1、1回扣 7 解析几何1直线方程的五种形式(1)点斜式： y y1 k(x x1)(直线过点 P1(x1， y1)，且斜率为 k，不包括 y轴和平行于 y轴的直线)(2)斜截式： y kx b(b为直线 l在 y轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y轴和平行于 y轴的直线)(3)两点式： (直线过点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，且 x1 x2， y1 y2，不包括y y1y2 y1 x x1x2 x1坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式： 1( a， b分别为直线的横、纵截距，且 a0， b0，不包括坐标轴、平行xa yb于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式： Ax By C
2、0(其中 A， B不同时为 0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率存在时：(1)两直线平行 l1 l2k1 k2.(2)两直线垂直 l1 l2k1k21.提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3三种距离公式(1)A(x1， y1)， B(x2， y2)两点间的距离2|AB| .x2 x12 y2 y12(2)点到直线的距离 d (其中点 P(x0， y0)，直线方程为 Ax By C0)|Ax0 By0 C|A2 B2(3)两平行线间的距离 d (其中两平行线方程分别为|C2 C1|A2 B2l1： Ax By C10， l
3、2： Ax By C20)提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x， y的系数应对应相等4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2.(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法6圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)|PF1| PF2|2 a(2ab0)x2a2 y2b2 1( a
4、0， b0x2a2 y2b2)y22 px(p0)图形范围 |x| a，| y| b |x| a x0顶点 (a,0)，(0， b) (a,0) (0,0)对称性 关于 x轴， y轴和原点对称 关于 x轴对称焦点 (c,0) (p2， 0)轴长轴长 2a，短轴长2b实轴长 2a，虚轴长2b离心率 e (01)ca 1 b2a2e1几何性质准线 x p23渐近线 y xba7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断弦长公式：| AB| |x1 x2| |y1 y2|.1 k21 1k28解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何
5、意义，确定出极端位置后，数形结合求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域9定点问题的思路(1)动直线 l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 y kx t，由题设条件将 t用k表示为 t mk，得 y k(x m)，故动直线过定点( m,0)(2)动曲线 C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点10求解定值问题的两大途径(1) 由 特 例 得 出 一 个 值 此 值 一 般 就 是 定 值 证 明 定 值 ： 将 问 题 转
6、化 为 证 明 待 证 式 与 参 数 某 些 变 量 无 关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值11解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0的情况，直接设为 1；再如，过定点
7、P(x0， y0)的直线往往忽视斜率不存在xa ya的情况直接设为 y y0 k(x x0)等3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，4一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为 0.4在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合5求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式 ，|C1 C2|A2 B2导致错解6在圆的标准方程中，误把 r2当成 r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件7易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解8利用椭圆、双曲线的定义
8、解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2 a0”下进行1直线 2mx( m21) y 0 的倾斜角的取值范围为( )mA0，) B. 0，4 34， )C. D. 0，4 0， 4 (2， )答案 C解析 由已知可得 m0，直线的斜率 k .当 m0 时， k0；当 m0时， k 2mm2 1 2mm2 1 1，又因为 m0，所以 01，所以半圆 x2( y1)22 221( x0)上的点到直线 x y10 的距离的最大值为 1，到直线 x y10 的距离2的最小值为点(0,0)到直线 x y10 的距离，为 ，所以 a b 1
9、 1.12 2 12 224直线 3x4 y50 与圆 x2 y24 相交于 A， B两点，则弦 AB的长等于( )A4 B3 C2 D.3 3 3 3答案 C解析 由于圆 x2 y24 的圆心为 O(0,0)，半径 r2，而圆心 O(0,0)到直线 3x4 y50的距离 d 1，| AB|2 2 2 .| 5|32 42 r2 d2 4 1 35与圆 O1： x2 y24 x4 y70 和圆 O2： x2 y24 x10 y130 都相切的直线条数是( )A4 B3 C2 D1答案 B解析 O1(2,2)， r11， O2(2,5)， r24，| O1O2|5 r1 r2，圆 O1和圆 O2
10、外切，与圆 O1和圆 O2都相切的直线有 3条故选 B.6设 O为坐标原点， P是以 F为焦点的抛物线 y22 px(p0)上任意一点， M是线段 PF上的点，且| PM|2| MF|，则直线 OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D133 23 226答案 C解析 如图，由题意可知 F ，设 P点坐标为 ，(p2， 0) (y202p， y0)显然，当 y00时， kOM0，要求 kOM的最大值，不妨设 y00，则 ( ) ，OM OF FM OF 13FP OF 13OP OF 13OP 23OF (y206p p3， y03)kOM ，当且仅当 y 2 p2时，等号成立，故选 C.
11、y03y206p p3 2y0p 2py0 222 22 207已知抛物线 y28 x的准线与双曲线 1( a0)相交于 A， B两点，点 F为抛物线的x2a2 y216焦点， ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A3 B2 C. D.6 3答案 A解析 依题意知，抛物线的准线为 x2，代入双曲线方程得y ，4a 4 a2不妨设 A .( 2，4a4 a2) FAB是等腰直角三角形， p4，求得 a ，4a4 a2 2双曲线的离心率为 e 3，ca a2 16a 182故选 A.78若点 O和点 F分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为(
12、 )OP FP A2 B3 C6 D8答案 C解析 由题意得 F(1,0)，设点 P(x0， y0)，则 y 3 (2 x02)20 (1x204) x0(x01) y x x0 yOP FP 20 20 20 x x03 (x02) 22.20 (1x204) 14又因为2 x02，所以当 x02 时， 取得最大值，最大值为 6，故选 C.OP FP 9已知函数 y f(x) ax1 2( a0且 a1)的图象恒过定点 A，设抛物线 E： y24 x上任意一点 M到准线 l的距离为 d，则 d 的最小值为( )|MA|A5 B. C. D.10 5 2答案 C解析 当 x10，即 x1 时，
13、 y1，故 A(1，1)，设抛物线的焦点为 F(1,0)，根据抛物线的定义可知，当 F、 A、 M三点共线时 d 的最小值为 .|MA| |AF| 510我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” 已知F1， F2是一对相关曲线的焦点， P是它们在第一象限的交点，当 F1PF230时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )A74 B23 3C. 1 D423 3答案 B解析 由题意设椭圆方程为 1，x2a2 y2b2双曲线方程为 1，且 c c1.x2a21 y2b21由题意 1，(*)ca ca1由 F1PF230及余弦定理，得椭圆中：4 c24 a2(2 )|PF1|
14、PF2|，3双曲线中：4 c24 a (2 )|PF1|PF2|，21 3可得 b (74 )b2，代入(*)式，得21 3c4 a a2( c2 b )a2(84 )c2a2(74 )a4，21 21 3 38即 e4(84 )e2(74 )0，3 3得 e274 ，即 e2 ，故选 B.3 311已知直线 l： mx y1，若直线 l与直线 x m(m1) y2 垂直，则 m的值为_；动直线 l： mx y1 被圆 C： x22 x y280 截得的最短弦长为_答案 0 或 2 2 7解析 由两直线垂直的充要条件得 m1(1) m(m1)0， m0 或 m2；圆的半径为 3，动直线 l过定
15、点(0，1)，当圆心(1,0)到直线的距离最长，即 d 时，弦长最短，此时弦长为 2 2 .1 02 0 12 2 32 22 712已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x2 y212 交于 A， B两点，过 A， B分别作 l的3垂线与 x轴交于 C， D两点，若| AB|2 ，则| CD|_.3答案 4解析 设 AB的中点为 M，由题意知，圆的半径 R2 ，| AB|2 ，3 3所以| OM|3，解得 m ，33由Error! 解得 A(3， )， B(0,2 )，3 3则 AC的直线方程为 y (x3)， BD的直线方程为 y2 x，令 y0，解得3 3 3 3C(2,0)， D(
16、2,0)，所以| CD|4.13已知 F1， F2是双曲线 1 的焦点， PQ是过焦点 F1的弦，且 PQ的倾斜角为 60，x216 y29那么| PF2| QF2| PQ|的值为_答案 16解析 由双曲线方程 1 知，2 a8，x216 y29由双曲线的定义，得| PF2| PF1|2 a8，|QF2| QF1|2 a8，得| PF2| QF2|(| QF1| PF1|)16.| PF2| QF2| PQ|16.14在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q作抛物线 x24 y的切线，切点分别为 A， B，则直线AB恒过定点_答案 (0,2)解析 设 Q(t，2)， A(x1， y1)， B(x2
17、， y2)，抛物线方程变为 y x2，则 y x，则在点14 12A处的切线方程为 y y1 x1(x x1)，化简得 y x1x y1，同理，在点 B处的切线方程为12 12y x2x y2.又点 Q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入得1292 x1t y1，2 x2t y2，则说明 A(x1， y1)， B(x2， y2)都满足方程2 xt y，即12 12 12直线 AB的方程为 y2 tx，因此直线 AB恒过定点(0,2)1215已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l与圆 C：( x2) 2( y3) 21 交于 M， N两点(1)求 k的取值范围；(2)若 12，其中 O为坐
18、标原点，求| MN|.OM ON 解 (1)由题设可知，直线 l的方程为 y kx1，因为 l与圆 C交于两点，所以 0，所以 x1 x2 ， x1x2 .41 k1 k2 71 k2 x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 k(x1 x2)1OM ON 8.4k1 k1 k2由题设可得 812，4k1 k1 k2解得 k1，经检验，满足 0.所以 l的方程为 y x1.故圆心 C在 l上，所以| MN|2.16已知圆 F1：( x1) 2 y2 r2与圆 F2：( x1) 2 y2(4 r)2(0| F1F2|，因此曲线 E是长轴长 2a4，焦距 2c2 的椭圆，且 b2 a2 c23，所以
19、曲线 E的方程为 1.x24 y23(2)由曲线 E的方程，得上顶点 M(0， )，记 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知，3x10， x20，若直线 AB的斜率不存在，则直线 AB的方程为 x x1，故 y1 y2，且 y y213 ，因此 kMAkMB ，与已知不符，因此直线 AB的2 (1x214) y1 3x1 y2 3x2 y21 3x21 34斜率存在，设直线 AB： y kx m，代入椭圆 E的方程 1，得(34 k2)x24 y23x28 kmx4( m23)0.(*)因为直线 AB与曲线 E有公共点 A， B，所以方程(*)有两个非零不等实根 x1， x2，所
20、以 x1 x2 ， x1x2 ，8km3 4k2 4m2 33 4k2又 kAM ，y1 3x1 kx1 m 3x1kMB ，y2 3x2 kx2 m 3x2由 kAMkBM ，14得 4(kx1 m )(kx2 m ) x1x2，3 3即(4 k21) x1x24 k(m )(x1 x2)4( m )20，3 3所以 4(m23)(4 k21)4 k(m )(8 km)4( m )2(34 k2)0，3 3化简得 m23 m60，故 m 或 m2 ，3 3 3结合 x1x20 知， m2 ，即直线 AB恒过定点 N(0,2 )3 3(3)由 0且 m2 得 k ，332 32又 S ABM| S ANM S BNM| |MN|x2 x1|1232 x1 x22 4x1x232 ( 8km3 4k2)2 44m2 33 4k211 ，64k2 93 4k2 64k2 9 124k2 9 32当且仅当 4k2912，即 k 时， ABM的面积最大，最大值为 .212 32
