1、1专题对点练 26 坐标系与参数方程1.(2018全国 ,文 22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2+2 cos - 3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程 .2.(2018全国 ,文 22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 ( 为参数),直线x=2cos ,y=4sin l的参数方程为 (t为参数) .x=1+tcos ,y=2+tsin (1)求 C和 l的直角坐标方程;(2)若曲线 C截直线 l所得线段的中点坐标为
2、(1,2),求 l的斜率 .3.在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 (其中 为参数),以原点 O为极点, x轴x=2cos ,y=sin 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 (tan cos - sin )=1 为常数,(0 ,且 ,点 A,B(A在 x轴下方)是曲线 C1与 C2的两个不同交点 .2)(1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;(2)求 |AB|的最大值及此时点 B的坐标 .4.已知曲线 C的参数方程为 ( 为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线 C上的点x=2cos ,y= 3sin 按坐标变换 得到曲线 C,以原点为极点, x轴的正
3、半轴为极轴,建立极坐标系 .x=12x,y= 13y(1)求曲线 C的极坐标方程;(2)若过点 A (极坐标)且倾斜角为 的直线 l与曲线 C交于 M,N两点,弦 MN的中点为 P,求(32, ) 6的值 .|AP|AM|AN|23专题对点练 26答案1.解 (1)由 x= cos ,y= sin 得 C2的直角坐标方程为( x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2的圆 .由题设知, C1是过点 B(0,2)且关于 y轴对称的两条射线 .记 y轴右边的射线为 l1,y轴左边的射线为l2,由于 B在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于
4、l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点 .当 l1与 C2只有一个公共点时, A到 l1所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=- 或 k=0.经检验,|-k+2|k2+1 43当 k=0时, l1与 C2没有公共点;当 k=- 时, l1与 C2只有一个公共点, l2与 C2有两个公共点 .43当 l2与 C2只有一个公共点时, A到 l2所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=0或 k= ,经检验,当|k+2|k2+1 43k=0时, l1与 C2没有公共点;当 k= 时, l2与 C2没有公共点 .43综上,
5、所求 C1的方程为 y=- |x|+2.432.解 (1)曲线 C的直角坐标方程为 =1.x24+y216当 cos 0 时, l的直角坐标方程为 y=tan x+ 2-tan ,当 cos = 0时, l的直角坐标方程为 x=1.(2)将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程,整理得关于 t的方程(1+3cos2 )t2+4(2cos + sin )t-8=0. 因为曲线 C截直线 l所得线段的中点(1,2)在 C内,所以 有两个解,设为 t1,t2,则 t1+t2=0.又由 得 t1+t2=- ,故 2cos + sin = 0,于是直线 l的斜率 k=tan =- 2.4(2cos +si
6、n )1+3cos23.解 (1)曲线 C1的参数方程为 x=2cos ,y=sin (其中 为参数),普通方程为 +y2=1;曲线 C2的极坐标方程为 (tan cos - sin )=1,x24直角坐标方程为 xtan -y- 1=0.(2)C2的参数方程为 (t为参数),代入 +y2=1,得 t2-2tsin x=tcos ,y= -1+tsin x24 (14cos2 +sin2 )= 0,t 1+t2= ,t1t2=0,2sin14cos2 +sin2|AB|= .|2sin14cos2 +sin2 |=| 83sin + 1sin | 0 ,且 ,2 sin (0,1),|AB| max= ,此时 B的坐标为 .433 (423,13)4.解 (1) C: =1,将 代入 C的普通方程可得 x2+y2=1.x=2cos ,y= 3sin x24+y23 x=12x,y= 13yx=2x,y= 3y因为 2=x2+y2,所以曲线 C的极坐标方程为 C:= 1.(2)点 A 的直角坐标是 A ,将 l的参数方程(32, ) (-32,0) x= -32+tcos6,y=tsin6 代入 x2+y2=1,可得 4t2-6 t+5=0,3t 1+t2= ,t1t2= ,332 54 .|AP|AM|AN|=|t1+t22|t1t2|=335
