1、1课时规范练 50 抛物线一、基础巩固组1.(2017广西桂林一模)若抛物线 y2=2px(p0)上的点 A(x0, )到其焦点的距离是点 A到 y轴距离2的 3倍,则 p等于( )A. B.1 C. D.212 322.O为坐标原点, F为抛物线 C:y2=4 x的焦点, P为抛物线 C上一点,若 |PF|=4 ,则 POF的面积2 2为( )A.2 B.2 C.2 D.42 33.过抛物线 y2=4x的焦点作直线 l交抛物线于 A,B两点,若线段 AB中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( )A.2 B.4 C.6 D.84.(2017山西运城模拟)已知抛物线 x2=ay与直线 y=2x-
2、2相交于 M,N两点,若 MN中点的横坐标为 3,则此抛物线方程为( )A.x2= y B.x2=6y32C.x2=-3y D.x2=3y5.已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,若 |AB|=6,则线段 AB的中点 M的横坐标为( )A.2 B.4 C.5 D.66.(2017黑龙江大庆二模,理 11)已知抛物线 y2=4x,过焦点 F作直线与抛物线交于点 A,B(点 A在 x轴下方),点 A1与点 A关于 x轴对称,若直线 AB斜率为 1,则直线 A1B的斜率为( )A. B. C. D.33 3 22 27.如图,过抛物线 y2=2px(p0)的
3、焦点 F的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l于点 C,若 |BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2= x 导学号 2150076338.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,过 A,B分别作 y轴的垂线,垂足分别为 C,D,则 |AC|+|BD|的最小值为 . 9.已知点 F为抛物线 y2=12x的焦点,过点 F的直线 l与抛物线在第一象限内的交点为 A,过 A作 AH垂直抛物线的准线于 H,若直线 l的倾斜角 ,则 AFH面积的最小值为 . (0,310.(2017全国 ,理 16)已知
4、 F是抛物线 C:y2=8x的焦点, M是 C上一点, FM的延长线交 y轴于点 N,若 M为 FN的中点,则 |FN|= . 导学号 21500764 二、综合提升组11.已知直线 l1:4x-3y+6=0和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x上一动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( )A. B.2 C. D.3355 11512.2(2017河北衡水中学三调,理 11)如图,已知抛物线的方程为 x2=2py(p0),过点 A(0,-1)作直线与抛物线相交于 P,Q两点,点 B的坐标为(0,1),连接 BP,BQ,设 QB,BP与 x轴分别相交于 M,N两点 .如果QB
5、的斜率与 PB的斜率的乘积为 -3,则 MBN的大小等于( )A. B. C. D.2 4 23 313.(2017北京顺义二模,理 13)已知抛物线 y2=2px(p0)的准线为 l,若 l与圆 x2+y2+6x+5=0的交点为 A,B,且 |AB|=2 ,则 p的值为 . 314.(2017石家庄二中模拟,理 20)已知点 F(1,0),动点 M,N分别在 x轴, y轴上运动, MN NF,Q为平面上一点, =0,过点 Q作 QP平行于 x轴交 MN的延长线于点 P.+(1)求点 P的轨迹曲线 E的方程;(2)过点 Q作 x轴的垂线 l,平行于 x轴的两条直线 l1,l2分别交曲线 E于
6、A,B两点(直线 AB不过点F),交 l于 C,D两点 .若线段 AB中点的轨迹方程为 y2=2x-4,求 CDF与 ABF的面积之比 .导学号 21500765三、创新应用组15.(2017山东菏泽一模)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,以抛物线 C上的点 M(x0,2为圆心的圆与 y轴相切,与线段 MF相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,若2)(02) 2 3=2,则 |AF|= . |课时规范练 50 抛物线31.D 由题意,3 x0=x0+ ,x 0= ,2 4=2.22p 0,p= 2,故选 D.2.C 利用 |PF|=xP+ =4 ,可得 xP=3
7、2 2 2.y P=2 S POF= |OF|yP|=2 故选 C.6.12 3.3.D 由题设知线段 AB的中点到准线的距离为 4.设 A,B两点到准线的距离分别为 d1,d2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8.4.D 设点 M(x1,y1),N(x2,y2).由 消去 y,2=,=2-2得 x2-2ax+2a=0,所以 =3,即 a=3,1+22 =22因此所求的抛物线方程是 x2=3y.5.A 抛物线 y2=4x,p= 2.设 A,B两点的横坐标分别为 x1,x2,利用抛物线定义, AB中点横坐标为x0= (x1+x2)= (|AB|-p)=2,故选 A
8、.12 126.C 抛物线 y2=4x上的焦点 F(1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-y1),则可设直线 AB的方程为 y=x-1,联立方程 =-1,2=4,可得 x2-6x+1=0,则有 x1+x2=6,x1x2=1,直线 A1B的斜率 k= ,2-(-1)2-1 =2+12-1=1+2-2(1+2)2-412=22所以直线 A1B的斜率为 ,故选 C.227.C 如图,分别过点 A,B作 AA1 l于点 A1,BB1 l于点 B1,由抛物线的定义知, |AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.|BC|= 2|BF|,|BC|= 2|BB1|. BCB1=30
9、, AFx=60.连接 A1F,则 AA1F为等边三角形,过点 F作 FF1 AA1于点 F1,则 F1为 AA1的中点,设 l交 x轴于点 K,则 |KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,12 12 32故抛物线方程为 y2=3x.48.2 由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即 |AC|+|BD|取得最小值时当且仅当 |AB|取得最小值 .依抛物线定义知当 |AB|为通径,即 |AB|=2p=4时,为最小值,所以 |AC|+|BD|的最小值为 2.9.36 设点 A的坐标为( x,y)(y0),直线 l的倾斜角 ,则 x9
10、 .3(0,3故 AFH的面积 S= (x+3)y.12令 t=S2= (x+3)212x=3x(x+3)2.14则 t=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)0,函数 t单调递增 .故当 x=9时, S最小,此时 =39122,即 Smin=362 3.10.6 设 N(0,a),由题意可知 F(2,0).又 M为 FN的中点,则 M(1,2).因为点 M在抛物线 C上,所以 =8,即 a2=32,24即 a=4 2.所以 N(0,4 ).2所以 |FN|= =6.(2-0)2+(042)211.B 由题可知 l2:x=-1是抛物线 y2=4x的准线,设抛物线的焦点为 F(
11、1,0),则动点 P到 l2的距离等于 |PF|,则动点 P到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值,即焦点 F到直线 l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是 =2.|4-0+6|512.D 设直线 PQ的方程为 y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得 x2-2pkx+2p=0,=-1,2=2,则 x1+x2=2pk,x1x2=2p,kBP= ,kBQ= ,1-112-12kBP+kBQ=1-11 +2-12=1-21 +2-22=212-2(1+2)12= =0,22-222即 kBP+kBQ=0, 又 kBPkBQ=-3, 联立 解得 kBP= ,kBQ=- ,3
12、 3所以 BNM= , BMN= ,3 3故 MBN= - BNM- BMN= ,故选 D.3513.4或 8 抛物线 y2=2px的焦点 F ,准线 x=- ,准线与 x轴相交于点 H.圆 x2+y2+6x+5=0的标(2,0) 2准方程为( x+3)2+y2=4,则圆心 E(-3,0),半径为 2,假设抛物线的准线在圆心的右侧,由 |AB|=2 ,则 A ,则 |AH|= ,|AE|=2,3 (-2,3) 3|EH|= 1,则 |EH|+ =|OE|,2即 1+ =3,则 p=4.2设抛物线的准线在圆心的左侧,由 |AB|=2 ,则 A ,3 (-2,3)则 |AH|= ,|AE|=2,3
13、则 |OE|+|EH|= ,2即 3+1= ,则 p=8,2p 的值为 4或 8.14.解 (1)设 P(x,y),由 N为 Q,F的中点可得 N为 P,M的中点,则 M,N分别为 M(-x,0),N,(0,2),=(,2),=(1,-2)由 =0可得点 P的轨迹方程为 y2=4x.(2)设直线 AB与 x轴的交点为 G(a,0),设 A ,B ,(214,1) (224,2)A,B中点为 M(x,y),当 AB与 x轴不垂直时,由 kAB=kMG得 ,41+2= -而 =y,则 ,1+22 42= -即 y2=2(x-a),即 a=2.当 AB与 x轴垂直时, A,B中点 M与 G(a,0)
14、重合,此时 a=2.由 N为 Q,F的中点,可知过点 Q作 x轴的垂线 l即为抛物线 y2=4x的准线,S CDF= |y1-y2|2,S ABF= |y1-y2|a-1|= |y1-y2|1,12 12 12 CDF与 ABF的面积之比为 2.15.1 由抛物线的定义得 |MF|=x0+2. 圆与 y轴相切, |MA|=x 0. 圆被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,圆心到直线 x= 的距离为 |MA|,2 3 2 |2-( 32|)2=126|MA|= 2 ,(0-2) 2 =x0,解得 x0=p.(0-2)M (p,2 ), 2p2=8,p= 2.2=2,|AF|= |MA|= p=1,|AF|= 1.| 12 12
