|a|24 t|a|20，又 a 为非零向量，所以| a|20，则有 36 t4 t0，解得 t .9516(2018咸阳模拟)已知圆的半径为 1， A， B， C， D 为该圆上四个点，且 ，则AB AC AD ABC 面积的最大值为_答案 19解析 如图所示，由 知，四边形 ABDC 为平行四边形，AB AC AD 又 A， B， C， D 四点共圆，四边形 ABDC 为矩形，即 BC 为圆的直径， ABC 的面积 S ABAC AD2，12 12 AB2 AC22 14当 AD 是圆的直径时， ABC 的面积最大当 AB AC 时， ABC 的面积取得最大值 41.14
