1、1第二部分 专题七类型 1 探究线段数量关系及最值的存在性1(2018湘潭改编)如图，点 P为抛物线 y x2上一动点14(1)若抛物线 y x2是由抛物线 y (x2) 21 通过平移得到的，请写出平移的过程；14 14(2)若直线 l经过 y轴上一点 N，且平行于 x轴，点 N的坐标为(0，1)，过点 P作PM l于 M.如图 1，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM PF恒成立？若存在，求出点 F的坐标：若不存在，请说明理由如图 2，若点 Q的坐标为(1,5)，求 QP PF的最小值第 1题图解：(1)抛物线 y (x2) 21 的顶点坐标为(2，1)，14抛物线 y (x2) 21
2、 向上平移 1个单位，再向右 2个单位得到抛物线 y x2.14 14第 1题答图(2)存在一定点 F，使得 PM PF恒成立如答图，过点 P作 PB y轴于点 B.设点 P的坐标为( a， a2)，14 PM PF a21.14 PB a，在 Rt PBF中， BF a21， OF1，PF2 PB2 14a2 1 2 a2 14点 F坐标为(0,1)由知 PM PF, QP PF的最小值为 QP PM的最小值，当 Q， P， M三点共线时，2QP PM有最小值为 6. QP PF的最小值为 6.2(2018宜宾)在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)
3、，如图，直线 y x与抛物线交于 A， B两点，直线 l为 y1.14(1)求抛物线的解析式；(2)在 l上是否存在一点 P，使 PA PB取得最小值？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由第 2题图(3)已知 F(x0， y0)为平面内一定点， M(m， n)为抛物线上一动点，且点 M到直线 l的距离与点 M到点 F的距离总是相等，求定点 F的坐标解：(1)抛物线的顶点坐标为(2,0)，设抛物线的解析式为 y a(x2) 2.该抛物线经过点(4,1)，14 a，解得 a ，14抛物线的解析式为 y (x2) 2 x2 x1.14 14(2)联立直线 AB与抛物线解析式成方程组，得Er
4、ror!解得Error!Error!点 A的坐标为(1， )，点 B的坐标为(4,1)14如答图，第 2题答图作点 B关于直线 l的对称点 B，连接 AB交直线 l于点 P，此时 PA PB取得最小值点 B(4,1)，直线 l为 y1，点 B的坐标为(4，3)设直线 AB的解析式为 y kx b(k0)，将 A(1， )， B(4，3)分别代入 y kx b，得Error!解得Error!143直线 AB的解析式为 y x .1312 43当 y1 时，有 x 1，1312 43解得 x ，点 P的坐标为( ，1)2813 2813(3)点 M到直线 l的距离与点 M到点 F的距离总是相等，(
5、 m x0)2( n y0)2( n1) 2， m22 x0m x 2 y0n y 2 n1.20 20 M(m， n)为抛物线上一动点， n m2 m1，14 m22 x0m x 2 y0( m2 m1) y 2014 202( m2 m1)1，整理得(1 y0)m2(22 x02 y0)m x y 2 y030.14 12 12 20 20 m为任意值，Error!解得Error!定点 F的坐标为(2,1)3(2018烟台)如图 1，抛物线 y ax22 x c与 x轴交于 A(4,0)， B(1,0)两点，过点 B的直线 y kx 分别与 y轴及抛物线交于点 C， D.23(1)求直线和
6、抛物线的表达式；(2)动点 P从点 O出发，在 x轴的负半轴上以每秒 1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 t秒，当 t为何值时， PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 t的值；(3)如图 2，将直线 BD沿 y轴向下平移 4个单位后，与 x轴， y轴分别交于 E， F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 M，在直线 EF上是否存在点 N，使 DM MN的值最小？若存在，求出其最小值及点 M， N的坐标；若不存在，请说明理由第 3题图解：(1)把 A(4,0)， B(1,0)分别代入 y ax22 x c，得Error!解得Error!抛物线的解析式为 y x22 x .23 8
7、3直线 y kx 过点 B，234将 B(1,0)代入，得 k ，23直线的表达式为 y x .23 23(2)由Error!得交点 D的坐标为(5,4)如答图 1，过 D作 DE x轴于点 E，作 DF y轴于点 F.当 P1D P1C时， P1DC为直角三角形，则 DEP1 P1OC， ，即 ，解得 t ；DEP1O P1EOC 4t 5 t23 151296当 P2D DC时， P2DC为直角三角形，由 P2DB DEB得 ，即 ，DBEB P2BDB t 152 526解得 t ；233当 P3C DC时， DFC COP3， ，即 ，解得 t .当 t的值为 或 或 时， PDC为直
8、角DFOC CFP3O 523 103t 49 49 151296 233三角形(3)存在由已知得直线 EF的解析式为 y x .如答图 2，在抛物线上取点 D的23 103对称点 D，过点 D作 D N EF于点 N，交抛物线对称轴于点 M，过点 N作 NH DD于点 H，此时， DM MN D N最小则 D(2,4)， EOF NHD.设点 N的坐标为(a， a )， ，即 ，23 103 OENH OFHD 54 23a 103 1032 a解得 a2，则点 N的坐标为(2，2)，求得直线 ND的解析式为 y x1.32当 x 时， y ，32 54点 M的坐标为( ， )，32 54此
9、时， DM MN的值最小为 2 .D H2 NH2 42 62 135第 3题答图类型 2 探究角度数量关系的存在性1(2017河池)抛物线 y x22 x3 与 x轴交于点 A， B(A在 B的左侧)，与 y轴交于点 C.第 1题图(1)求直线 BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点 P，使 APB ABC，利用图 1求点 P的坐标；(3)点 Q在 y轴右侧的抛物线上，利用图 2比较 OCQ与 OCA的大小，并说明理由解：(1)在 y x22 x3 中，令 y0 可得 0 x22 x3，解得 x1 或 x3；令 x0 可得 y3， B(3,0)， C(0,3)，可设直线 BC的解析式为
10、y kx3，把 B点坐标代入可得 3k30，解得 k1，直线 BC的解析式为 y x3.(2) OB OC， ABC45. y x22 x3( x1) 24，抛物线的对称轴为直线 x1.设抛物线的对称轴交直线 BC于点 D，交 x轴于点 E，当点 P在 x轴上方时，如答图 1.6第 1题答图 APB ABC45，且 PA PB， PBA 67.5，180 452 DPB APB22.5，12 PBD67.54522.5， DPB DBP， DP DB，在 Rt BDE中， BE DE2，由勾股定理可求得 BD2 ，2 PE22 ， P(1,22 )；2 2当点 P在 x轴下方时，由对称性可知
11、P点坐标为(1，22 )2综上可知 P点坐标为(1,22 )或(1，22 )2 2(3)设 Q(x， x22 x3)，当点 Q在 x轴下方时，如答图 2，过 Q作 QF y轴于点F，第 1题答图当 OCA OCQ时，则 QFC AOC， ，即 ，QFCF AOCO 13 xx2 2x 13解得 x0(舍去)或 x5，当 Q点横坐标为 5时， OCA OCQ；当 Q点横坐标大于 5时，则 OCQ逐渐变小，故 OCA OCQ；当 Q点横坐标小于 5且大于 0时，则 OCQ逐渐变大，故 OCA OCQ.2(2019原创)抛物线 y x2 bx c与 x轴交于 A， B两点(点 A在点 B的左边)，与
12、 y轴正半轴交于点 C.(1)如图 1，若 A(1,0)， B(3,0)，求抛物线 y x2 bx c的解析式；7(2)在(1)的条件下， P为抛物线上一点，连接 AC， PC，若 PCO3 ACO，求点 P的横坐标；(3)如图 2， D为 x轴下方抛物线上一点，连 DA， DB，若 BDA2 BAD90，求点D的纵坐标第 2题图解：(1)将 A(1,0)， B(3,0)分别代入 y x2 bx c，得Error!解得 Error!抛物线的解析式为 y x22 x3.(2)如答图 1，延长 CP交 x轴于点 E，在 x轴上取点 D，使 CD CA，作 EN CD交 CD的延长线于点 N，过点
13、A作 AI CN于点 I.第 2题答图 1 CD CA， OC AD， DCO ACO. PCO3 ACO， ACD ECD，tan ACDtan ECD， .AICI ENCN AI ，ADOCCD 610CI ，CA2 AI2810 ，ENCN AICI 34设 EN3 x，则 CN4 x，由 tan CDOtan EDN，知 ，ENDN OCOD 31 DN x， CD CN DN3 x ，108 x ， DE ，103 103则点 E的坐标为( ，0)，133直线 CE的解析式为 y x3.913由Error! 可得 x10(舍去)， x2 ，3513则点 P的横坐标为 .3513(3
14、)如答图 2，过点 D作 DI x轴，垂足为 I.第 2题答图 2 BDA2 BAD90， DBI BAD90. BDI DBI90， BAD BDI. BID DIA， IBD IDA， ，BIDI IDIA ，xD xB yD yDxD xA y x ( xA xB)xD xAxB，2D 2D令 y0，得 x2 bx c0，则 xA xB b， xAxB c， y x ( xA xB)xD xAxB x bxD c.2D 2D 2D yD x bxD c，2D y yD，2D解得 yD0 或1.点 D在 x轴下方， yD1，即点 D的纵坐标为1.9类型 3 探究特殊三角形的存在性1(201
15、8河池)如图 1，抛物线 y x22 x1 的顶点 A在 x轴上，交 y轴于 B，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与 x轴交于 C， D，顶点为 E(1,4)(1)求点 B的坐标和平移后抛物线的解析式；(2)点 M在原抛物线上，平移后的对应点为 N，若 OM ON，求点 M的坐标；(3)如图 2，直线 CB与平移后的抛物线交于 F，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得以 C， F， P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由，第 1题图解：(1)在抛物线 y x22 x1 中，令 x0，得y1， B(0, 1)平移后的抛物线顶点为 E(1,4)，平移后
16、抛物线的解析式为 y x22 x14 x22 x3.(2)设 M(a， a22 a1)，则 N(a， a22 a3) OM ON，点 M， N关于 x轴对称， a22 a1( a22 a3)整理，得 a22 a10，解得 a1 ，2点 M的坐标为(1 ，2)或(1 ，2)2 2(3)存在，点 P的坐标为(1 ,2)或(1，8)或(1，6)或(1,1). 解法提示令 y x22 x30，解得 x11， x23， C(1,0)设直线 BC的解析式为 y kx b(k0)将点 B(0，1)， C(1,0)分别代入，得Error! 解得Error!直线 BC的解析式为 y x1，联立Error! 解得
17、Error! 或Error! F(4，5)10抛物线的对称轴为直线 x 1，b2a 22 1设 P(1， m)， PF2(14) 2( m5) 2 m210 m34，PC2(11) 2 m2 m24， CF2(14) 25 250，要使 PCF是直角三角形，分为三种情况：当 PCF90时，有 PC2 CF2 PF2，即 m2450 m210 m34，解得 m2， P(1,2)；当 PFC90时，有 PF2 CF2 PC2，即 m210 m3450 m24，解得 m8， P(1，8)；当 CPF90时，有 PC2 PF2 CF2，即 m24 m210 m3450，解得 m6或 m1， P(1，6
18、)或 P(1,1)综上所述，存在点 P，使得以 C， F， P为顶点的三角形是直角三角形，点 P的坐标为(1,2)或(1，8)或(1，6)或(1,1)2(2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax22 x c与 x轴交于A(1,0)， B(3,0)两点，与 y轴交于点 C，点 D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线 AC的解析式；(2)请在 y轴上找一点 M，使 BDM的周长最小，求出点 M的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A， P， C为顶点， AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由第 2题图解
19、：(1)设抛物线的解析式为 y a(x1)( x3)，即 y ax22 ax3 a，2 a2，解得 a1，抛物线的解析式为 y x22 x3；当 x0 时， y x22 x33，则 C(0,3)设直线 AC的解析式为 y px q，把 A(1,0)， C(0,3)分别代入，得Error!解得Error! 直线 AC的解析式为 y3 x3；(2) y x22 x3( x1) 24，11顶点 D的坐标为(1,4)，作 B点关于 y轴的对称点 B，连接 DB交 y轴于 M，如答图 1，则B(3,0) MB MB， MB MD MB MD DB，此时 MB MD的值最小，而 BD的值不变，此时 BDM
20、的周长最小易得直线 DB的解析式为 y x3，当 x0 时， y x33，点 M的坐标为(0,3)(3)存在过点 C作 AC的垂线交抛物线于另一点 P1，如答图 2.直线 AC的解析式为 y3 x3，直线 P1C的解析式可设为 y x b，13把 C(0,3)代入，得 b3，直线 P1C的解析式为 y x3，13联立方程组Error!解得Error!或Error! 则此时点 P的坐标为( ， )；73 209过点 A作 AC的垂线交抛物线于另一点 P2，如答图 2，直线 P2A的解析式可设为y x d，13把 A(1,0)代入，得 d0，解得 d ，13 13直线 P2A的解析式为 y x ，
21、13 13联立方程组Error!解得Error!或Error!则此时点 P的坐标为( ， )103 139综上所述，符合条件的点 P的坐标为( ， )或( ， )73 209 103 139第 2题答图3(2018南宁一模)如图，在平面直角坐标系中，直线 y x2 与坐标轴分别交于A, B两点，过点 B作 BD x轴，抛物线 y x2 bx c经过 B, D两点，且对称轴为直12线 x2，设 x轴上一动点 P (n, 0)，过点 P分别作直线 BD, AB的垂线，垂足分别为 M, N.12第 3题图(1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标：(2)设四边形 ABCD的面积为 S 四边形 BACD，
22、当 n为何值时， ；S PMNS四 边 形 ABCD 14(3)是否存在点 P (n, 0)，使得 PMN为等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由解： (1)直线 y x2 与坐标轴分别交于 A, B两点，令 x0，得 y2，即 B (0, 2)；令 y0，得 x2，即 A (2, 0)抛物线 y x2 bx c经过点 B (0, 2)，12 c2.又对称轴为直线 x2， 2.b2a b2 12解得 b2.抛物线的解析式为 y x22 x2.12当 x2 时， y 222224，12顶点 C (2, 4)(2)如答图，连接 AC. BD x轴，抛物线的对称轴为直线 x2，
23、 AC BD，第 3题答图四边形 ABCD的面积 S 四边形 ABCD 448，12 ， S PMN2.S PMNS四 边 形 ABCD 14过点 N作 NH x轴，垂足为 H.又点 N在直线 y x2 上，13 NPH45且 S PMN PHPM.12 BD x轴， PM2.当点 P在点 A的右侧时，22 PH n，即 PH ，n 22 S PMN PHPM 22，12 12 n 22解得 n6.当点 P在点 A的左侧时，22 PH n，即 PH ，2 n2 S PMN PHPM 22，12 12 12 2 n2解得 n2.综上，当 n6 或 n2 时， .S PMNS四 边 形 ABCD
24、14(3)存在三种情况，使得 PMN为等腰三角形过点 N作 NH x轴于点 H，当 PM PN时， PN PM2，PH ，这时 n22 ，2 2 P(22 ，0)或(22 ，0)；2 2当 MN PN时， MN PN， PMN为等腰直角三角形，且 PM2， PN ，2 P(0,0)；当 PM MN时， MN PM2.又 MN PM， PMN为等腰直角三角形， MB2， P(2,0)综上，当 PMN为等腰三角形时，点 P的坐标为(22 ，0)或(22 ，0)或(0,0)或(2,0)2 2类型 4 探究特殊四边形的存在性141(2018百色)抛物线 y ax2 bx的顶点 M( ，3)关于 x轴的
25、对称点为 B，点 A为3抛物线与 x轴的一个交点，点 A关于原点 O的对称点为 A；已知 C为 A B的中点， P为抛物线上一动点，作 CD x轴， PE x轴，垂足分别为 D， E.(1)求点 A的坐标及抛物线的解析式；(2)当 0x2 时，是否存在点 P使以点 C， D， P， E为顶点的四边形是平行四边形？3若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由第 1题图解：(1)对于抛物线 y ax2 bx，当 x0 时， y0，即抛物线经过坐标原点 O(0,0)顶点 M( ，3)，点 A为抛物线与 x轴的另一个交点， A(2 ，0)3 3将点 A(2 ，0)， M( ，3)分别代入 y ax
26、2 bx中，得3 3Error!解得 Error!抛物线的解析式为 y x22 x.3(2)存在，设 P(m， m22 m)，则 E(m,0)，其中 0m2 ，3 3 PE m22 m.3点 M( ，3)关于 x轴的对称点为 B，3 B( ，3)3点 A(2 ，0)关于原点 O的对称点为 A，3 A( 2 ，0)3 C为 A B的中点， C( ， )，32 32 CD .32 CD x轴， PE x轴， CD PE，要使以点 C， D， P， E为顶点的四边形是平行四边形只需 PE CD，即 m22 m ，解得 m ，332 2362点 P的坐标为( ， )或( ， )23 62 32 23
27、62 322(2018南充)如图，抛物线顶点 P(1,4)，与 y轴交于点 C(0,3)，与 x轴交于点A， B.(1)求抛物线的解析式(2)Q是抛物线上除点 P外一点， BCQ与 BCP的面积相等，求点 Q的坐标15(3)若 M， N为抛物线上两个动点，分别过点 M， N作直线 BC的垂线段，垂足分别为D， E.是否存在点 M， N使四边形 MNED为正方形？如果存在，求正方形 MNED的边长；如果不存在，请说明理由第 2题图解：(1)设 y a(x1) 24( a0)，把 C(0,3)代入抛物线解析式，得 a43，解得 a1，则抛物线的解析式为 y( x1) 24 x22 x3.(2)由
28、B(3,0)， C(0,3)，得直线 BC的解析式为 y x3. S PBC S QBC， PQ BC.过 P作 PQ1 BC，交抛物线于点 Q1，如答图 1所示 P(1,4)，直线 PQ1的解析式为 y x5，联立得Error! 解得Error! 或Error!即 Q1(2,3)设 G(1,2)， PG GH2，点 G在直线 BC上过 H作直线 Q2Q3 BC，交 x轴于点 H，则直线 Q2Q3的解析式为 y x1，联立得Error!解得Error! 或Error! Q2( ， )， Q3( ， )3 172 1 172 3 172 1 172综上，点 Q的坐标为(2,3)或( ， )或(
29、， )3 172 1 172 3 172 1 172(3)存在点 M， N使四边形 MNED为正方形如答图 2所示，过 M作 MF y轴于点 F，过 N作 NF x轴于点 F，过 N作 NH y轴交BC于点 H，则 MNF与 NEH都为等腰直角三角形设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，设直线 MN的解析式为 y x b，联立得Error!消去 y，得 x23 x b30， NF2| x1 x2|2( x1 x2)24 x1x2214 b. MNF为等腰直角三角形， MN22 NF2428 b.16 NH2( b3) 2， NE2 (b3) 2.12若四边形 MNED为正方形，则有 N
30、E2 MN2， (b26 b9)428 b，12整理得 b210 b750，解得 b15 或 b5.正方形边长为 MN ，42 8b MN9 或 .2 2第 2题答图类型 5 探究面积数量关系及最值问题1(2017桂林)已知抛物线 y1 ax2 bx4( a0)与 x轴交于点 A(1,0)和点B(4,0)(1)求抛物线 y1的函数解析式；(2)如图 1，将抛物线 y1沿 x轴翻折得到抛物线 y2，抛物线 y2与 y轴交于点 C，点 D是线段 BC上的一个动点，过点 D作 DE y轴交抛物线 y1于点 E，求线段 DE的长度的最大值；(3)在(2)的条件下，当线段 DE处于长度最大值位置时，作线
31、段 BC的垂直平分线交 DE于点 F，垂足为 H，点 P是抛物线 y2上一动点， P与直线 BC相切，且 S P S DFH2，求满足条件的所有点 P的坐标第 1题图解：(1)将点 A(1,0)和点 B(4,0)分别代入 y1 ax2 bx4，得 a1， b3，抛物线 y1的函数解析式为 y1 x23 x4.(2)由对称性可知抛物线 y2的函数解析式为17y2 x23 x4，则 C(0,4)设直线 BC的解析式为 y kx q，把 B(4,0)， C(0,4)分别代入，得Error! 解得Error!直线 BC的解析式为 y x4.设 D(m， m4)， E(m， m23 m4)，其中 0 m
32、4， DE m4( m23 m4)( m1) 29.0 m4，当 m1 时， DEmax9，此时， D(1,3)， E(1，6)(3)由题意可知 BOC是等腰直角三角形，线段 BC的垂直平分线为 y x.由(2)知直线 DE的解析式为 x1， F(1,1) H是 BC的中点， H(2,2)， DH ， FH ，2 2 S DFH1.设 P的半径为 r， S P S DFH2， r .2 P与直线 BC相切，点 P在与直线 BC平行且距离为 的直线上，2点 P在直线 y x2 或直线 y x6 上点 P在抛物线 y2 x23 x4 上， x2 x23 x4，解得 x12 ， x22 ，6 6 x
33、6 x23 x4，解得 x32 ， x42 ，2 2符合条件的点 P坐标有 4个，分别是(2 ， )，(2 ， )，(2 ，46 6 6 6 2)， (2 ， 4 )2 2 22(2018桂平市一模)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0)，直线 y x1与二次函数的图象交于 A， B两点，其中点 A在 y轴上(1)求二次函数的解析式；(2)证明：点( m,2m1)不在(1)中所求的二次函数的图象上；(3)若 C为线段 AB的中点，过 C点作 CE x轴于 E点， CE与二次函数的图象交于 D点，二次函数的图象上是否存在点 P，使得 S POE2 S ABD？若存在，求出 P点坐标；若不存
34、在，请说明理由18第 2题图(1)解：当 x0 时， y x11， A(0,1)设二次函数的解析式为 y a(x2) 2，把 A(0,1)代入得 4a1，解得 a ，14二次函数的解析式为 y (x2) 2，14即 y x2 x1.14(2)证明：把点( m,2m1)代入 y x2 x1，得 m2 m12 m1，14 14整理得 m24 m80.(4) 2480，方程 m2 m12 m1 没有实数解，14点( m,2m1)不在(1)中所求的二次函数的图象上(3)解：存在解方程组Error!得Error! 或Error!则 B(8,9) C为线段 AB的中点， C(4,5) CE x轴， E(4
35、,0)当 x4 时， y x2 x11，则 D(4,1)，14 S ABD 4(91)16.12 S POE2 S ABD32.设 P(x， x2 x1)，14 4( x2 x1)32，12 14解得 x10 或6，当 x6 时， y 366116；1419当 x10 时， y 10010116.14点 P的坐标为(6,16)或(10,16)第 3题图3(2018新疆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 x4 与 x轴交于23 23A， B两点(点 A在点 B左侧)，与 y轴交于点 C.(1)求点 A， B， C的坐标；(2)点 P从 A点出发，在线段 AB上以每秒 2个单位长度的速度
36、向 B点运动，同时，点Q从 B点出发，在线段 BC上以每秒 1个单位长度的速度向 C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动设运动时间为 t秒，求运动时间 t为多少秒时， PBQ的面积 S最大，并求出其最大面积；(3)在(2)的条件下，当 PBQ面积最大时，在 BC下方的抛物线上是否存在点 M，使BMC的面积是 PBQ面积的 1.6倍？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由(1)解：当 x0 时， y x2 x44，23 23点 C的坐标为(0，4)当 y0 时， x2 x40，23 23解得 x12， x23，点 A的坐标为(2,0)，点 B的坐标为(3,0)(2)设直线 B
37、C的解析式为 y kx b(k0)，将 B(3,0)， C(0，4)分别代入 y kx b，得Error! 解得Error!直线 BC的解析式为 y x4.43过点 Q作 QE y轴，交 x轴于点 E，如答图 1所示当运动时间为 t秒时，点 P的坐标为(2 t2,0)，点 Q的坐标为(3 t， t)，35 45 PB3(2 t2)52 t， QE t，45 S PBQ PBQE t22 t (t )2 .12 45 45 54 54 0，4520当 t 秒时， PBQ的面积最大，最大值为 .45 54(3)解：存在如答图 2所示，过点 M作 MF y轴，交 BC于点 F.设点 M的坐标为( m
38、， m2 m4)，则点 F的坐标为( m， m4)，23 23 43 MF m4( m2 m4) m22 m，43 23 23 23 S BMC MFOB m23 m.12 BMC的面积是 PBQ面积的 1.6倍， m23 m 1.6，即 m23 m20，54解得 m11， m22.0 m3，在 BC下方的抛物线上存在点 M，使 BMC的面积是 PBQ面积的 1.6倍，此时点 M的坐标为(1，4)或(2， )83第 3题答图类型 6 探究三角形相似的存在性1(2018南宁三模)抛物线 y ax2 bx3( a0)经过点 A(1,0)， B( ，0)，且与32y轴相交于点 C.(1)求这条抛物线
39、的表达式；(2)求 ACB的度数；(3)设点 D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点 E在线段 AC上，且DE AC，当 DCE与 AOC相似时，求点 D的坐标21第 1题图解：(1)当 x0 时， y3， C(0,3)设抛物线的表达式为 y a(x1)( x )32将 C(0,3)代入得 a3，解得 a2，32这条抛物线的表达式为 y2 x2 x3.(2)如答图 1，过点 B作 BM AC，垂足为 M，过点 M作 MN OA，垂足为 N.第 1题答图 OC3， AO1，tan CAO3. A(1,0)， C(0,3)，直线 AC的解析式为 y3 x3. AC BM，设直线 BM的
40、解析式为 y x b，13将点 B( ，0)代入，得 b0，32 13 32解得 b ，12直线 BM的解析式为 y x .13 12联立得Error! 解得Error!点 M的坐标为( ， )，34 34 MC BM . 34 2 94 2 3104 MCB为等腰直角三角形 ACB45.(3)如答图 2所示，延长 CD，交 x轴于点 F.22 ACB45，点 D是抛物线第一象限上一点， ECD45.又 DCE与 AOC相似， AOC DEC90， CAO ECD. CF AF.设点 F的坐标为( a,0)，则( a1) 23 2 a2，解得 a4， F(4,0)设直线 CF的解析式为 y k
41、x3，将 F(4,0)代入，得 4k30，解得 k .34直线 CF的解析式为 y x3.34联立得Error!解得 x0(舍去)或 x .78将 x 代入 y x3，得 y .78 34 7532点 D的坐标为( ， )，78 75322(2018达州)如图，抛物线经过原点 O(0,0)，点 A(1,1)，点 B( ，0)72(1)求抛物线解析式；(2)连接 OA，过点 A作 AC OA交抛物线于 C，连接 OC，求 AOC的面积；(3)点 M是 y轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M作 MN OM交 x轴于点 N.问：是否存在点 M，使以点 O， M， N为顶点的三角形与(2)中的
42、AOC相似？ 若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由第 2题图解：(1)设抛物线的解析式为 y ax(x )72把 A(1,1)代入，得 a(1 )1，解得 a ，72 25故抛物线的解析式为 y x(x )，25 72即 y x2 x.25 75(2)延长 CA交 y轴于点 D，如答图 1. A(1,1)，23 OA ， DOA45，2 AOD为等腰直角三角形 OA AC， OD OA2，2 D(0,2)，易得直线 AD的解析式为 y x2，联立方程组Error!解得Error! 或Error! C(5，3)， S AOC S COD S AOD 25 214.12 12(3)存在如
43、答图 2，过点 M作 MH x轴于点 H.第 2题答图由(2)易得 AC 4 ， 5 1 2 3 1 2 2OA .2设 M(x， x2 x)(x0)25 75 OHM OAC，当 时， OHM OAC，OHOA MHAC即 ，x2 | 25x2 75x|42解方程 x2 x4 x得 x10(舍去)，25 75x2 (舍去)；132解方程 x2 x4 x得 x10(舍去)， x2 ，此时 M点坐标为( ，54)25 75 272 272当 时， OHM CAO，OHAC MHOA即 ，x42 | 25x2 75x|224解方程 x2 x x得 x10(舍去)， x2 ，此时 M点的坐标为( ， )；25 75 14 238 238 2332解方程 x2 x x得 x10(舍去)，25 75 14x2 ，此时 M点坐标为( ， )338 338 3332 MN OM， OMN90， MON HOM， OMH ONM，当 M点的坐标为( ，54)或( ， )或( ， )时，以点 O， M， N为顶点的三272 238 2332 338 3332角形与(2)中的 AOC相似
