1、1第 4 讲 不等式考情考向分析 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大热点一 基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果 x0， y0， xy p(定值)，当x y 时， x y 有最小值 2 (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果px0， y0， x y s(定值)，当 x y 时， xy
2、 有最大值 s2(简记为：和定，积有最大值)14例 1 (1)(2018浙江省金丽衢十二校联考)设 ab0，当 取得最小值 c 时，函a22 2ba b数 f(x)| x a| x b| x c|的最小值为( )A3 B2 C5 D42 2答案 A解析 a22 2ba b b a b22 2ba b2 b(a b) 2 4，2ba b 2ba b 2ba b当且仅当 a2 b2 时，上面不等式中两个等号同时成立，2所以 的最小值为 4，此时 a2， b1， c4，a22 2ba b则 f(x)| x1| x2| x4|Error!所以当 x2 时，函数 f(x)取得最小值 f(2)523，故选
3、 A.(2)(2018诸暨市高考适应性考试)已知 a， b 为正实数，且( a b)(a2 b) a b9，则3a4 b 的最小值为_答案 6 12解析 由( a b)(a2 b) a b9，得 a b ，则 3a4 b2( a b) a2 b9a 2b 1( a2 b1)12 16 1，当且仅当18a 2b 1 18a 2b 1a 2b 1 2 a2 b10 时，等号成立，所以 3a4 b 的最小值为 6 1.18a 2b 1 2思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等
4、”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误跟踪演练 1 (1)设 x0， y0，若 xlg 2，lg ， ylg 2 成等差数列，则 的最小值为( )21x 9yA8 B9 C12 D16答案 D解析 xlg 2，lg ， ylg 2 成等差数列， 22lg lg 2，2 (x y) x y1， 10 1x 9y (x y)(1x 9y) yx 9xy102 10616，yx9xy当且仅当 x ， y 时取等号，14 34故 的最小值为 16，故选 D.1x 9y(2) 已知点 E， F 分别在正方形 ABCD 的边 BC， CD 上运动，且 ( ， )，设AB 2 2|CE| x，| CF|
5、 y，若| | |，则 x y 的最大值为( )AF AE AB A2 B4 C2 D42 2答案 C3解析 | | 2，| | |，AB 2 2 AF AE AB 又| | | 2, AF AE EF x2 y2 x2 y24，( x y)2 x2 y22 xy2( x2 y2)8，当且仅当 x y 时取等号， x y2 ，即 x y 的最大值为 2 ，故选 C.2 2热点二 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例 2 (1)(2018浙江)若
6、x， y 满足约束条件Error!则 z x3 y 的最小值是_，最大值是_答案 2 8解析 由Error!，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)由Error! 解得 A(4，2)，由Error! 解得 B(2,2)，将目标函数 y x 平移可知，13当目标函数的图象经过 A(4，2)时， zmin43(2)2；当目标函数的图象经过 B(2,2)时， zmax2328.(2)(2018浙江省重点中学联考)若实数 x， y 满足Error!则 x2 y2的取值范围是( )A. B.12， 13) 14， 13)C. D.55， 13) 15， 13)答案 D解析 在平面直角坐标系内作出满足约束条
7、件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含4边界线段 NP，设 z x2 y2，求 z x2 y2的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围由图可知，作 OH MN 于点 H，由 N(0,1)， M ，(12， 0)得 OH ，OMONMN 55 zmin .15又 OP22 23 213，但点 P 不在图中阴影部分内， z x2 y2取不到 13， x2 y2的取值范围是 ，故选 D.15， 13)思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上
8、取得跟踪演练 2 (1)(2018浙江省名校协作体联考)若不等式组Error!表示的平面区域经过四个象限，则实数 的取值范围是( )A(，2 B1,1C1,2) D(1，)答案 D解析 在平面直角坐标系内画出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示直线 x y2 20 恒过定点(2，2)，由图易得不等式组Error!表示的平面区域为阴影部分在直线 x y2 20 下方的部分，当 1 时，不等式组表示的平面区域经5过四个象限；当 0)表示的平面区域为 ， P(x， y)为 上的点，当 2x y 的最大值为 8 时， 的面积为( )A12 B8 C4 D6答案 D解析 在平面
9、直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，( m， m)，(m,2m)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数 z2 x y 经过平面区域内的点( m,2m)时， z2 x y 取得最大值，所以 2m2 m8，解得 m2，则此时平面区域 的面积为 2(42)6，故选 D.12热点三 绝对值不等式及其应用1绝对值不等式的解法(1)|ax b| c(c0) c ax b c；|ax b| c(c0)ax b c 或 ax b c.(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法2绝对值三角不等式(1)|a b| a| b|，当且仅当
10、 ab0 时等号成立(2)|a c| a b| b c|，当且仅当( a b)(b c)0 时，等号成立例 3 (1)(2018宁波期末)若函数 f(x) 在 x|1| x|4， xR上的最大值为| |x|1x|M，最小值为 m，则 M m 等于( )A. B2 C. D.74 94 114答案 C解析 因为 f(x) 0，当 x1 时，等号成立，所以 m0.又因为 f(x)| |x|1x| | ，当 x0，则 的最小值为_a4 4b4 1ab答案 4解析 a， bR， ab0，8 4 ab 2 4，a4 4b4 1ab 4a2b2 1ab 1ab 4ab1ab当且仅当Error!即Error
11、! 时取得等号故 的最小值为 4.a4 4b4 1ab押题预测1已知 x， y 为正实数，且 x y 5，则 x y 的最大值是( )1x 1yA3 B.72C4 D.92押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合答案 C解析 由 x y 5，得 5 x y ，1x 1y x yxy x0， y0，5 x y x y ，x y(x y2 )2 4x y当且仅当 x y 时取等号( x y)25( x y)40，解得 1 x y4， x y 的最大值是 4.2在 R 上定义运算： ad bc
12、，若不等式 1 对任意实数 x 恒成立，则|a bc d| |x 1 a 2a 1 x|实数 a 的最大值为( )A B C. D.12 32 12 32押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式答案 D解析 由定义知，不等式 1 等价于 x2 x( a2 a2)1，|x 1 a 2a 1 x| x2 x1 a2 a 对任意实数 x 恒成立 x2 x1 2 ，(x12) 34 34 a2 a ，解得 a ，34 12 329则实数 a 的最大值为 .323设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标
13、函数 z4 x y 的最小值为( )A6 B6C7 D8押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点答案 C解析 由 x， y 满足的约束条件Error!画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，当直线 z4 x y 过点 C(1,3)时， z 取得最小值且最小值为 437，故选 C.4若不等式 x22 x0 时取等ab 16ba ab16ba ab 16ba号)，所以 x22 xb0，且 ab1，则下列不等式成立的是( )A a b0， ab1，log 2(a b)log2(2 )1.ab a1 2 a，令 f(a) a1 2 a，b
14、2a 1a2a又 b ， ab0，1a a ，解得 a1.1a f( a) a2 2 a a1 2 aln 2 a2 2 a(1 aln 2)a blog2(a b)，1b b0， ab1，取 a2， b ，12此时 a 4， ，log 2(a b)log 2511.3，1b b2a 18 0 的解集为 ，(1a， 1)q： a0 的解集为 ，得 a0 的解集为 ”是“ a0)，则 x y 的最小值为( )1x 4yA5 B9 C4 D103 26答案 B解析 由 x y 8，得 x y8 ，1x 4y 1x 4y则( x y8)( x y) (x y)(1x 4y)5 52 9，yx 4xy
15、 yx4xy当且仅当 ，即 y2 x0 时，等号成立，yx 4xy令 t x y，所以( t8) t9，解得 t1 或 t9，因为 x y0，所以 x y9，所以 x y 的最小值为 9，故选 B.8若实数 a， b， c 满足对任意实数 x， y 有 3x4 y5 ax by c3 x4 y5，则( )A a b c 的最小值为 213B a b c 的最小值为4C a b c 的最大值为 4D a b c 的最大值为 6答案 A解析 由题意可得5( a3) x( b4) y c5 恒成立，所以 a3， b4，5 c5，则 2 a b c12，即 a b c 的最小值是 2，最大值是 12，
16、A 正确，C 错误；6 a b c4，则 a b c 的最小值是6，最大值是 4，B 错误，D 错误，故选 A.9若存在实数 x 使| x a| x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_答案 2,4解析 | x a| x1| a1|，则只需要| a1|3，解得2 a4.10已知 x0， y0，且 x y1，则 x2 y2的取值范围是_答案 12， 1解析 方法一 由 x y1，得 y1 x.又 x0， y0，所以 0 x1， x2 y2 x2(1 x)22 x22 x12 2 .(x12) 12由 0 x1，得 0 2 ，(x12) 14即 x2 y21.所以 x2 y2 .12 12， 1
17、方法二 x2 y2( x y)22 xy，已知 x0， y0， x y1，所以 x2 y212 xy.因为 1 x y2 ，xy所以 0 xy ，14所以 12 xy1，12即 x2 y2 .12， 1方法三 依题意， x2 y2可视为原点与线段 x y10( x0， y0)上的点的距离的平方，如图所示，故( x2 y2)min 2 ，( x2 y2)max OA2 OB21，(| 1|2 ) 1214故 x2 y2 .12， 111(2018台州市联考)若实数 x， y 满足 x24 y24 xy4 x2y232，则 x2 y 的最小值为_， (x2 y)2 xy 的最大值为_7答案 4 1
18、62解析 因为 x24 y24 xy4 x2y232，所以( x2 y)24 x2y232，则( x2 y)232，4 x2 y4 ，即 x2 y 的最小值为4 .由( x2 y)24 x2y232，不妨设2 2 2Error!则 (x2 y)2 xy4 ( sin cos )16sin( )，其中 tan ，7 2 777所以当 sin( )1 时， (x2 y)2 xy 取得最大值 16.712(2018浙江省衢州二中模拟)已知实数 x， y 满足 x1， y0，且 x4 y 11，1x 1 1y则 的最大值为_1x 1 1y答案 9解析 由 x4 y 11 得1x 1 1y 10( x1
19、)4 y，1x 1 1y则 2 10( x1)4 y(1x 1 1y) ( 1x 1 1y)10 (1x 1 1y) (5 4yx 1 x 1y )10 (1x 1 1y) (5 2 4yx 1x 1y )10 9，(1x 1 1y)当且仅当 ，即 2y x10 时，等号成立，4yx 1 x 1y令 t ，则有 t210 t9，1x 1 1y解得 1 t9，所以 的最大值为 9.1x 1 1yB 组 能力提高13(2018台州市联考)设实数 x， y 满足条件Error!若 z2 x2 y2，则( )A z 的最小值为 B z 的最小值为3258C z 的最大值为 33 D z 的最大值为 6
20、15答案 A解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图易得当目标函数 z2 x2 y2 与平面区域内的边界 x y10( x0)相切时，z2 x2 y2 取得最小值，联立Error!消去 y 化简得 2x2 x3 z0，因为曲线z2 x2 y2 与 x y10( x0)相切，所以关于 x 的一元二次方程 2x2 x3 z0 有两个相等的正实数根，则(1) 242(3 z)0，解得 z ，满足题意，即目标258函数 z2 x2 y2 的最小值为 ，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所258以目标函数无最大值，故选 A.14(2018浙江
21、省杭州第二中学等五校联考)已知 ABC 的三边长分别为 a， b， c，有以下四个命题：以 ， ， 为边长的三角形一定存在；a b c以 2a,2b,2c为边长的三角形一定存在；以 a3， b3， c3为边长的三角形一定存在；以| a b| c，| b c| a，| c a| b 为边长的三角形一定存在其中正确命题的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 由题意不妨设 a b c，则 b ca.对于，( )2( )2 b c2 a0，b c a bc所以以 ， ， 为边长的三角形一定存在， 正确；对于，令 a5， b c3，此时a b ca， b， c 可以构成三角形，而 2a32,2
22、 b2 c8，则 2a,2b,2c不能构成三角形，错误；对于，取 a3， b c2，此时 a， b， c 可以构成三角形，而 a327， b3 c38，则a3， b3， c3不能构成三角形，错误；对于，因为|a b| c a c b，| b c| a| c a| b a b c，且 a b c a c b，所以|b c| a| c a| b|a b| c，所以以| a b| c，| b c| a，| c a| b 为边长的三角形一定存在，正确综上所述，正确命题的个数为 2，故选 B.15(2018浙江省台州中学统练)设 m， k 为整数，方程 mx2 kx20 在(0,1)内有两个不同的根，则
23、当 m k 取到最小值时， m_， k_.答案 6 7解析 设 f(x) mx2 kx2，则方程 mx2 kx20 在(0,1)内有两个不同的根等价于函数16f(x) mx2 kx2 在(0,1)内有两个不同的零点，又因为 f(0)20，所以有Error! 化简得Error!以 m 为横坐标， k 为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分(不包括边界)所示，又因为 m， k 为整数，则由图易得当目标函数 z m k 经过平面区域内的点(6,7)时， z m k 取得最小值 zmin6713，此时 m6， k7.16已知 ab，二次三项式 ax22 x
24、b0 对于一切实数 x 恒成立，又存在 x0R，使ax 2 x0 b0 成立，则 的最小值为_20a2 b2a b答案 2 2解析 由题意，得 ab，二次三项式 ax22 x b0 对于一切实数 x 恒成立，所以 a0，且 44 ab0，所以 ab1.由存在 x0R，使 ax 2 x0 b0 成立，可得 0，所以20ab1，所以 a1，所以 0，a2 b2a ba2 1a2a 1a a4 1a3 a所以 2 (a4 1a3 a) a8 1 2a4a6 a2 2a4a4 1a4 2a2 1a2 2 ，(a2 1a2)2(a2 1a2) 2(a2 1a2 2)2 4(a2 1a2) 4(a2 1a2) 2令 a2 t2，1a2则 2 ( t2) 4(a4 1a3 a) t 22 4t 2 4t 2 4t 22 4448，t 24t 2当且仅当 t4 时取等号，所以 2的最小值为 8，(a4 1a3 a)17所以 的最小值为 2 .a2 b2a b 2
