1、1第 3 讲 导数及其应用考情考向分析 1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点、不等式的结合常作为高考压轴题出现热点一 导数的几何意义1函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率，曲线 f(x)在点P 处的切线的斜率 k f( x0)，相应的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)2求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的不同例 1 (1)(2018全国)设函数 f(x) x3( a1) x2 ax，若 f(x)为
2、奇函数，则曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A y2 x B y x C y2 x D y x答案 D解析 方法一 f(x) x3( a1) x2 ax， f( x)3 x22( a1) x a.又 f(x)为奇函数， f( x) f(x)恒成立，即 x3( a1) x2 ax x3( a1) x2 ax 恒成立， a1， f( x)3 x21， f(0)1，曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.方法二 f(x) x3( a1) x2 ax 为奇函数，2 f( x)3 x22( a1) x a 为偶函数， a1，即 f( x)3 x21， f(0)1
3、，曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.(2)(2018雅安三诊)若曲线 y x2与曲线 y aln x 在它们的公共点 P 处具有公共12e (s， t)切线，则实数 a 等于( )A1 B. C1 D212答案 A解析 曲线 y x2的导数为 y ，在 P(s， t)处的斜率为 k1 .12e xe se曲线 y aln x 的导数为 y ，在 P(s， t)处的斜率为 k2 .ax as由曲线 y x2与曲线 y aln x 在它们的公共点 P(s， t)处具有公共切线，12e可得 ，并且 t s2， t aln s，se as 12e即Error! ln s
4、 ， s2e.12可得 a 1.s2e ee思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点P 为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解跟踪演练 1 (1)(2018全国)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_答案 2 x y20解析 因为 y ， y| x1 2，2x所以切线方程为 y02(
5、x1)，即 2x y20.(2)若函数 f(x)ln x(x0)与函数 g(x) x22 x a(x0)，则切线方程为 yln x1 (x x1)1x1设公切线与函数 g(x) x22 x a 切于点 B(x2， x 2 x2 a)(x2h(2)ln 21ln ，12e a .(ln12e， )热点二 利用导数研究函数的单调性1 f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x) x3在(，)上单调递增，但 f( x)0.2 f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f( x)0 时，则 f(x)为常函数，函数不具有单调性例 2 (2018惠
6、州模拟)已知函数 f(x)4ln x mx21 .(m R)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若对任意 x ， f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围1， e解 (1)由题意知 f( x) 2 mx (x0)，4x 4 2mx2x4当 m0 时， f( x)0 在 x(0，)时恒成立， f(x)在(0，)上单调递增当 m0 时， f( x)4 2mx2x (x0)， 2m(x 2m)(x 2m)x令 f( x)0，得 0 .2m 2m f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0， 2m) (2m， )综上所述，当 m0 时， f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时， f(x)在
7、上单调递增，(0， 2m)在 上单调递减(2m， )(2)方法一 由题意知 4ln x mx210 在 上恒成立，即 m 在 上恒成1， e4ln x 1x2 1， e立令 g(x) ， x ，4ln x 1x2 1， e g( x) ， x1，e，2(1 4ln x)x3令 g( x)0，得 10，5()若 e，即 00 或f( x)1 时，ln x0，要使 f( x)0 恒成立，则 x a0 恒成立 x a1 a，1 a0，解得 a1，当 00，则关于 x 的不等式 f(x2) 的解集为( )(x32) 1exA. B.( ， 3) (3， )C(，0) D(0，)答案 B解析 因为 f(
8、x) f ，(x32)所以 f(x)周期为 3， f(x)为偶函数，所以 f(2 018) f(2) f(1) f(1)，令 g(x)e x2 f(x)，则 g( x)e x2 f(x) f( x)0，g(x)在 R 上单调递增， g(1)1，由 f(x2) ，得 g(x2) g(1)，1ex所以 x21， x3，即解集为 .(3， )热点三 利用导数求函数的极值、最值1若在 x0附近左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值72设函数 y f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，则 f(x)在 a， b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得
9、例 3 (2018北京)设函数 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x.(1)若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线斜率为 0，求 a；(2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围解 (1)因为 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x，所以 f( x) ax2( a1) x1e x， f(2)(2 a1)e 2.由题意知 f(2)0，即(2 a1)e 20，解得 a .12(2)由(1)得 f( x) ax2( a1) x1e x( ax1)( x1)e x.若 a1，则当 x 时， f( x)0.所以 f(x)在 x1 处取得极小值若 a1，则当 x
10、(0,1)时， ax1 x10.所以 1 不是 f(x)的极小值点综上可知， a 的取值范围是(1，)思维升华 (1)求函数 f(x)的极值，则先求方程 f( x)0 的根，再检查 f( x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f( x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数 f(x)在闭区间 a， b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)， f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练 3 (2018四川省 “联测促改”活动试题)已知函数 f(x)是偶函数，且满足2f(x2) f( x)0，当 x(0,2时， f(
11、x)e x ax(a1)，当 x 时， f(x)的( 4， 2最大值为 4e216.(1)求实数 a 的值；(2)函数 g(x) bx34 bx2 ，若对任意的 x1(1，2)，总存在 x2(1,2)，使不等43 (b 0)式 f(x1)1)，8当 x 时， x4(0,2，( 4， 2 f(x)4 f 4e x4 4 a .(x 4) (x 4)又 a1， f( x)4e x4 4 a0 恒成立， f(x)在 上单调递增，( 4， 2 f(x)max f(2)4e 28 a，令 4e28 a4e 216，解得 a2.实数 a 的值为 2.(2)当 x(1,2)时， f(x)e x2 x， f(
12、 x)e x20，函数 f(x)在(1,2)上单调递增，当 x(1,2)时， f(x)0 时， g( x)0，函数 g(x)在区间(1,2)上单调递增， g(x)0，故正确2(2017全国改编)若 x2 是函数 f(x)( x2 ax1)e x1 的极值点，则 f(x)的极小值为_答案 1解析 函数 f(x)( x2 ax1)e x1 ，则 f( x)(2 x a)ex1 ( x2 ax1)e x1e x1 x2( a2) x a1由 x2 是函数 f(x)的极值点，得f(2)e 3 (42 a4 a1)( a1)e 3 0，所以 a1，所以 f(x)( x2 x1)e x1 ，f( x)e
13、x1 (x2 x2)由 ex1 0 恒成立，得当 x2 或 x1 时， f( x)0，且 x0；当21 时， f( x)0.10所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.3(2017山东改编)若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数 f(x)具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是_(填序号) f(x)2 x; f(x) x2； f(x)3 x; f(x)cos x.答案 解析 若 f(x)具有性质 M，则e xf(x)e xf(x) f( x)0 在 f(x)的定义域上恒成立，即 f(x) f
14、( x)0 在 f(x)的定义域上恒成立对于式， f(x) f( x)2 x2 xln 22 x(1ln 2)0，符合题意经验证，均不符合题意4(2017全国)曲线 y x2 在点(1,2)处的切线方程为_1x答案 x y10解析 y2 x ， y| x1 1，1x2即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k1，切线方程为 y2 x1，即 x y10.押题预测1设函数 y f(x)的导函数为 f( x)，若 y f(x)的图象在点 P(1， f(1)处的切线方程为x y20，则 f(1) f(1)等于( )A4 B3 C2 D1押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“
15、在某一点处的切线”问题，也是易错易混点答案 A解析 依题意有 f(1)1,1 f(1)20，即 f(1)3，所以 f(1) f(1)4.2已知函数 f(x) x3 ax2 bx a27 a 在 x1 处取得极大值 10，则 的值为( )abA B223C2 或 D2 或23 23押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁” ，理解极值概念是学好导数的关键极值点、极值的求法是高考的热点答案 A11解析 由题意知 f( x)3 x22 ax b， f(1)0， f(1)10，即Error!解得Error! 或Error!经检验Error! 满足题意，故 .ab 233已知函数 f(x) x2 ax
16、3 在(0,1)上为减函数，函数 g(x) x2 aln x 在(1,2)上为增函数，则 a 的值等于_押题依据 函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别答案 2解析 函数 f(x) x2 ax3 在(0,1)上为减函数， 1，得 a2.a2又 g( x)2 x ，ax依题意 g( x)0 在(1,2)上恒成立，得 2x2 a 在(1,2)上恒成立， a2， a2.4已知函数 f(x) x ， g(x) x22 ax4，若对任意 x10,1，存在 x21,2，1x 1使 f(x1) g(x2)，则实数
17、 a 的取值范围是_押题依据 不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决考查了转化与化归思想，是高考的一个热点答案 94， )解析 由于 f( x)1 0，1x 12因此函数 f(x)在0,1上单调递增，所以当 x0,1时， f(x)min f(0)1.根据题意可知存在 x1,2，使得 g(x) x22 ax41，即 x22 ax50，即 a 成立，x2 52x12令 h(x) ，x2 52x则要使 a h(x)在1,2上能成立，只需使 a h(x)min，又函数 h(x) 在1,2上单调递减，x2 52x所以 h(x)min h(2) ，故只需 a .94 94A 组 专题通关1(201
18、8株洲质检)设函数 y xsin xcos x 的图象在点 处切线的斜率为 g(t)，(t， ft)则函数 y g(t)的图象一部分可以是( )答案 A解析 因为 y xcos x，所以 g(t) tcos t，由 g( t) tcos t g(t)知函数 g(t)为奇函数，所以排除 B，D 选项，当从 y 轴右侧 t0 时，cos t0， t0，所以 g(t)0，故选 A.2(2018昆明统考)已知函数 f(x) k ，若 x1 是函数 f(x)的唯一极值点，exx (ln x x)则实数 k 的取值范围是( )A. B.( ， e ( ， e)C. D.( e， ) e， )答案 A解析
19、由函数 f(x) k ，exx (ln x x)可得 f( x) k (x0)，exx exx2 (1x 1) x 1x (exx k)13 f(x)有唯一极值点 x1， f( x)0 有唯一根 x1， k0 无根或有且仅有一个根为 x1，exx设 g(x) ，exx则 g( x) ，exx 1x2由 g( x)0 得， g(x)在1，)上单调递增，由 g( x)0，即所求不等式的解集为(0，)4若函数 f(x)e x x2 ax(其中 e 是自然对数的底数)的图象在 x0 处的切线方程为y2 x b，则函数 g(x) 在(0，)上的最小值为 ( )f x bxA1 Be Ce2 De 214
20、答案 C解析 因为 f( x)e x2 x a，所以 f(0)1 a.由题意知 1 a2，解得 a1，因此 f(x)e x x2 x，而 f(0)1，于是 120 b，解得 b1，因此 g(x) ，f x bx f x 1x ex 2xx所以 g( x) ，exx 1x2令 g( x)0 得 x1，故 g(x)在 x1 处取得极小值，即 g(x)在(0，)上的最小值为 g(1)e2.5若曲线 y xln x 与曲线 y ax3 x1 在公共点处有相同的切线，则实数 a 等于( )A. B C D.e23 e23 e3 e3答案 B解析 设两曲线的公共点为 P(m， n)， m0，由 y xln
21、 x，得 y1 ，1x则曲线 y xln x 在点 P(m， n)处的切线的方程为y mln m (x m)，(11m)即 y x1ln m.(11m)由 y ax3 x1，得 y3 ax21，则曲线 y ax3 x1 在点 P(m， n)处的切线的方程为y am3 m1(3 am21)( x m)，即 y(3 am21) x2 am31，所以Error! 解得 2e,.3a6(2018天津)已知函数 f(x)e xln x， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为_答案 e15解析 f(x)e xln x， f( x)e xln x ，exx f(1)e.7(2018全国)曲线
22、y( ax1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为2，则 a_.答案 3解析 y( ax a1)e x，当 x0 时， y a1， a12，得 a3.8(2018益阳调研)分别在曲线 yln x 与直线 y2 x6 上各取一点 M 与 N，则| MN|的最小值为_答案 (7 ln 2)55解析 由 yln x(x0)，得 y ，令 2，即 x ， yln ln 2，则曲线 yln x1x 1x 12 12上与直线 y2 x6 平行的切线的切点坐标为 ，(12， ln 2)由点到直线的距离公式得 d ，|212 ln 2 6|5 (7 ln 2)55即| MN| .(7 ln 2)559(201
23、8衡水金卷调研)已知函数 f(x) ， m ， x1,2， g(m) f(x)mx2 2x 2ex 1， emax f(x)min，则关于 m 的不等式 g(m) 的解集为_4e2答案 24 e， e解析 由 f(x) ，mx2 2x 2ex得 f( x)(2mx 2)ex (mx2 2x 2)ex(ex)22mx 2 mx2 2x 2exmx2 (2 2m)x 4ex ，(mx 2)x 2ex m ， x1,2，1， e16 f( x)0，因此函数 f(x)在区间1,2上单调递增， f(x)max f(2) ， f(x)min f(1) ，4m 2e2 me从而 g(m) f(x)max f
24、(x)min ，4m 2e2 me 4m 2 mee2令 ，得 m ，4m 2 mee2 4e2 24 e又 m1，e， m .24 e， e故不等式 g(m) 的解集为 .4e2 24 e， e10(2018晋城模拟)已知函数 f(x) ax2( a1) x(12 a)ln x(a0)12(1)若 x2 是函数的极值点，求 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)讨论函数的单调性解 (1)因为 f(x) ax2( a1) x(12 a)ln x，12所以 f( x) ax( a1) (x0)，1 2ax由已知 f(2)2 a( a1) 2 a 0，1 2a2 12解得 a ，14此时 f(x)
25、 x2 x ln x，18 34 12f( x) x ，14 34 12x x 1x 24x当 02 时， f( x)0， f(x)是增函数，当 10)，ax 1(x 1 2aa )x当 0，即 a 时，1 2aa 12则当 01 时， f( x)0， f(x)单调递增当 01 时， f( x)0， f(x)单调递增；1 2aa当 1，即 0 时， f( x)0， f(x)单调递增；1 2aa当 10 时， g( x)0，当 x2)，h( x)1 ，1x 2 x 1x 2令 h( x)0，得 x1，令 h( x)ln(x2)，e xln( x2)0，函数 f(x)e xln( x2)2 的值域
26、为(2，)，故选 C.12(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)已知函数 f(x)sin x xcos x，现有下列结论：当 x0，时， f(x)0；当 0 sin ；若 ng ， ，( ) ( )sin sin 所以 sin g ，则 n ，sin xx ( 2) 2 2令 (x)sin x x，当 x 时，(0， 2) ( x)cos x10)， 4x 1x2 3x 1x 1x2令 f( x)0，得 x 或 x1，13且 f(x)在 上单调递增，(0，13)在 上单调递减，在(1，)上单调递增，(13， 1)所以 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)2.(2)由已知 x1 ，e，使得 4x f(x)0)，x2 bx 1 bx2 x 1x 1 bx2令 h( x)0，得 x1(舍去)或 x1 b(满足 be1)当 1 be，即 be1 时， h(x)在1，e上单调递减，故 h(x)在1，e上的最小值为 h(e)，由 h(e)e b .e2 1e 1因为 e1，所以 b (满足 be1)e2 1e 1 e2 1e 1当 1 b1，即 b0 时， h(x)在1，e上单调递增，故 h(x)在1，e上的最小值为 h(1)，由 h(1)11 b2，即 h(1 b)2，不满足题意，舍去所以实数 b 的取值范围为(，2) .(e2 1e 1， )
