1、1专题对点练 8 导数与函数的零点及参数范围1.(2018全国 ,文 21)已知函数 f(x)= x3-a(x2+x+1).13(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)证明: f(x)只有一个零点 .2.已知函数 f(x)=ax+x2-xln a-b(a,bR, a1),e是自然对数的底数 .(1)当 a=e,b=4时,求函数 f(x)零点个数;(2)若 b=1,求 f(x)在 -1,1上的最大值 .3.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e为自然对数的底数, aR) .(1)判断曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与曲线 y=g(x)的公共点个数;(
2、2)当 x 时,若函数 y=f(x)-g(x)有两个零点,求 a的取值范围 .1e,e4.(2018天津,文 20)设函数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中 t1,t2,t3R,且 t1,t2,t3是公差为 d的等差数列 .(1)若 t2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)若 d=3,求 f(x)的极值;(3)若曲线 y=f(x)与直线 y=-(x-t2)-6 有三个互异的公共点,求 d的取值范围 .32专题对点练 8答案1.解 (1)当 a=3时, f(x)= x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.13令 f(x)=0,解
3、得 x=3-2 或 x=3+2 .3 3当 x( - ,3-2 )(3 +2 ,+ )时, f(x)0;3 3当 x(3 -2 ,3+2 )时, f(x)0,所以 f(x)=0等价于 -3a=0.x3x2+x+1设 g(x)= -3a,则 g(x)= 0,仅当 x=0 时 g(x)=0,所以 g(x)在( - ,+ )单调递x3x2+x+1 x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2增,故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点 .又 f(3a-1)=-6a2+2a- =-6 0,故 f(x)有一个零点 .13 (a-16)2-16 13综上, f(x)只有一个零点 .2.解 (1
4、)由题意 f(x)=ex+x2-x-4,f (x)=ex+2x-1,f (0)=0,当 x0时,e x1,f (x)0,故 f(x)是(0, + )上的增函数;当 x0, 存在 x1(1,2)是 f(x)在(0, + )上的唯一零点;f(-2)= +20,f(-1)= -20时,由 a1,可知 ax-10,ln a0,f (x)0;当 x1,可知 ax-10,f (x)0).1xg (x)=1+ 0(当且仅当 x=1时等号成立),1x2-2x=(1x-1)2g (x)在(0, + )上单调递增,而 g(1)=0, 当 x1时, g(x)0,即当 a1时, a- -2ln a0,1af (1)f
5、(-1).f (x)max=f(1)=a+1-ln a-1=a-ln a.3.解 (1) f(x)=ln x+1,所以切线斜率 k=f(1)=1.又 f(1)=0,所以曲线在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1.由 得 x2+(1-a)x+1=0.y= -x2+ax-2,y=x-1, 由 = (1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3),可知:当 0,即 a3时,有两个公共点;当 = 0,即 a=-1或 a=3时,有一个公共点;当 h(e),所以,结合函数图象可得,(1e)当 31时,令 g(x)=0,解得 x1=- ,x2= .d2-13 d2-13易得, g(x)在( - ,x
6、1)上单调递增,在 x1,x2上单调递减,在( x2,+ )上单调递增 .g(x)的极大值 g(x1)=g +6 0.(-d2-13)=23(d2-1)329 3g(x)的极小值 g(x2)=g =- +6 .(d2-13) 23(d2-1)329 3若 g(x2)0,由 g(x)的单调性可知函数 y=g(x)至多有两个零点,不合题意 .若 g(x2)27,也就是 |d| ,此时 |d|x2,g(|d|)=|d|+6 0,且 -2|d|x1,g(-2|d|)32 10 3=-6|d|3-2|d|+6 -62 +6 0,从而由 g(x)的单调性,可知函数 y=g(x)在区间( -2|d|,x1),3 10 3(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意 .所以, d的取值范围是( - ,- )( ,+ ).10 10
