1、1(二)数 列1(2018潍坊模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 1， an， Sn成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 anbn12 nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由已知 1， an， Sn成等差数列，得 2an1 Sn，当 n1 时，2 a11 S11 a1， a11.当 n2 时，2 an1 1 Sn1 ，得 2an2 an1 an， 2，anan 1数列 an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， an a1qn1 12 n1 2 n1 (nN *)(2)由 anbn12 nan，得 bn 2 n，1an Tn b1 b2
2、bn 2 4 2 n1a1 1a2 1an (242 n)(1a1 1a2 1an) n2 n2 (nN *)1 12n1 12 2 2nn2 12n 12(2018四川成都市第七中学三诊)已知公差不为零的等差数列 an中， a37，且a1， a4， a13成等比数列2(1)求数列 an的通项公式；(2)记数列 an2n的前 n 项和为 Sn，求 Sn.解 (1)设等差数列 an 的公差为 d(d0)，则 a3 a12 d7.又 a1， a4， a13成等比数列， a a1a13，即( a13 d)2 a1(a112 d)，24整理得 2a13 d a10，由Error! 解得Error! a
3、n32( n1)2 n1( nN *)(2)由(1)得 an2n(2 n1)2 n， Sn3252 2(2 n1)2 n1 (2 n1)2 n，2 Sn32 252 3(2 n1)2 n(2 n1)2 n1 ，得 Sn62 32 42 n1 (2 n1)2 n122 22 32 42 n1 (2 n1)2 n1 (2 n1)2 n121 2n 11 22(12 n)2n1 . Sn2(2 n1)2 n1 (nN *)3(2018厦门质检)已知等差数列 an满足( n1) an2 n2 n k， kR.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.4n2ana
4、n 1解 (1)方法一 由( n1) an2 n2 n k，令 n1,2,3，得到 a1 ， a2 ， a3 ，3 k2 10 k3 21 k4 an是等差数列，2 a2 a1 a3，即 ，20 2k3 3 k2 21 k4解得 k1.由于( n1) an2 n2 n1(2 n1)( n1)，又 n10， an2 n1( nN *)方法二 an是等差数列，设公差为 d，3则 an a1 d(n1) dn( a1 d)，( n1) an( n1)( dn a1 d) dn2 a1n a1 d， dn2 a1n a1 d2 n2 n k 对于 nN *均成立，则Error! 解得 k1， an2
5、n1( nN *)(2)由 bn 4n2anan 1 4n22n 12n 1 14n24n2 1 14n2 11 1，12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)得 Sn b1 b2 b3 bn 1 1 1 112(1 13) 12(13 15) 12(15 17) 12( 12n 1 12n 1) n12(1 13 13 15 15 17 12n 1 12n 1) n12(1 12n 1) n (nN *)n2n 1 2n2 2n2n 14(2018安徽省江南十校模拟)数列 an满足 a12 a23 a3 nan2 .n 22n(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求 bn
6、的前 n 项和 Tn.an1 an1 an 1解 (1)当 n1 时， a12 ；32 12当 n2 时，由 a12 a23 a3 nan2 ，n 22na12 a23 a3( n1) an1 2 ，n 12n 1得 nan2 ，n 22n (2 n 12n 1) n2n可得 an ，12n又当 n1 时也成立， an (nN *)12n4(2) bn 12n(1 12n)(1 12n 1) 2n 12n 12n 1 12 ，(12n 1 12n 1 1) Tn2 (12 1 122 1 122 1 123 1 12n 1 12n 1 1)2 (nN *)(13 12n 1 1) 23 22n
7、 1 15(2018宿州模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足Tn2 Sn n2.(1)证明数列 an2是等比数列，并求出数列 an的通项公式；(2)设 bn nan，求数列 bn的前 n 项和 Kn.解 (1)由 Tn2 Sn n2，得 a1 S1 T12 S11，解得 a1 S11，由 S1 S22 S24，解得 a24.当 n2 时， Sn Tn Tn1 2 Sn n22 Sn1 ( n1) 2，即 Sn2 Sn1 2 n1，Sn1 2 Sn2 n1，由得 an1 2 an2， an1 22( an2)，又 a222( a12)，数列 an2是以 a123 为首项，2 为公比的等比数列， an232 n1 ，即 an32 n1 2( nN *)(2) bn3 n2n1 2 n， Kn3(12 022 1 n2n1 )2(12 n)3(12 022 1 n2n1 ) n2 n.记 Rn12 022 1 n2n1 ，2Rn12 122 2( n1)2 n1 n2n，由，得 Rn2 02 12 22 n1 n2n n2n (1 n)2n1，1 2n1 25 Rn( n1)2 n1. Kn3( n1)2 n n2 n3( nN *)
