1、1课时规范练 28 数列的概念与表示一、基础巩固组1.数列 1, ,的一个通项公式 an=( )23,35,47,59A. B. C. D.2+1 2-1 2-3 2+32.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a2等于( )A.4 B.2 C.1 D.-23.(2017 江西上饶模拟)已知数列 an满足 an+1+an=n,若 a1=2,则 a4-a2=( )A.4 B.3 C.2 D.14.已知数列 an满足 a1=0,an+1=an+2n-1,则数列 an的一个通项公式为( )A.an=n-1 B.an=(n-1)2C.an=(n-1)3 D.an=(n-1
2、)45.(2017 吉林市模拟改编)若数列 an满足 a1= ,an=1- (n2,且 nN *),则 a2 018等于( )12 1-1A.-1 B. C.1 D.2126.已知数列 an的首项 a1=1,其前 n 项和 Sn=n2an(nN *),则 a9=( )A. B. C. D.136 145 155 1667.(2017 宁夏银川二模)已知数列 an满足 a1=2,且 + =an-2(n2),则 an的通12+23+34 -1项公式为 . 8.已知数列 an的通项公式为 an=(n+2) ,则当 an取得最大值时, n= . (78)9.已知各项都为正数的数列 an满足 -an+1
3、an-2 =0,且 a1=2,则 an= . 2+1 210.(2017 广东江门一模)已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn,Sn= an(an+1),nN *.12(1)求数列 an的通项公式;(2)若 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 Tn.1导学号 21500730二、综合提升组11.(2017 河南郑州、平顶山、濮阳二模,理 7)已知数列 an满足 an+1=an-an-1(n2), a1=m,a2=n,Sn为数列 an的前 n 项和,则 S2 017的值为( )A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n12.已知函数 f(x)是定义在区间(0, + )内的单调
4、函数,且对任意的正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y).若数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN *),则 an等于( )A.2n-1 B.n C.2n-1 D.(32)-113.(2017 山西晋中二模,理 15)我们可以利用数列 an的递推公式 an= (nN *),求出这,为奇数,2,为偶数 个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则 a64+a65= . 14.(2017 山西吕梁二模,理 16)在数列 an中,已知 a2n=a2n-1+(-1)n,a2n+1=a2n+n,a1=1,则 a20= .15.已知数列 an的
5、前 n 项和为 Sn,Sn=2an-n,则 an= . 三、创新应用组216.(2017 河南洛阳一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列 an称为“斐波那契数列”,则( a1a3- )(a2a4- )(a3a5-22 23)(a2 015a2 017- )= ( )24 22 016A.1 B.-1C.2 017 D.-2 017 导学号 2150073117.已知数列 an中, a1=-1,an+1=2an+3n-1(n
6、N *),求数列 an的通项公式 .课时规范练 28 数列的概念与表示1.B 由已知得,数列可写成 ,故通项为11,23,35 2-1.2.A 由 Sn=2(an-1),得 a1=2(a1-1),即 a1=2,又 a1+a2=2(a2-1),所以 a2=4.3.D 由 an+1+an=n,得 an+2+an+1=n+1,两式相减得 an+2-an=1,令 n=2,得 a4-a2=1.4.B 因为 a1=0,an+1=an+2n-1,所以 a2=0+1=1,a3=1+3=4,a4=4+5=9,故数列 an的一个通项公式为an=(n-1)2.5.A a 1= ,an=1- (n2,且 nN *),
7、a 2=1- =1- =-1,12 1-1 11 112a 3=1- =1- =2,12 1-1a 4=1- =1- ,依此类推,可得 an+3=an,a 2 018=a6723+2=a2=-1,故选 A.13 12=126.B 由 Sn=n2an,得 Sn+1=(n+1)2an+1,所以 an+1=(n+1)2an+1-n2an,化简得( n+2)an+1=nan,即 ,+1= +2所以 a9= a1= 1=9887 21 8107968 2413 290=145.7.an=n+1 + =an-2(n2), 12+23+34 -1+ =an+1-2(n2), 12+23+34 +1- 得 =
8、an+1-an,整理得 , =1,又 =1,+1 +1=+2+1+1+2+1 11+1 数列 是以 1 为首项,1 为公比的等比数列,即常数列 1,a n=n+1.+18.5 或 6 由题意令 -1,+1,3(+2)(78)(+1)(78)-1,(+2)(78)(+3)(78)+1,解得 n=5 或 n=6.6,5. 9.2n -an+1an-2 =0,2+1 2 (an+1+an)(an+1-2an)=0. 数列 an的各项均为正数,a n+1+an0,a n+1-2an=0,即 an+1=2an(nN *), 数列 an是以 2 为公比的等比数列 .a 1=2,a n=2n.10.解 (1
9、) a1=S1= a1(a1+1),a10,解得 a1=1.12nN *,an+1=Sn+1-Sn= an+1(an+1+1)- an(an+1),12 12移项整理并因式分解得( an+1-an-1)(an+1+an)=0,因为 an是正项数列,所以 an+1+an0,所以 an+1-an-1=0,an+1-an=1.所以 an是首项 a1=1、公差为 1 的等差数列,所以 an=n.(2)由(1)得 Sn= an(an+1)= n(n+1),bn= ,Tn=b1+b2+bn=12 12 1= 2(+1)=2 2n+1+(21-22)+(22-23) (2- 2+1)=(21- 2+1)=2
10、+1.11.C a n+1=an-an-1(n2), a1=m,a2=n,a 3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,a n+6=an.则 S2 017=S3366+1=336(a1+a2+a6)+a1=3360+m=m.12.D 由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN *),S n+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减,得 2an=3an-1(n2),则 (n2) .-1=32又 n=1 时, S1+2=3a1=a1+2,a 1=1. 数列 an是首项为 1,公比为 的等比数列 .a n=32 (32)-1.13.6
11、6 由题得,这个数列各项的值分别为 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,a 64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.14.46 由 a2n=a2n-1+(-1)n,得 a2n-a2n-1=(-1)n,由 a2n+1=a2n+n,得 a2n+1-a2n=n,a 2-a1=-1,a4-a3=1,a6-a5=-1,a20-a19=1,10 个式子之和为 0,a3-a2=1,a5-a4=2,a7-a6=3,a19-a18=9,9 个式子之和为 =45.9(1+9)2累加得 a20-a1=45.又 a1=1,故 a20=46,故答案为 46.15.
12、2n-1 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即 an=2an-1+1,4a n+1=2(an-1+1).又 a1=S1=2a1-1,a 1=1. 数列 an+1是以首项为 a1+1=2,公比为 2 的等比数列,a n+1=22n-1=2n,a n=2n-1.16.B a 1a3- =12-12=1,a2a4- =13-22=-1,a3a5- =25-32=1,22 23 24a2 015a2 017- =1.22 016 (a1a3- )(a2a4- )(a3a5- )(a2 015a2 017- )=11 008(-1)1 007=-1.22 23 24 22 01617.解 a n+1=2an+3n-1(nN *),a1=-1,a 2=0.当 n2 时, an=2an-1+3n-4,由 - 可得 an+1-an=2an-2an-1+3,即 an+1-an+3=2(an-an-1+3), 数列 an-an-1+3为等比数列,首项为 4,公比为 2.a n-an-1+3=42n-2,a n-an-1=2n-3.a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-3+2n-1-3+22-3-1= -3(n-1)-4(2-1-1)2-11=2n+1-3n-2.
