1、1第 14 讲 二次函数的综合应用基础满分 考场零失误1.(2018东营)如图,抛物线 y=a(x-1)(x-3)(a0)与 x 轴交于 A、B 两点,抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方,且使OCAOBC.(1)求线段 OC 的长度;(2)设直线 BC 与 y 轴交于点 M,当点 C 是 BM 的中点时,求直线 BM 和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P,使得四边形 ABPC 的面积最大?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.23能力升级 提分真功夫2.(2018河南,23,11 分)如图,抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于
2、 A,B 两点,交 y 轴于点 C.直线y=x-5 经过点 B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点 A 的直线交直线 BC 于点 M.当 AMBC 时,过抛物线上一动点 P(不与点 B,C 重合),作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点Q,若以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P 的横坐标;连接 AC,当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍时,请直接写出点 M 的坐标.43.(2018太原二模)综合与探究如图,抛物线 y=- x2- x+ 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,33 2333直线 l 经过 B
3、,C 两点,点 M 从点 A 出发沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动,连接 CM,将线段 MC 绕点 M 顺时针方向旋转 90得到线段 MD,连接 CD,BD.设点 M 运动的时间为t(t0),请解答下列问题:(1)求点 A 的坐标与直线 l 的表达式;(2)直接写出点 D 的坐标(用含 t 的式子表示),并求点 D 落在直线 l 上时的 t 的值;求点 M 运动的过程中线段 CD 长度的最小值;(3)在点 M 运动的过程中,在直线 l 上是否存在点 P,使得BDP 是等边三角形?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.5预测猜押 把脉新中考4.(2019原
4、创预测)如图,在平面直角坐标系中,抛物线:y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为 C(-1,3),与x 轴交于点 A,B,点 A 的坐标为(-3,0),其对称轴为直线 m,点 D(0,2)为 y 轴上的一点,AD 与m 交于点 E,将ACE 沿 x 轴以每秒 1 个单位的速度向右平移,得到ACE,直线 AC分别与直线 AD 交于点 F,与直线 m 交于点 G.(1)求抛物线的表达式;(2)请直接用含 t 的代数式表示点 A,F,G 的坐标;(3)当 t= 时,请判断 AF 与 FG 的数量关系,并说明理由;23(4)请直接写出在平移过程中,点 A,F,G 中,一点为另两点构成的线段中点时 t 的
5、值.6答案精解精析基础满分1.解析 (1)由题可知当 y=0 时,a(x-1)(x-3)=0,解得 x1=1,x2=3,即 A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3,OCAOBC,OCOB=OAOC,OC 2=OAOB=3,则 OC= .3(2)C 是 BM 的中点,即 OC 为斜边 BM 的中线,OC=BC,点 C 的横坐标为 ,32又 OC= ,点 C 在 x 轴下方,3C ,(32,- 32)设直线 BM 的解析式为 y=kx+b(k0),把点 B(3,0),C 代入得 解得 b=- ,k= ,(32,- 32) 3+=0,32+=- 32,333直线 BM 的解析式为 y= x-
6、 ,333点 C 在抛物线上,代入抛物线解析式 ,解得 a= ,(32,- 32) 233抛物线解析式为 y= x2- x+2 .233 8333(3)存在.设点 P 的坐标为 ,过点 P 作 PQx 轴交直线 BM 于点 Q,(,2332-833+23)则 Q ,(, 33- 3)7PQ= x- - =- x2+3 x-3 ,333(2332-833+23) 2333 3当BCP 面积最大时,四边形 ABPC 的面积最大,SBCP = PQ(3-x)+ PQ = PQ=- x2+ x- ,12 12 (-32)34 32 934 934当 x= 时,S BCP 有最大值,即四边形 ABPC
7、的面积最大,此时点 P 的坐标为 .94 (94,-538)能力升级2.解析 (1)直线 y=x-5 交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 C,B(5,0),C(0,-5),抛物线 y=ax2+6x+c 过点 B,C, 0=25+30+,-5=. =-1,=-5.抛物线的解析式为 y=-x2+6x-5.(2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45.抛物线 y=-x2+6x-5 交 x 轴于 A,B 两点,A(1,0).AB=4.AMBC,AM=2 .2PQAM,PQBC.8若以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,则 PQ=AM=2 .2过点 P 作 PDx 轴交直线 BC 于点
8、D,则PDQ=45.PD= PQ=4.2设 P(m,-m2+6m-5),则 D(m,m-5).分两种情况讨论如下:(i)当点 P 在直线 BC 上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4.m 1=1(舍去),m 2=4.(ii)当点 P 在直线 BC 下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4.m 3= ,m4= .5+412 5- 412综上,点 P 的横坐标为 4 或 或 .5+412 5- 412M 或 .(136,-176) (236,-76)3.解析 (1)当 y=0 时,- x2- x+ =0,解得 x1=1,x2=-3,33 2333点 A 在点
9、 B 的左侧,A(-3,0),B(1,0),当 x=0 时,y= ,3C(0, ),3设直线 l 的表达式为 y=kx+b(k0),将 B,C 两点坐标代入得 0=+,3=, 解得 =- 3,= 3,故直线 l 的表达式为 y=- x+ .3 3(2)当点 M 在 AO 上运动时,如图,9由题意可知 AM=t,OM=3-t,MCMD,过点 D 作 x 轴的垂线垂足为 N,DMN+CMO=90,CMO+MCO=90,MCO=DMN,在MCO 与DMN 中,=,=,=,MCODMN,MN=OC= ,DN=OM=3-t,3D(t-3+ ,t-3);3同理,当点 M 在 OB 上运动时,如图,OM=t
10、-3,MCODMN,MN=OC= ,3ON=t-3+ ,DN=OM=t-3,3D(t-3+ ,t-3).3综上得,D(t-3+ ,t-3).3将 D 点坐标代入直线的解析式,得 t=6-2 .3线段 CD 是等腰直角三角形 CMD 的斜边,若 CD 最小,则 CM 最小,M 在 AB 上运动,当 CMAB 时,CM 最短,CD 边最短,即 CM=CO= ,根据勾股定理得 CD 边最小值为 .3 6(3)当点 M 在 AO 上运动,即 0t3 时,10tanCBO= = ,3CBO=60,BDP 是等边三角形,DBP=BDP=60,BD=BP,NBD=60,DN=3-t,AN=t+ ,NB=4-
11、t- ,tanNBD= ,3 3= ,解得 t=3- ,3-4- 33 3经检验,t=3- 是此方程的解,3过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q,易知PQBDNB,BQ=BN=4-t- =1,3PQ= ,OQ=2,P(2,- );3 3同理,当点 M 在 OB 上运动时,即 3t4 时,BDP 是等边三角形,DBP=BDP=60,BD=BP,NBD=60,DN=t-3,NB=t-3+ -1=t-4+ ,tanNBD= ,3 3= ,解得 t=3- ,-3-4+33 3经检验,t=3- 是此方程的解,t=3- 3 不符合题意,舍去.3 3故 P(2,- ).3预测猜押4.解析 (1)抛物
12、线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为(-1,3),y=a(x+1) 2+3,抛物线经过点 A(-3,0),0=a(-3+1) 2+3,a=- ,3411y=- (x+1)2+3=- x2- x+ ,34 34 32 94抛物线的表达式为 y=- x2- x+ .34 32 94(2)A(-3+t,0),F ,G .(-3+95,65) (-1,3-32)(3)AF=FG.证明:点 A 的坐标为(-3,0),顶点 C 的坐标为(-1,3),AH=2,在 RtAEH 中,tanDAB= = ,DO=2,AO=3,EH= .43当 t= 时,得 G(-1,2),AA= ,23 23GH=2,EG= .23AA=EG.在 RtACH 中,tanACH= = ,23tanDAB= = ,23ACH=DAB.由题意知 ACAC,ACH=DAB=FGE.AFA=GFE,AAFGEF.AF=FG.12(4)t= ;t= ;t=10.1013 107
