1、1第 2 讲 概 率考情考向分析 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力热点一 古典概型和几何概型1古典概型的概率P(A) .mn A中 所 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数2几何概型的概率P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 例 1 (1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展现有 4 名男生和 2 名女生主动申请毕
2、业后到两所偏远山区小学任教将这 6 名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排 2 名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为( )A. B. C. D.425 25 1425 45答案 C解析 由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少 2 名毕业生，基本事件的总数为 N A 50，(C26C36C3A2) 2每所学校男女毕业生至少安排一名共有 2 种情况2一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有 C C A 16(种)，12142二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女两男，有 C C 12(种)，1224共有 161228(种)所以概率为 P .2850 1
3、425(2)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M 是 AB 的中点，过 C， M， D 三点的抛物线与 CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )A. B.16 13C. D.12 23答案 D解析 以 M 为原点， BA 所在直线为 y 轴， BA 的垂线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则过C， M， D 的抛物线方程为 y2 x，则图中阴影部分面积为 2 dx 32| ，所以12 2012x 2 23 20 83落在阴影部分的概率为 P ，故选 D.834 23思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事
4、件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解跟踪演练 1 (1)(2017山东)从分别标有 1,2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. C. D.518 49 59 79答案 C解析 方法一 9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数
5、) ，59 48 5183P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数) ，49 58 518 P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同) .518 518 59方法二 依题意，得 P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同) .54C29 59(2)(2018咸阳模拟)在区间 上随机选取一个实数 x，则事件“sin x ”发生 2， 2 32的概率为( )A1 B. C. D.14 13 16答案 D解析 因为 x ，sin x ，所以 x ， 2， 2 32 3 2所以由几何概型的概率公式得事件“sin x ”发生的概率为 .32 2 3 2 ( 2) 16热点二 条件概率与相互独立事件1条件概率在 A
6、发生的条件下 B 发生的概率P(B|A) .PABPA2相互独立事件同时发生的概率P(AB) P(A)P(B)例 2 (1)(2018衡水调研)电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是 ，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是( )13A. B. C. D.1027 448729 100243 4081答案 B解析 由题图可知， AC 之间未连通的概率是 2 ，连通的概率是 1 .EF 之间连通的(13) 19 19 89概率是 2 ，未连通的概率是 1 ，故 CB 之间未连通的概率是 2 ，故 CB 之间(23) 49 49 59
7、 (59) 25814连通的概率是 1 ，故 AB 之间连通的概率是 .2581 5681 89 5681 448729(2)(2018新余模拟)从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数，事件 A“第一次取到的是奇数” ， B“第二次取到的是奇数” ，则 P(B|A)等于( )A. B.12 25C. D.310 15答案 A解析 由题意得 P(A) ，C15C18A29 59P(AB) ，C15C14A29 518 P(B|A) .PABPA51859 12思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂
8、事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同跟踪演练 2 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ，两次闭合后都出现红灯的概率为 ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第12 15二次闭合后出现红灯的概率为( )A. B. C. D.110 15 25 12答案 C解析 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A， “第二次闭合后出现红灯”为事件 B，由题意得 P(A) ， P(AB)
9、 .由条件概率的定义可得 P(B|A) .12 15 PABPA1512 25(2)如图， ABCD 是以 O 为圆心、半径为 2 的圆的内接正方形， EFGH 是正方形 ABCD 的内接正方形，且 E， F， G， H 分别为 AB， BC， CD， DA 的中点将一枚针随机掷到圆 O 内，用 M 表示事件“针落在正方形 ABCD 内” ，用 N 表示事件“针落在正方形 EFGH 内” ，则 P(N|M)等于( )5A. B. C. D.1 22 12 14答案 C解析 由题意得，圆 O 的半径为 2，所以内接正方形 ABCD 的边长为 AB2 ，2则正方形 ABCD 的面积为 S1(2 )
10、28，2因为 E， F， G， H 分别为 AB， BC， CD， DA 的中点，所以 EF 2R2，12所以正方形 EFGH 的面积为 S22 24，所以 P(N|M) ，故选 C.48 12热点三 离散型随机变量的分布列1离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi0( i1,2， n)；(2) p1 p2 pn1.2独立重复试验、二项分布如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 C pk(1 p)n k， k0,1,2， n.kn一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为
11、p，则 P(X k)C pkqn k，其中 037.1104，故建议企业选择方案 2.真题体验1(2017全国改编)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_答案 25解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率 P .1025 252(2017浙江改编)已知随机变量 i满足 P( i1) pi， P( i0)1 pi， i1,2.9若 0，0，12根据 00.5，410 61
12、0所以 p0.6.押题预测1某校在 2016 年的中学数学挑战赛中有 1 000 人参加考试，数学考试成绩 N(90， 2)( 0，试卷满分 150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 ，则此次数学考试成绩不低于 110 分的考生人数约为( )35A200 B400 C600 D800押题依据 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注答案 A解析 依题意得 P(70 110)0.6，P( 110)0.30.50.8， P( 110)0.2，于是此次数学考试成绩不低于 110 分的考生约有021 000200(人)2位于坐标原点的一
13、个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向10上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是12_押题依据 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点答案 516解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C 3 2C 5 .35(12) (12) 35(12) 5163本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收
14、费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ，；两1412 1214人租车时间都不会超过四小时(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与期望 E( )押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的期望解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 ， .14 14记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则 P(A) .14
15、12 12 14 14 14 516所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .516(2) 的可能取值为 0,2,4,6,8.P( 0) ， P( 2) ，14 12 18 14 14 12 12 516P( 4) ，14 14 12 14 12 14 516P( 6) ，14 14 12 14 316P( 8) ，14 14 116故 的分布列为11 0 2 4 6 8P 18 516 516 316 116E( )0 2 4 6 8 .18 516 516 316 116 72A 组 专题通关1(2018邯郸模拟)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6，只
16、有通过前一关才能进入下一关，且每关通过与否相互独立一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )A0.56 B0.336 C0.32 D0.224答案 D解析 该选手只闯过前两关的概率为 0.80.7(10.6)0.224.2(2017全国)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.14 8 12 4答案 B解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形 4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心
17、成中心对称，得 S 黑 S 白 S 圆 ，所以12 2由几何概型知，所求概率 P .S黑S正 方 形 24 83(2018全国)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 30723.在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )12A. B. C. D.112 114 115 118答案 C解析 不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 C 45(种)情况，而和为 30 的有 723,1119,1317
18、 这 3 种情况，所求210概率为 .故选 C.345 1154盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球，不放回地依次摸出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )A. B.35 59C. D.25 110答案 B解析 设“第一次摸出新球”为事件 A， “第二次摸出新球”为事件 B，则 P(A) ， P(AB) ，C16C19C10C19 35 C16C15C10C19 13P(B|A) .PABPA 595.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示 1,2,3,4,5,6)出来，规定猜中出口者为胜如
19、果你在该游戏中，猜得珠子从 3 号出口出来，那么你取胜的概率为( )A. B.516 532C. D以上都不对16答案 A解析 我们把从 A 到 3 的路线图(图略)单独画出来：分析可得，从 A 到 3 共有 C 10(种)走法，每一种走法的概率都是 5，所以珠子从出口 3 出来的概率25 (12)是 C 5 .25(12) 5166(2018上海黄浦区模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 5 次，则恰好有 3 次出现正面13向上的概率是_(结果用数值表示)答案 516解析 一枚硬币连续抛掷 5 次，则恰好有 3 次出现正面向上的概率 PC 3 2 .35(12) (12) 5167(2018日
20、照模拟)在Error!的可行域内任取一点( x， y)，则满足 2x3 y0 的概率是_答案 29解析 绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由Error! 解得Error!即 A(3,2)，且 B ， C(0，1)，(0，72)故 S ABC 3 .12 (72 1) 274作出直线 2x3 y0，则 2x3 y0 表示的区域为 OAC，即不等式 2x3 y0 所表示的区域为 OAC，面积为 S AOC 13 ，12 32所以满足 2x3 y0 的概率是 P .S AOCS ABC32274 298(2018洛阳联考)已知随机变量 X B ， Y N ，若(2， p) (2， 2)P 0.6
21、4， P(04)_.(X 1)答案 0.1解析 随机变量服从 X B ，(2， p) P 1C 20.64，解得 p0.4.(X 1) 02(1 p)又 Y N ，(2， 2) P P 0.5 P 0.1.(Y4) (YE ，(X) (Z)所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算B 组 能力提高11某同学用“随机模拟方法”计算曲线 yln x 与直线 xe， y0 所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了 10 个在区间1，e上的均匀随机数 xi和 10 个在区间0,1上的均匀随机数 yi(iN *,1 i10)，其数据如下表的前两行.x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.
22、17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10ln x 0.92 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( )A. (e1) B. (e1)35 25C. (e1) D. (e1)35 25答案 A解析 由表可知，向矩形区域Error!内随机抛掷 10 个点，其中有 6 个点在曲边三角形内，其频率为 .610 35矩形区域的面积为 e1，16曲边三角形面积的近似值为 (e1)3512记“点 M(x， y)满
23、足 x2 y2 a(a0)”为事件 A，记“ M(x， y)满足Error!”为事件 B，若 P(B|A)1，则实数 a 的最大值为( )A. B.12 45C1 D.13答案 A解析 要使得 P(B|A)1，则不等式 x2 y2 a 所表示的区域在不等式组Error!所表示的平面区域内，又圆 x2 y2 a 的圆心为(0,0)，半径为 ，a圆心(0,0)到直线 x y10 的距离为 d1 a ；12 a 12圆心(0,0)到直线 5x2 y40 的距离为 d2 a ；429 a 1629圆心(0,0)到直线 2x y20 的距离为 d3 a .25 a 45因为 d1d2d3，所以 a ，1
24、2所以实数 a 的最大值为 .121713赌博有陷阱，某种赌博游戏每局的规则是参与者从标有 5,6,7,8,9 的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的 2 倍作为其奖金(单位：元)，若随机变量 和 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则 E( ) E( )_.答案 3解析 赌金 的分布列为 5 6 7 8 9P 15 15 15 15 15E( ) (56789)7，15奖金的情况：两卡片数字之差的绝对值为 1，共有 4 种，奖金为 2 元；两卡片数字之差的绝对值为 2，共有 3 种，奖金为
25、4 元；两卡片数字之差的绝对值为 3，共有 2 种，奖金为 6 元；两卡片数字之差的绝对值为 4，共有 1 种，奖金为 8 元则 P( 2) ， P( 4) ，4C25 25 3C25 310P( 6) ， P( 8) .2C25 15 110奖金 的分布列为 2 4 6 8P 25 310 15 110 E( )2 4 6 8 4，25 310 15 110 E( ) E( )743.14.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁首先登上第 3 个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一
26、方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台阶，当有任何一方登上第 3 个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为 X.(1)求游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率；18(2)求 X 的分布列和期望解 (1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有 339(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第 i(iN *)次划拳小华赢”为 Ai；事件“第 i 次划拳小华平”为 Bi；事件“第 i 次划拳小华输”为 Ci，所以 P(Ai) P(Bi) P(Ci) .39 13因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况
27、：第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为 P1A P(B1)P(C2)P(B3) P(C1)P(A2)P(C3)P(B4) ，2781第二种：小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为 P2 P(B1)P(B2)P(C3)A P(A1)P(B2)P(C3)P(C4) P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)P(C5)3 P(C1)P(A2)P(C3)P(A4)P(C5) .29243所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为P P1 P2 .781 29243 50243(2)依题可知 X 的可能取值为 2,3,
28、4,5，P(X5)2 P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)2 4 ，(13) 281P(X2)2 P(A1)P(A2)2 2 ，(13) 29P(X3)2 P(A1)P(B2)P(A3)2 P(B1)P(A2)P(A3) P(B1)P(B2)P(B3)2 P(A1)P(B2)P(B3)2 P(B1)P(A2)P(B3)2 P(B1)P(B2)P(A3)2 P(C1)P(A2)P(A3) ，1327P(X4)1 P(X5) P(X2) P(X3) .2281所以 X 的分布列为X 2 3 4 5P 29 1327 2281 281所以 X 的期望为 E(X)2 3 4 5 .29 1327 2281 281 25181
