1、1题型练 5 大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 .现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名 .从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 .(1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”,求事件 A发生的概率;(2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 .2.(2018 北京,理 17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第
2、五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.12好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 .假设所有电影是否获得好评相互独立 .(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等 .用“ k=1”表示第 k 类电影得到人们喜欢,用“ k=0”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢( k=1,2,3,4,5,6).写出方差
3、D( 1),D( 2),D( 3),D( 4),D( 5),D( 6)的大小关系 .3.某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;(3)求续保人本年度
4、的平均保费与基本保费的比值 .34.(2018 天津,理 16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查 .(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 . 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; 设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率 .5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次
5、击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得 -200 分) .设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现12音乐相互独立 .(1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了 .请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 .46.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取 40 件产品,测量这些产品的质量
6、(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495,(495,500,(500,505,(505,510,(510,515).(1)若从这 40 件产品中任取两件,设 X 为质量超过 505 g 的产品数量,求随机变量 X 的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取 5 件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g 的概率 .5题型练 5 大题专项(三)统计与概率问题1.解 (1)由已知,有 P(A)=2223+232348 =635.所以,事件 A 发生的概率为635.(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.P(X=k)
7、= (k=1,2,3,4).54-348所以,随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4P114 37 37 114随机变量 X 的数学期望 E(X)=1 +2 +3 +411437 37 114=52.2.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为 2000.25=50(部) .P(A)= =0.025.50140+50+300+200+800+510= 502 000(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,恰有 1 部获得好评”为事件 B,P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35.(
8、3)由题意可知,定义随机变量如下: k=0,第 类电影没有得到人们喜欢,1,第 类电影得到人们喜欢, 则 k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:6 1 1 0P 0.4 0.6D( 1)=0.40.6=0.24;第二类电影: 2 1 0P 0.2 0.8D( 2)=0.20.8=0.16;第三类电影: 3 1 0P 0.15 0.85D( 3)=0.150.85=0.127 5;第四类电影: 4 1 0P 0.25 0.75D( 4)=0.250.75=0.187 5;第五类电影: 5 1 0P 0.2 0.8D( 5)=0.20.8=0.16;第六类电影: 6 1
9、 07P 0.1 0.9D( 6)=0.10.9=0.09.综上所述, D( 1)D( 4)D( 2)=D( 5)D( 3)D( 6).3.解 (1)设 A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1,故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设 B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故 P(B)=0.1+0.05=0.15.又 P(AB)=P(B),故 P(B|A)=()()=()()=0.150.55=311.因此所求概率为311.(3)记续保人
10、本年度的保费为 X,则 X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 2 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人 .(2) 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X=k)= (k=0
11、,1,2,3).43-337所以,随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P135 1235 1835 4358随机变量 X 的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +313512351835435=127. 设事件 B 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 C 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”,则 A=B C,且 B 与 C 互斥 .由 知, P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故 P(A)=P(B C)=P(X=2)+P(X=1)= 所以,事件 A 发生的概率为67. 67.5.解 (1) X
12、 可能的取值为 10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)= ;13(12)1(1-12)2=38P(X=20)= ;23(12)2(1-12)1=38P(X=100)= ;33(12)3(1-12)0=18P(X=-200)=03(12)0(1-12)3=18.所以 X 的分布列为X 10 20 100 -200P38 38 18 18(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1- =1-(18)3 1512=5115
13、12.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为 E(X)=10 +20 +100 -200 =-38 38 18 18 54.这表明,获得分数 X 的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大 .6.解 (1)根据频率分布直方图可知,质量超过 505 g 的产品数量为(0 .01+0.05)540=12.9由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X=0)= ;228240=63130P(X=1)= ;128112240=2865P(X=2)=212240=11130.则随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P63130 2865 11130(2)由题意得该流水线上产品的质量超过 505 g 的概率为 =0.3.1240设 Y 为该流水线上任取 5 件产品质量超过 505 g 的产品数量,则 YB(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)= 0.320.73=0.308 7.25
