1、1解答题标准练(一)1(2018河北省衡水中学模拟)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn(nN *)，数列 bn是等比数列， a13， b11， b2 S210， a52 b2 a3.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若 cnError!设数列 cn的前 n项和为 Tn，求 T2n.解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q(q0)， a13， b11， b2 S210， a52 b2 a3，Error!解得 d2， q2， an2 n1( nN *)， bn2 n1 (nN *)(2)由(1)知， Sn n(n2)，n3 2n 12 cnError! T2
2、n (2 12 32 52 2n1 )(113 13 15 12n 1 12n 1) (nN *)1 22n 13 12n 12(2018南昌模拟)十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间1 500,3 000内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在1 750,2 000)，2 000,2 250)内的蜜柚中随机抽取 5个，再从这 5个蜜柚中随机抽取
3、 2个，求这 2个蜜柚质量均小于 2 000克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均值，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A所有蜜柚均以 40元/千克收购；B低于 2 250克的蜜柚以 60元/个收购，高于或等于 2 250的以 80元/个收购请你通过计算为该村选择收益最好的方案2解 (1)由题意得蜜柚质量在1 750,2 000)和2 000，2 250)内的比例为 23，应分别在质量为1 750,2 000)，2 000,2 250)内的蜜柚中各抽取 2个和 3个记抽取质量在1 750,2 000)内的蜜柚为 A1
4、， A2，质量在2 000,2 250)内的蜜柚为 B1， B2， B3，则从这 5个蜜柚中随机抽取 2个的情况共有以下 10种：(A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，( B1， B2)，(B1， B3)，( B2， B3)，其中质量均小于 2 000克的仅有( A1， A2)这 1种情况，故所求概率为 .110(2)方案 A好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在1 500,1 750)的频率为 2500.000 40.1，同理，蜜柚质量在1 750,2 000)，2 000,2 250
5、)，2 250，2 500)，2 500,2 750)，2 750,3 000内的频率依次为 0.1，0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案 A收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250，于是总收益为Error!Error!Error!401 000 250(67)2(78)2(89)3(910)8(1011)4(1112)25021401 0002550(2630511528423)457 500(元)若按方案 B收购：蜜柚质量低于 2 250克的个数为(0.10.10.15)5 0001 750，蜜柚质量高于 2 250克的个数为5 000
6、1 7503 250，3收益为 1 750603 2508025020(73134)365 000(元)，方案 A的收益比方案 B的收益高，应该选择方案 A.3(2018威海模拟)如图，在多面体 ABCDEF中， BC EF， BF ， ABC是边长为 2的等6边三角形，四边形 ACDF是菱形， FAC60， M， N分别是 AB， DF的中点求证：(1)MN平面 AEF；(2)平面 ABC平面 ACDF.证明 (1)取 AC的中点 O，连接 OM， ON，因为 M， N分别是 AB， DF的中点，所以在菱形 ACDF中， ON AF，又 ON平面 AEF， AF平面 AEF，所以 ON平面
7、AEF.在 ABC中， OM BC，又 BC EF，所以 OM EF，又 OM平面 AEF， EF平面 AEF，所以 OM平面 AEF，又 OM ON O，所以平面 OMN平面 AEF，又 MN平面 OMN，所以 MN平面 AEF.(2)连接 OF， OB，因为 ABC是边长为 2的等边三角形，所以 BO AC， BO ，3因为四边形 ACDF是菱形，所以 AF2，因为 FAC60，所以 OF AC， OF ，3因为 BF ，所以 BO2 OF2 BF2，6所以 BO OF.4又 FO AC O， FO， AC平面 ACDF，所以 BO平面 ACDF，又 BO平面 ABC，所以平面 ABC平面
8、 ACDF.4(2018咸阳模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点与抛物线 y24 x的焦点重合，x2a2 y2b2且椭圆 C的离心率为 .12(1)求椭圆 C的方程；(2)设 P是椭圆 C的右顶点，过 P点作两条直线分别与椭圆 C交于另一点 A， B，若直线PA， PB的斜率之积为 ，求证：直线 AB恒过一个定点，并求出这个定点的坐标94解 (1)依题意得Error!解得 a2， b ，即椭圆 C的方程为 1.3x24 y23(2)设直线 AB的方程为 x ty m(20，y1 y2 ， y1y2 . 6mt3t2 4 3m2 123t2 4设 A(ty1 m， y1)， B(ty2
9、m， y2)，而 P(2,0)，则由 kPAkPB ，得94 ，y1ty1 m 2 y2ty2 m 2 94即 4y1y29( ty1 m2)( ty2 m2)0，(49 t2)y1y29 t(m2)( y1 y2)9( m2) 20，即(49 t2) 9 t(m2) 9( m2) 20，3m2 123t2 4 6mt3t2 4整理得 m23 m20，解得 m1 或 m2(舍去)，当 m1 时，满足 0，直线 AB的方程为 x ty1，即直线 AB恒过定点(1,0)5(2018峨眉山模拟)已知函数 f(x)e x(sin x ax22 ae)，其中 aR，e2.718 28为自然对数的底数(1
10、)当 a0 时，讨论函数 f(x)的单调性；5(2)当 a1 时，求证：对任意的 x0，)， f(x)0.12(1)解 当 a0 时， f(x)e x(sin xe)，f( x)e x(sin xcos xe)e x 0，2sin(x4) e f(x)在(，)上单调递减(2)证明 要证 ex 0对任意的 x0，)恒成立，(sin x ax2 2a e)即证 sin x ax22 ae0 对任意的 x0，)恒成立，令 g(a)(2 x2)asin xe，即证当 a 时，12， 1g(a)(2 x2)asin xe0 恒成立，即证Error! 成立sin x1e，式成立现证明式成立：令 h(x)s
11、in x x22e， h( x)cos x2 x，设存在 x00，)，使得 h( x0)cos x02 x00，则 0x0 ，6h(x)在(0， x0)上单调递增，在 x0，)上单调递減， h(x)max h(x0)sin x0 x 2e20sin x0 2ecos2x04 sin x0 e.sin2x04 740 x0 ，sin x0 ，6 (0， 12) sin x0 e e0.sin2x04 74 3716综上所述，当 x0，)时， f(x)0恒成立6在极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 6sin ，点 P的极坐标为 ，以极点(2，4)为坐标原点，极轴为 x轴正半轴，建立平面直角坐标系(
12、1)求曲线 C的直角坐标方程和点 P的直角坐标；6(2)过点 P的直线 l与曲线 C相交于 A， B两点，若| PA|2| PB|，求| AB|的值解 (1)由 6sin ，得 26 sin ，又 x cos ， y sin ， x2 y26 y，即曲线 C的直角坐标方程为 x2( y3) 29，P点的直角坐标为(1,1)(2)设过点 P的直线 l的参数方程是Error!(t为参数)，将其代入 x2 y26 y，得 t22(cos 2sin )t40，设 A， B两点对应的参数分别为 t1， t2， t1t24，| PA|2| PB|， t12 t2， t12 ， t2 或 t12 ， t2
13、，2 2 2 2| AB| t1 t2|3 .27(2018安徽省江南十校模拟)已知函数 f(x)| x1| x2|.(1)解不等式： f(x) x3；(2)若不等式| m|f(x)| m2|3 m2|对任意 mR 恒成立，求 x的取值范围解 (1)由Error!得 2 x6；由Error! 得 1x2；由Error! 得 0 x1.由可得 x0,6(2)当 m0 时，00， xR；当 m0 时，即 f(x) 对 mR 恒成立，|2m 1| |2m 3| 4，|2m 1| |2m 3| |(2m 1) (2m 3)|当且仅当 3，即 0m 时取等号，2m 23 f(x)| x1| x2|4，当 x2 时，2 x34，解得 x ；72当 1x2时， x12 x4，解得 x；当 x1 时，32 x4，解得 x ，127综上， x的取值范围为 .( ， 12 72， )
