1、1第 3 讲 加试第 22 题 带电粒子在复合场中的运动题型 1 带电粒子在叠加场中的运动1无约束情况下的运动情况分类(1)洛伦兹力、重力并存若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题(3)电场力、洛伦兹力、重力并存若三力平衡，一定做匀速直线运动若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动若合力不为零且与速度方
2、向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题2有约束情况下的运动带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律并结合牛顿运动定律求解2例 1 (2018新力量联盟期末)如图 1 所示，位于竖直平面内的坐标系 xOy，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B0.5 T，还有沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E2 N/C.在其第一象限空间有沿 y 轴负方向的、场强大小也为
3、E 的匀强电场，并在 yh0.4 m 的区域有磁感应强度也为 B 的垂直于纸面向里的匀强磁场一个带电荷量为 q 的油滴从图中第三象限的 P 点得到一初速度，恰好能沿 PO 做直线运动( PO 与 x 轴负方向的夹角为 45)，并从原点 O 进入第一象限，重力加速度 g取 10 m/s2，问：图 1(1)油滴的电性；(2)油滴在 P 点得到的初速度大小；(结果可用根式表示)(3)油滴在第一象限运动的时间和离开第一象限处的坐标值答案 (1)油滴带负电荷 (2)4 m/s (3)0.828 s (4 m,0)2解析 (1)油滴带负电荷(2)油滴受三个力作用，如图所示，从 P 到 O 沿直线运动必为匀
4、速运动，设油滴质量为 m由平衡条件有 mg qE得 mqEg又 qvB qE2得 v 4 m/s2EB 2(3)进入第一象限后，油滴所受电场力和重力相等，知油滴先做匀速直线运动，进入 y h 的区域后做匀速圆周运动，路径如图，最后从 x 轴上的 N 点离开第一象限3由 O 到 A 匀速运动位移为 s1 hhsin 45 2知运动时间 t1 0.1 ss1v BhE由几何关系和圆周运动的周期关系式 T2 mqB知由 A 到 C 的圆周运动用时为 t2 0.628 sT4 E2gB由对称性知从 C N 的时间 t3 t1在第一象限的运动的总时间 t t1 t2 t30.828 s在磁场中有qvBm
5、v2R得半径 R mvqB 2E2gB2图中的 ON2( s1cos 45 Rcos 45)2( h )4 mE2gB2即离开第一象限处( N 点)的坐标为(4 m,0)1如图 2 所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度为 E，磁感应强度为 B.足够长的斜面固定在水平面上，斜面倾角为45.有一带电的小球 P 静止于斜面顶端 A 处，且恰好对斜面无压力若将小球 P 以初速度v0水平向右抛出( P 视为质点)，一段时间后，小球落在斜面上的 C 点已知小球的运动轨迹在同一竖直平面内，重力加速度为 g，求：图 2(1)小球 P 落到斜面上时速度方向与
6、斜面的夹角 及由 A 到 C 所需的时间 t；(2)小球 P 抛出到落到斜面的位移 x 的大小答案 (1)45 (2) E2gB 2Ev0gB解析 (1)小球 P 静止时不受洛伦兹力作用，仅受自身重力和电场力，对斜面恰好无压力，则 mg qE4P 获得水平初速度后由于重力和电场力平衡，将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由对称性可得小球 P 落到斜面上时其速度方向与斜面的夹角为 45由牛顿第二定律得：qv0B m v02RT 2 Rv0 2 mqB圆周运动转过的圆心角为 90，小球 P 由 A 到 C 所需的时间： t T4 E2gB(2)由式可知， P 做匀速圆周运动的半径 R mv0qB由几
7、何关系知 x R2由可解得位移 x .2Ev0gB题型 2 带电粒子在组合场中的运动“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直电场线进入匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)受力情况电场力 F qE，其大小、方向不变，与速度 v 无关， F 是恒力洛伦兹力 F 洛 qvB，其大小不变，方向随 v 而改变， F 洛 是变力轨迹 抛物线 圆或圆的一部分运动轨迹求解方法利用类平抛运动的规律求解：vx v0， x v0tvy t，qEm半径： rmvqB周期： T2 mqB偏移距离 y 和偏转角 要结合圆的5y t212 qEm偏转角 ：tan vyvx qEtmv0几何关系利用圆周运动规律讨
8、论求解运动时间 t xv0 t T2 mqB动能 变化 不变例 2 (2018杭州市重点中学期末)空间有如图 3 所示坐标系，在 00,00， xd 的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，两区域内磁感应强度大小均为B， M 板左侧电子枪随时间均匀发射出初速度可以忽略的热电子，所有电子经小孔 S1进入两板间的电场加速后，从 O 点处小孔沿 x 轴正方向射入磁场，最后打在荧光屏上，使得荧光屏发亮，已知电子的质量为 m，电荷量为 e， M、 N 两板间所加的电压如图乙所示，电子通过 MN的时间极短，且不计电子重力及电子间的相互作用，求：7图 4(1)当两板间电势差 U 时，电子在磁场中运动的轨迹为多长；e
9、B2d26m(2)在一个周期内打在 y 屏上的电子数占总电子数的比例为多少？(3)x 屏上的亮线长度为多少答案 (1) d (2)66.7% (3) d33 233解析 (1)电子在加速电场中： eU mv2，12电子在 00.5d 时，离子运动时间更长，水平位移 xd，即 0.5d 到 d 这段距离的离子会射出电场，则从平行金属板出射的离子占总数的百分比为： 100%50%d 0.5dd(4)设两离子在磁场中做圆周运动的半径为 R1和 R2，根据洛伦兹力提供向心力得qvB mv2R代入得： R1 1B 2Um1q1R2 1B 2Um2q1则半径关系为 R1R2 m1m2因为 m14 m2，则
10、有 R12 R2，此时狭缝最大值 x 同时满足(如图所示)x2 R12 R2d2 R1 x解得 x dm1 m22m1 m2专题强化练1如图 1 所示，等腰直角三角形 abc 区域中有垂直纸面向里的匀强磁场，速度为 v0的带电粒子，从 a 点沿 ab 方向射入磁场后恰能从 c 点射出，现将匀强磁场换成垂直 ab 边的匀强电场，其他条件不变，结果粒子仍能从 c 点射出粒子的重力不计求：图 110(1)磁感应强度 B 与电场强度 E 之比；(2)单独存在磁场时粒子的运动时间 t1与单独存在电场时粒子的运动时间 t2之比答案 (1) (2)12v0 2解析 (1)粒子在磁场中做的是匀速圆周运动，轨迹
11、如图所示设 ab L，则轨道半径 r L根据牛顿第二定律，有 qv0B mv02L解得 Bmv0qL运动时间 t1 L2v0 L2v0粒子在电场中做类平抛运动在电场力方向，有： y L t2212 Eqm在初速度方向，有： x L v0t2解得： t2 ， ELv0 2mv02qL所以，磁感应强度 B 与电场强度 E 之比 BE 12v0(2)单独存在磁场时粒子的运动时间 t1与单独存在电场时粒子的运动时间 t2之比 t1t2 22如图 2 甲所示，长为 L 的平行金属板 M、 N 水平放置，两板之间的距离为 d，两板间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，一个带正电的质点，沿
12、水平方向从两板的正中央垂直于磁场方向进入两板之间，重力加速度为 g.图 2(1)若 M 板接直流电源正极， N 板接负极，电源电压恒为 U，带电质点以恒定的速度 v 匀速通过两板之间的复合场(电场、磁场和重力场)，求带电质点的电荷量与质量的比值11(2)若 M、 N 接如图乙所示的交变电流( M 板电势高时 U 为正)， L0.5 m， d0.4 m， B0.1 T，质量为 m110 4 kg、带电荷量为 q210 2 C 的带正电质点以水平速度 v1 m/s，从 t0 时刻开始进入复合场，取 g10 m/s 2，试定性画出质点的运动轨迹(3)在第(2)问的条件下求质点在复合场中的运动时间答案
13、 (1) (2)见解析图 (3)0.814 sgdBvd U解析 (1) EUd由质点做匀速直线运动可得： Bqv qE mg得： .qm gdBvd U(2)当 M 板电势高，即 U 为正时，有 Bqv qE mg，粒子做匀速直线运动当 M 板电势低，即 U 为负时，有 mg qE，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，周期T 0.1 s，2 mqB有 r l 区域将做类平抛运动，等效加速度为 gg g2vmaxttan g t212t2vmax2gvQ g t2 vmax2 10gl hx l 5 l4 h2vmax2g cos 5(2018台州市外国语学校期末)如图 5 所示装置中，区域
14、和中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为 E 和 ；区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应E2强度为 B.一质量为 m、带电量为 q 的带负电粒子(不计重力)从左边界 O 点正上方的 M 点以速度 v0水平射入电场，经水平分界线 OP 上的 A 点与 OP 成 60角射入区域的磁场，并垂直竖直边界 CD 进入区域的匀强电场中求：14图 5(1)粒子在区域匀强磁场中运动的轨道半径；(2)O、 M 间的距离；(3)粒子从 M 点出发到第二次通过 CD 边界所经历的时间答案 (1) (2) (3) 2mv0qB 3mv022qE 3 8mv0qE m3qB解析 (1)粒子在匀强电场中做
15、类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，设粒子过 A 点时速度为 v由类平抛运动的规律知 v 2 v0v0cos 60粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由Bqv mv2R所以 R2mv0qB(2)在电场中运动，有qE mav0tan 60 at1即 t13mv0qEO、 M 两点间的距离为 L at1212 3mv022qE(3)设粒子在区域磁场中运动时间为 t2则由几何关系知轨道的圆心角 AO1D60则 t2 T6 m3qB15设粒子在区域电场中运动时间为 t3，由牛顿第二定律得a qE2m qE2m则 t3 2va 8mv0qE故粒子从 M 点出发到第二次通过 CD 边界所用时间为t t1 t2
16、 t3 3 8mv0qE m3qB6(2017嘉兴一中期末)如图 6 所示，宽度为 L 的区域被平均分为区域、，其3中、有匀强磁场，它们的磁感应强度大小相等，方向垂直纸面且相反长为 L、宽为3的矩形 abcd 紧邻磁场下方，与磁场边界对齐， O 为 dc 边中点， P 为 dc 中垂线上一点，L2OP3 L.矩形内有匀强电场，电场强度大小为 E，方向由 a 指向 O.电荷量为 q、质量为 m、重力不计的带电粒子由 a 点静止释放，经电场加速后进入磁场，运动轨迹刚好与区域的右边界相切图 6(1)求该粒子经过 O 点时的速度大小 v0；(2)求匀强磁场的磁感应强度大小 B；(3)若在 aO 之间距
17、 O 点 x 处静止释放该粒子，粒子在磁场区域中共偏转 n 次到达 P 点，求 x满足的条件及 n 的可能取值答案 (1) (2) (3) x( )2L， n2、3、4、5、6、7、82qELm 3mE2qL 32n 16解析 (1)由题意中长宽几何关系可知 aO L，粒子在 aO 加速过程由动能定理得： qEL mv1220得粒子经过 O 点时速度大小： v0 2EqLm16(2)粒子在磁场区域中的运动轨迹如图，设粒子轨迹圆半径为 R0，由几何关系可得：R0 R0cos 60 L33由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得： qv0B mv02R0联立式，得： B 3mE2qL(3)若粒子在磁场中一共经过 n 次偏转到达 P，设粒子轨迹圆半径为 R，由几何关系有：2 n( tan 30 Rcos 30)3 L3L6依题意有 0 R R0联立得 n9，且 n 取正整数97设粒子在磁场中的运动速率为 v，有： qvB mv2R在电场中的加速过程，由动能定理： qEx mv212联立式，得： x( )2 L，其中 n2、3、4、5、6、7、8 32n 16
