1、1课时规范练 42 空间向量及其运算一、基础巩固组1.已知空间四边形 OABC中, =a, =b, =c,点 M在 OA上,且 OM=2MA,N为 BC中点,则 =( ) A. a- b+ c B.- a+ b+ c12 23 12 23 12 12C. a+ b- c D. a+ b- c12 12 12 23 23 122.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O,球面上的两个点 A,B的坐标分别为 A(1,2,2),B(2,-2,1),则 |AB|等于( )A.18 B.12 C.3 D.22 33.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E为上底面 A1C1的中心,若 +x +
2、y ,则 x,y的值分别=1 为( )A.x=1,y=1 B.x=1,y=12C.x= ,y= D.x= ,y=112 12 124.向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( )A.ab,ac B.ab,acC.ac,ab D.以上都不对5.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足 =0, =0, =0,M为 BC中点,则 AMD是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定6.(2017浙江舟山模拟)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,向量 两两的夹角均为 60,且,1| |=1,| |=2,| |=3,则 | |
3、等于( ) 1 1A.5 B.6 C.4 D.87.已知空间向量 a,b,满足|a|=|b| =1,且 a,b的夹角为 ,O为空间直角坐标系的原点,点 A,B满足3=2a+b, =3a-b,则 OAB的面积为 . 8.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的 ABC是以 BC为斜边的等腰直角三角形,则实数 x的值为 . 9.(2017宁夏银川模拟)已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若 =2 ,则 | |的值是 . 10.如图,在棱长为 a的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, G为 BC1D的重心,求证:(1)
4、A1,G,C三点共线;(2)A1C平面 BC1D.2导学号 21500751二、综合提升组11.已知 =(2,2,-2), =(1,y,z),若 =(x-1,y,1),且 BP AB,则实数 x,y,z分别为( ) ,A.5,-1,1 B.1,1,-1C.-3,1,1 D.4,1,-212.(2017安徽合肥质检)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=1,BC=2,AA1=3,点 M是 BC的中点,点P AC1,Q MD,则 PQ长度的最小值为( )A.1 B. C. D.243 23313.(2017内蒙古包头模拟)如图所示, PD垂直于正方形 ABCD所在平面, AB=2,E为
5、PB的中点,cos = ,若以 DA,DC,DP所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点 E的坐标为 .,33导学号 21500752 14.在四棱锥 P-ABCD中, PD底面 ABCD,底面 ABCD为正方形, PD=DC,E,F分别是 AB,PB的中点 .(1)求证: EF CD.(2)在平面 PAD内是否存在一点 G,使 GF平面 PCB.若存在,求出点 G坐标;若不存在,试说明理由 .三、创新应用组15.如图,四边形 ABCD和 ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M在线段 PQ上, E,F分别为 AB,BC的中点 .设异面直线 EM与 AF所成的角为 ,则
6、 cos 的最大值为 . 16.如图所示的直三棱柱 ABC-A1B1C1,在其底面三角形 ABC中, CA=CB=1, BCA=90,棱 AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点 .3(1)求 的模;(2)求 cos的值;1,1(3)求证: A1B C1M.导学号 21500753课时规范练 42 空间向量及其运算1.B )- =- a+ b+ c.=12(+2323 12 122.C |AB|= =3(1-2)2+(2+2)2+(2-1)2 2.3.C 如图, )=1+1=1+1211=1+12(11+11 1+12+12.4.C 因为 c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2
7、a,所以 ac.又 ab=(-2)2+(-3)0+14=0,所以 ab .5.C M 为 BC中点, ).=12(+) =0.=12(+=12+12AM AD, AMD为直角三角形 .6.A 设 =a, =b, =c,则 =a+b+c,| |2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=25,因此 | |=5.1 1 1 17 由 =2a+b, =3a-b,得.534 | |= ,| |= =(2a+b)(3a-b)=(2+)2=7 (3-)2=7,B112. cos BOA= ,|=1114 sin BOA=5314.S OAB= | |sin BOA=12| 534.8.2 由题意知 =0
8、,| |=| | =(6,-2,-3), =(x-4,3,-6), . 解得 x=2.6(-4)-6+18=0,(-4)2=4, 9 设 P(x,y,z),则 =(x-1,y-2,z-1), =(-1-x,3-y,4-z).由 =2 ,得点 P坐标为. 773 又 D(1,1,1),| |=(-13,83,3). 773.410.证明 (1) )=1=+1=+1,=1+1=1+2312(1+1)1+13(1+1= )= ,13(+1 131,即 A1,G,C三点共线 .1(2)设 =a, =b, =c,1则 |a|=|b|=|c|=a,且 ab=bc=ca=0.=a+b+c, =c-a,1 1
9、=(a+b+c)(c-a)11=c2-a2=0.因此 ,11即 CA1 BC1.同理 CA1 BD.又 BD与 BC1是平面 BC1D内的两条相交直线,故 A1C平面 BC1D.11.B , =- ,解得 y=1,z=-1.12=2 2BP AB, 2(x-1)+2y-2=0,解得 x=1.12.C 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设 P(x0,2x0,3-3x0),Q(x1,2-x1,3),x00,1,x10,1,所以 PQ=,(0-1)2+(20+1-2)2+(3-30-3)2=2(1+0-22 )2+272(0-29)2+43当且仅当 x0= ,x1= 时, PQ取得最小值,即 P
10、Qmin=29 89 43=233.13.(1,1,1) 由已知得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设 P(0,0,a)(a0),则 E ,所以 =(0,0,a), ,| |=a,| |=(1,1,2) =(-1,1,2) (-1)2+12+(2)2=2+24=8+22 .又 cos= ,所以 ,解得 a2=4,即 a=2,所以 E(1,1,1).,330(-1)+01+228+22=3314.(1)证明 如图,以 DA,DC,DP所在直线分别为 x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系,设 AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)
11、,E ,P(0,0,a),F(,2,0) (2,2,2).5=(0,a,0).=(-2,0,2),=0, , 即 EF CD.(2)解 假设存在满足条件的点 G,设 G(x,0,z),则 ,若使 GF平面 PCB,=(-2,-2,-2)则由 x- ,- ,z- (a,0,0)=a =0,得 x=( 2 2 2 ) (-2) 2.由 x- ,- ,z- (0,-a,a)= +a =0,得 z=0.=( 2 2 2 ) 22 (-2) 点 G坐标为 ,即存在满足条件的点 G,且点 G为 AD的中点 .(2,0,0)15 以 A为坐标原点,射线 AB,AD,AQ分别为 x,y,z轴的正半轴 ,建立如
12、图所示的空间直角坐标系 .25设正方形 ABCD和 ADPQ的边长为 2,则 E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0 y2) .所以 =(2,1,0), =(-1,y,2). 所以 =-2+y,| |= ,| |= 5 5+2.所以 cos =|A|=|-2+|55+2= 2-55+2.令 2-y=t,则 y=2-t,且 t0,2 .所以 cos =55+(2-)2=59-4+2.当 t=0时,cos =0.当 t0 时,6cos =15 92-4+1= ,159(1-29)2+59由 t(0,2,得 ,112,+)所以9(1-29)2+599(12-29)2+59=52.所以 0=1,111 |1|1|=3010.(3)证明 依题意,得 C1(0,0,2),M =(-1,1,-2), ,(12,12,2),1 1=(12,12,0)=- +0=0.1112+12,A 1B C1M.11
