1、1课时规范练 7 函数的奇偶性与周期性一、基础巩固组1.函数 f(x)= -x的图象关于 ( )1A.y轴对称B.直线 y=-x对称C.坐标原点对称D.直线 y=x对称2.(2017河北武邑中学模拟,理 3)在下列函数中,既是偶函数,又在区间0,1上单调递增的函数是( )A.y=cos xB.y=-x2C.y=(12)|D.y=|sin x|3.(2017河北百校联考)已知 f(x)满足对任意 xR, f(-x)+f(x)=0,且当 x0 时, f(x)=ex+m(m为常数),则 f(-ln 5)的值为( )A.4B.-4C.6D.-64.(2017福建名校模拟)若函数 f(x)是定义在 R上
2、的偶函数,且在( - ,0上 f(x)是减函数 .若 f(2)=0,则使得 f(x)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)8.(2017河南南阳模拟)已知函数 f(x)是周期为 4的偶函数,当 x0,2时, f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在 -1,3上的解集为( )A.(1,3)B.(-1,1)2C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)9.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x -3,0时, f(x)=6-x,则 f(919)= . 10.(2017湖南衡阳三次联考,理 16)已知函数 f(x)=lo
3、,则使得 f(x+1)0的解集为 (12). 12.(2017河北衡水模拟)已知 y=f(x)+x2是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)= .二、综合提升组13.已知偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x0),则 x|f(x-2)0=( )A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x214.(2017山东青岛模拟)已知奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=2,则 f(4)+f(5)的值为 ( )A.2B.1C.-1D.-215.(2017安徽安庆二模,理 10)已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足: f(x+1)=f
4、(x-1),且当 -1f(10).8.C f(x)的部分图象如图所示 .当 x -1,0)时,由 xf(x)0,得 x( -1,0);当 x0,1)时,由 xf(x)0,得 x;当 x1,3时,由 xf(x)0,得 x(1,3) .故 x( -1,0)(1,3) .9.6 由 f(x+4)=f(x-2)知, f(x)为周期函数,且周期 T=6.因为 f(x)为偶函数,所以 f(919)=f(1536+1)=f(1)=f(-1)=61=6.10.(0,2) 由题意得函数 f(x)的定义域是 R,f (-x)=lo =f(x), 函数 f(x)是偶函1(2+1)|数 . 偶函数 f(x)在(0,
5、+ )内单调递减,且 f(x+1)|2x-1|,解得 012 (12)(- ,0)内单调递增,且 f =0.(-12)由 f(x)0,可得 x 或 - 0等价于 f(|x-2|)0=f(2).f (x)=x3-8在0, + )内为增函数,|x- 2|2,解得 x4.14.A f (x+1)为偶函数, f(x)是奇函数,f (-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,f (x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),f (x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则 f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f (4)+f(5)=0
6、+2=2,故选 A.15.D 由 f(x+1)=f(x-1),得 f(x+2)=f(x+1)+1=f(x),f (x)是周期为 2的周期函数 . log232log220log216, 4log2205,f (log220)=f(log220-4)=f =-f(254) (-254). 当 x( -1,0)时, f(x)=2x-1,f =- ,(-254) 15故 f(log220)=15.16.5 f (x+2)=f(x), 函数 f(x)是周期为 2的函数 .当 x -1,0时, -x0,1,此时 f(-x)=-3x.由 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x)=-3x.由 ax+3a
7、-f(x)=0,得 a(x+3)=f(x).设 g(x)=a(x+3),分别作出函数 f(x),g(x)在区间 -3,2上的图象,如图所示 .因为 a ,且当 a= 和 a= 时,对应的 g(x)为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象12 34 12 34有 5个不同的交点,故方程有 5个不同的根 .17.1 因为对任意 xR,都有 f(x)5,所以当 x=a时, f(x-a)5,不满足 f(0)=0,所以无论正数a取什么值, f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”; 因为 f(x)=cos =sin 2x,所以(2-2)f(x)的图象左右平移 时为偶函数, f(x)的图象左右平移 时为奇函数,故不是“和谐函数”; 因为4 2f(x)=sin x+cos x= sin ,所以 f sin x是奇函数, f cos x是偶函数,故2 (+4) (-4)=2 (+4)=2是“和谐函数”; 因为 f(x)=ln|x+1|,所以只有 f(x-1)=ln|x|为偶函数,而 f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数 a,使得函数 f(x)是“和谐函数” .综上可知, 都不是“和谐函数”,只有 是“和谐函数” .故答案为 1.
