1、 第 1 页（共 4 页） 奥宇学校 2018 届高三年级第 二 次月考 数学试卷（理） 一、 选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） 若集合 A=x|x1 0， B=x|x| 2，则集合 A B 等于 （ ） （ A） x|x 1 （ B） x| x 2 或 x 1 （ C） x| x 2 或 x 2 （ D） x| x 2 或 x 1 （ 2） 已知 实数 x， y 满足约束条件 5003 ，xyxyx，则 z=2x+4y 的最小值是 （ ） （ A） 6 （ B） 5 （ C） 10 （ D） 10 （ 3
2、） 执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的值为 （ ） （ A） 4 （ B） 6 （ C） 7 （ D） 11 （ 4） 下列说法 错误 的是 （ ） （ A）命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x 1，则 x23x+2 0” （ B）“ x 1” 是“ |x| 1”的充分不必要条件 （ C）若 p 且 q 为假命题，则 p、 q 均为假命题 （ D）命题 p：“ x R，使得 x2+x+1 0”，则 p：“ x R，均有 x2+x+1 0” （ 5） 若平面向量 a=(1， 2)与 b 的夹角是 180， 且 |b|=3 5 ，则 b 等于（
3、 ） （ A） (3， 6) （ B） (3， 6) （ C） (6， 3) （ D） (6， 3) （ 6） 若 ABC 三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a=1， B=45， S ABC =2，第 2 页（共 4 页） PMD CBA则 sinA=（ ） （ A） 102 （ B） 502 （ C） 8282 （ D） 101 （ 7） 用 mina， b表示 a， b 两数中的最小值 若函数 f(x)=min|x|， |x+t|21 恰有三个零点，则 t 的值为 （ ） （ A） 2 （ B） 2 （ C） 2 或 2 （ D） 1 或 1 （ 8） 设函数 f
4、(x)在 R 上存在导数 f(x)，对任意的 x R，有 f(x)+f(x)=x2，且在 (0， +)上 f(x) x若 f(2a)f(a) 22a，则实数 a 的取值范围为 （ ） （ A） 1， +) （ B） (， 1 （ C） (， 2 （ D） 2， +) 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 把答案填在题中横线上 （ 9） 已知复数 z1=1+2i， z2=ai， 若 z1 z2 是实数，则实数 a 的值为 （ 10） 等差数列 an中， S10=120，那么 a2+a9 的值是 （ 11） 函数 f(x)=log0.8(x22x3)的单调递 增 区间是 （
5、 12） 如 图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，点 P 是 MD 的中点 . 若 |AB |=2， |AD |=1，且 BAD=60，则 AP CP （ 13） 函数 f(x)=ex|x+1|的零点个数是 （ 14） 已知 a， b 0， 且 2a +1b =3， 则 ab+a的最小值为 第 3 页（共 4 页） 三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 15） （本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=sin2x+ 3 sinxsin(x+2 )（ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值； （ ）求函数 f(x)在区间 203
6、，上的取值范围 （ 16） （本小题满分 13 分） 已知数列 an的前 n 项和 Sn=n2+2n （ ） 求数列的通项公式 an ； （） 设1 2 2 3 3 4 11 1 1 1nnnT a a a a a a a a ，求 Tn （ 17） （ 本小题满分 13 分 ） 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 4bsinA= 7 a （）求 sinB 的值 ； （）若 a， b， c 成等差数列，且公差大于 0，求 cosAcosC 的值 第 4 页（共 4 页） （ 18） （ 本小题满分 13 分 ） 已知函数 f(x)=x+4 x +4，数列 an
7、满 足： a1=1， an+1=f(an)， n N*，数列 b1， b2b1，b3b2， bnbn1 是首项为 1，公比为 31 的等比数列 （）求证：数列 na 为等差数列； （）若 cn= na bn，求数列 cn的前 n 项和 Sn （ 19） （ 本小题满分 14 分 ） 设函数 f(x)=lnx21 ax2bx （） 令 F(x)=f(x)+21 ax2+bx+xa （ 0 x 3） ，其图 象 上任意一点 P(x0， y0)处切线的斜率 k 21恒成立，求实数 a 的取值范围； （） 当 a=0， b=1 时，方程 f(x)=mx 在区间 1， e2内有唯一实数解，求实数 m 的
8、取值范围 （ 20） （ 本小题满分 14 分 ） 设函数 f(x)=xx1 alnx（ a R） （） 当 a=2 时，求 f(x)的单调 区间 ； （） 若 f(x)有两个极值点 x1 和 x2，记过点 A(x1， f(x1)， B(x2， f(x2)的直线的斜率为k，问：是否存在 a，使得 k=2a？ 若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由 ； （） 证明 ： nk kk2 11ln )1(22 2 nn nn （ n N*， n 2） 第 5 页（共 4 页） 数学试卷（理）参考答案 一、选择题 （ 1） D （ 2） B （ 3） C （ 4） C （ 5） A （ 6） A
9、（ 7） D （ 8） B 二、填空题 （ 9） 21 （ 10） 24 （ 11） (1， 1 （ 12） 1625（ 13） 2 （ 14） 2 三、解答题 （ 15） 解： （ ） f(x)= 2 2cos1 x + 23 sin2x 3 分 = 23 sin2x21 cos2x+21 =sin(2x6 )+21 5 分 因为函数 f(x)的最小正周期为 ，且 0， 所以 22 =，解得 =1 7 分 （ ）由（ ）得 f(x)=sin(2x6 )+21 8 分 因为 0 x 32 ， 所以 6 2x6 67 ， 9 分 所以 21 sin(2x6 ) 1， 11 分 因此 0 sin(
10、2x6 )+21 23 ，即 f(x)的取值范围为 302， 13 分 （ 16） 解： （ ） Sn=n2+2n， 第 6 页（共 4 页） 当 n 2 时， 1 21n n na S S n ； 4 分 当 n=1 时， a1=S1=3， 2 1 1 3na 故 21nan， n N* 7 分 （） 11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3nna a n n n n 1 2 2 3 3 4 11 1 1 1nnnT a a a a a a a a 1 1 1 1 1 1 1()2 3 5 5 7 2 1 2 3nn 1 1 1()2 3 2 3n 69nn
11、 13 分 （ 17） 解： （）由 4bsinA= 7 a，根据正弦定理得 4sin Bsin A= 7 sin A， 所以 sin B= 74 4 分 （）由已知和正弦定理以及（）得 sin A+sin C= 72 7 分 设 cosAcosC=x， 2 2，得 22cos(A+C)=74 +x2 9 分 又 a b c， A B C， 所以 0 B 90， cos A cos C， 故 cos(A+C)=cos B=34 11 分 代入 式得 x2=74 因此 cosAcosC= 72 13 分 （ 18） 解 ： （） f(x)=x+4 x +4=( x +2)2， 第 7 页（共 4
12、 页） an+1=f(an)=( na +2)2， 1 分 即 1na na =2（ n N*） 3 分 数列 na 是以 1a =1 为首项，公差为 2 的等差数列 4 分 （） 由 （） 得 ： na =1+2(n1)=2n1， 即 an=(2n1)2（ n N*） 5 分 b1=1，当 n 2 时， bnbn1= 131n ， bn=b1+b2b1+b3b2+ +bnbn1=1+31 + 231+ + 131n =23 n311 因而 bn=23 n311， n N* 8 分 cn= na bn=(2n1) 23 n311， 9 分 Sn=c1+c2+ +cn =23 1+3+5+ +(
13、2n1)(31 +233+335+ +nn312) 令 Tn=31 +233+335+ +13 32 nn+nn312 则 31 Tn= 231+333+335+ +nn3 32 +13 12nn ， 得 32 Tn= 132 3 12)313131(231 nn n 11 3 12)3 11(3131 nn n Tn=1nn31 又 1+3+5+ +(2n1)=n2， Sn=23 (n21+nn31) 13 分 第 8 页（共 4 页） （ 19） 解 ： （ ） F(x)=lnx +xa （ 0 x 3）， 则有 k=F(x0)=200x ax 21 在 (0， 3上恒成立 2 分 所以
14、a (21 x02+x0)max 4 分 当 x0=1 时， 21 x02+x0 取得最大值 21 所以 a1 6 分 （）当 a=0， b=1 时， f(x)=lnx+x 7 分 由 f(x)=mx 得 lnx+x=mx 又 x 0，所以 m=1+ xxln ， 要使方程 f(x)=mx 在区间 1， e2上有唯一实数解 9 分 只需 m=1+ xxln 有唯一实数解 令 g(x)=1+ xxln （ x 0）， g(x)=2ln1x x， 由 g(x) 0 得 0 x e； g(x) 0，得 x e g(x)在区间 1， e上是增函数，在区间 e， e2上 是减函数 12 分 g(1)=1
15、， g(e2)=1+22lnee ， g(e)=1+e1 ， m=1+e1 或 1 m 1+22e 14 分 （ 20） 解： （）当 a=2 时， f(x)=xx1 2lnx， f(x)的定义域为 (0， +) f (x)=1+21xx2 =22)1( xx 0，故 f(x)在 (0， +)上单调递增 3 分 第 9 页（共 4 页） （） f (x)=1+21xxa =22 1xaxx 当 a 2 时， f (x) 0 恒成立， f(x)在 (0， +)上单调递增， 故 f(x)无极值； 4 分 当 a 2 时， 令 f (x)=0，得 x1= 2 42 aa ， x2= 2 42 aa
16、， 当 0 x x1 时， f (x) 0；当 x1 x x2 时， f (x) 0；当 x x2 时， f (x) 0，故 f(x)分别在 (0， x1)， (x2， +)上单调递增，在 (x1， x2)上单调递减 a 2 时， f(x)有两个极值点 x1 和 x2，且 x2 1 6 分 因为 f(x1)f(x2)=(x1x2)+2121 xx xx a(lnx1lnx2)，所以 k=2121 )()( xx xfxf =1+211xx a2121 lnln xx xx 又由 （） 知， x1x2=1于是 k=2a2121 lnln xx xx 8 分 若存在 a，使得 k=2a，则2121
17、 lnln xx xx =1 即 lnx1lnx2=x1x2亦即 x221x 2lnx2=0（ x2 1） （ *） 由 （） 知，函数 f(x)=xx1 2lnx 在 (0， +)上单调递增，而 x2 1， 所以 x221x 2lnx2 111 2ln1=0 这与 （ *） 式矛盾 故不存在 a，使得 k=2a 10 分 （） nk kk2 11ln =ln )1(543 )1(321 nn =ln )1( 2nn ， 第 10 页（共 4 页） nk kk1 11ln )1(22 2 nn nn ln )1( 2nn )1(22 2 nn nn ln 2 )1( nn )1(2 22nn nn， 令 x=2 )1( nn 1， 则 ln 2 )1( nn )1(2 22nn nn lnx2 xx 12 xx1 2lnx 0 由 （） 知， xx1 2lnx 0 成立， 所以 nk kk2 11ln )1(22 2 nn nn 14 分
