1、1(五)坐标系与参数方程1(2018钦州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P(3,0)，其倾斜角为 ，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，与坐标系 xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线 C 的极坐标方程为 22 cos 30.(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点，求倾斜角 的取值范围；(2)设 M(x， y)为曲线 C 上任意一点，求 x y 的取值范围解 (1)将曲线 C 的极坐标方程 22 cos 30 化为直角坐标方程为x2 y22 x30，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，将参数方程代入 x2 y22 x30，整理得 t28 tc
2、os 120.直线 l 与曲线 C 有公共点， 64cos 2 480， cos 1 或1cos ， 0，)，32 32 的取值范围是 .0， 6 56， )(2)曲线 C 的方程 x2 y22 x30可化为( x1) 2 y24，其参数方程为Error!( 为参数)， M(x， y)为曲线上任意一点， x y12cos 2sin 12 sin ，2 ( 4) x y 的取值范围是12 ，12 2 222(2018安徽省“皖江八校”联考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x0，圆C2：( x1) 2( y1 )21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系2(1)求 C1
3、， C2的极坐标方程；(2)若直线 C3的极坐标方程为 ( R)，设 C1与 C2的交点为 A， C2与 C3的交点为 B， 4求 OAB 的面积解 (1)因为 x cos ， y sin ，所以 C1的极坐标方程为 cos 0，即 ( R)， 2C2的极坐标方程为 22 cos 2(1 ) sin 32 0.2 2(2)设 A ， B ，( 1， 2) ( 2， 4)将 代入 22 cos 2(1 ) sin 32 0， 2 2 2得 22(1 ) 32 0，2 2解得 11 .2将 代入 22 cos 2(1 ) sin 32 0， 4 2 2得 22(1 ) 32 0，2 2解得 21
4、.2故 OAB 的面积为 (1 )2sin 1 .12 2 4 3243(2018甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知曲线 C1的参数方程为Error!( t 为参数，0 )，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 sin .2 ( 4)(1)若极坐标为 的点 A 在曲线 C1上，求曲线 C1与曲线 C2的交点坐标；(2， 4)(2)若点 P 的坐标为(1,3)，且曲线 C1与曲线 C2交于 B， D 两点，求| PB|PD|.解 (1)点 对应的直角坐标为 (1,1)，(2， 4)由曲线 C1的参数方程知，曲线 C1是过点(1,3)的直线，故曲
5、线 C1的方程为 x y20.而曲线 C2： 2 sin 可化为2 ( 4)3 22 (sin cos )，得直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0.联立Error!解得Error! 或Error!故交点坐标分别为(2,0)，(0,2)(2)由判断知 P 在直线 C1上，将Error! 代入方程 x2 y22 x2 y0，得t24(cos sin )t60，设点 B， D 对应的参数分别为 t1， t2，则| PB| t1|，| PD| t2|，又 t1t26，所以| PB|PD| t1|t2| t1t2|6.4(2018辽宁省重点高中协作体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O
6、 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 cos2 8sin .(1)求曲线 C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 M， N，求| MN|.解 (1)因为 cos2 8sin ，所以 2cos2 8 sin ，即 x28 y，所以曲线 C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为 y 轴的抛物线(2)直线 l 过抛物线的焦点(0,2)，且参数方程为Error!( t 为参数)，代入曲线 C 的直角坐标方程，得 t22 t200，5所以 t1 t22 ， t1t220.
7、5所以| MN| t1 t2| t1 t22 4t1t2 10.20 805(2018宁夏回族自治区银川一中模拟)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1的参数方程为Error!(t 为参数)，圆 C2与圆 C1外切于原点 O，且两圆圆心的距离| C1C2|3，以坐标原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C1和圆 C2的极坐标方程；(2)过点 O 的直线 l1， l2与圆 C2异于点 O 的交点分别为点 A 和点 D，与圆 C1异于点 O 的交点分别为点 C 和点 B，且 l1 l2.求四边形 ABCD 面积的最大值解 (1)由圆 C1的参数方程Error!( t 为参数)，
8、4得圆 C1：( x1) 2 y21，故 C1(1,0)， r11.又圆 C2与圆 C1外切于原点 O，且两圆圆心的距离| C1C2|3，所以 C2(2,0)， r22，故圆 C2的方程为( x2) 2 y24.所以由Error! 得圆 C1的极坐标方程为 2cos ，圆 C2的极坐标方程为 4cos .(2)由已知设 A( 1， )，由 l1 l2 可得， B ，( 2， 2)C( 3， )， D .( 4， 32 )由(1)得Error!所以 S 四边形 ABCD |AC|BD|12 ( 1 3)( 2 4)1218sin cos 9sin 2 .所以当 sin 2 1，即 时， S 四边形 ABCD有最大值 9. 4
