1、1课时规范练 25 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.对任意平面向量 a,b,下列关系式不恒成立的是( )A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b22.已知 a,b为单位向量,其夹角为 60,则(2a -b)b= ( )A.-1 B.0C.1 D.23.(2017河南新乡二模)已知向量 a=(1,2),b=(m,-4),若 |a|b|+ab=0,则实数 m等于( )A.-4 B.4C.-2 D.24.(2017河南濮阳一模,文 3)若向量 =(1,2), =(4,5),且 ( )=0,则实数 的值为( )BA C
2、A CB BA+CAA.3 B.-92C.-3 D.-535.在四边形 ABCD中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( )AC BDA. B.25 5C.5 D.106.(2017河北唐山期末)设向量 a与 b的夹角为 ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),则 cos = ( )A.- B.35 35C. D.-55 2557.(2017河北邯郸二模,文 4)已知向量 a=(m,2),b=(2,-1),且 ab,则 等于( )|2a-b|a(a+b)A.- B.1 C.2 D.53 548.(2017北京,文 7)设 m,n为非零向量,则“存在负数 ,使得 m= n
3、”是“mn 0,n0),若 m+n1,2,则 |OA OB OCOAOB|的取值范围是( )OCA. ,2 B. ,2 )5 5 5 10C.( ) D. ,2 5, 10 5 10答案：1.B A项,设向量 a与 b的夹角为 ,则 ab=|a|b|cos |a|b|,所以不等式恒成立;B项,当 a与 b同向时, |a-b|=|a|-|b|;当 a与 b非零且反向时, |a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b) 2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b) (a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立 .综上,选 B.2.B 由已知,得 |a|=|b
4、|=1,a与 b的夹角 = 60,则(2a -b)b=2ab-b2=2|a|b|cos -| b|2=211cos 60-12=0,故选 B.3.C 设 a,b的夹角为 ,| a|b|+ab=0,| a|b|+|a|b|cos = 0, cos =- 1,即 a,b的方向相反 .又向量 a=(1,2),b=(m,-4), b=-2a,m=- 2.4.C =(1,2), =(4,5),BA CA4 =(3,3),CB=CA+AB=CA-BA =(+ 4,2+ 5).BA+CA又 ( )=0,CB BA+CA 3(+ 4)+3(2+ 5)=0,解得 =- 3.5.C 依题意,得 =1(-4)+22
5、=0, .ACBD AC BD 四边形 ABCD的面积为 | |= =5.12|ACBD12 12+22 (-4)2+226.A 向量 a与 b的夹角为 ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3), b= =(2,1),a+2b-a2 cos = =- .ab|a|b|= -4+155 357.B a=(m,2),b=(2,-1),且 ab, ab=2m-2=0,解得 m=1, a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又 a+b=(3,1),a(a+b)=13+21=5, =1.|2a-b|a(a+b)=558.A m,n为非零向量,若存在 0,cos B0,5在等式两边同时
6、除以 cos Acos B,可得 tan B=3tan A.(2) cos C= ,00, tan A=1.又角 A为 ABC的内角,A= .412.B n( tm+n), n(tm+n)=tmn+n2=t|m|n| +|n|2=t |n|2+|n|2=0,解得 t=-3.故选 B.12 1313.C 设 a,b的夹角为 , 向量 a,b满足 |a|=2,|b|=3,且(a -b)a=1, a2-ba=1, 22-32cos = 1,解得 cos = ,12 a与 b的夹角为 .故选 C.314.D 以 C为坐标原点, CA为 x轴建立平面直角坐标系,则 A(3,0),B(0,3),AB 所在
7、直线的方程为 y=3-x.设 M(a,3-a),N(b,3-b),且 0 a3,0 b3,不妨设 ab,MN= , (a-b)2+(b-a)2=2,a-b= 1,a=b+ 1, 0 b2,2 =(a,3-a)(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3),0 b2,CMCN 当 b=1时有最小值 4;当 b=0或 b=2时有最大值 6,6 的取值范围为4,6 .CMCN15.(-2,6) 以 A为坐标原点, AB为 x轴, AC为 y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(0,0),B(4,0),C(0,4),D(2,2),所以 +m (4,0)+m(0,4)=(1,4m),则
8、 M(1,4m).AM=14ABAC=14 点 M在 ACD的内部(不含边界), 1 0,cos 0,tan = ,sin = 7cos ,又2 sincossin2+ cos2= 1,得 sin = ,cos = =1, =cos =- ,得方7210 210,OCOA=15,OCOB OAOB ( +4) 35程组 解得 所以 m+n=3.m-35n=15,-35m+n=1, m=54,n=74,17.B 以 BC所在的直线为 x轴, BC的垂直平分线 AD为 y轴, D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图 .可知 A(0, ),B(-1,0),C(1,0).3设 P(x,y),则 =(-x
9、, -y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y).PA 3 PB PC所以 =(-2x,-2y).PB+PC所以 ( )=2x2-2y( -y)=2x2+2 - .PA PB+PC 3 (y-32)2-32 32当点 P的坐标为 时, ( )取得最小值为 - ,故选 B.(0,32) PA PB+PC 32718.B =(3,1), =(-1,3), =m -n =(3m+n,m-3n),OA OB OCOAOB| |=OC (3m+n)2+(m-3n)2= ,10(m2+n2)令 t= ,则 | |= t,m2+n2 OC 10而 m+n1,2,即 1 m+n2,在平面直角坐标系中表示如图所示,t= 表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,m2+n2分析可得 t2.又由 | |= t,故 | |2 .22 OC 10 5 OC 10
