1、1附录:数学高考“素养立意”的解读与典例分析一、核心素养1.“核心素养”的内涵核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力 .“核心素养”之“核心”应当是基础,是起着奠基作用的品格和能力,聚集的是思维素养 .核心素养强调的不是知识和技能,而是获取知识的能力 .2.核心素养的基本特点(1)核心素养是知识、能力和态度等的综合表现 .(2)核心素养可以通过接受教育、训练来形成和发展 .(3)核心素养具有发展连续性和阶段性 .(4)核心素养兼具个人价值和社会价值 .(5)核心素养的作用发挥具有整合性 .二、数学核心素养数学核心素养是学生在接受相
2、应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力 .高中阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析 .这些数学核心素养既有独立性,又相互交融,形成一个有机整体 .三、如何认识和理解数学的核心素养数学核心素养是学生通过数学的学习、反思、积累、升华、孕育出来的,面对复杂的、不确定的现实情境和问题时,能够综合运用特定的数学观念、知识、技能、思维模式、探究技能等,用积极的态度、科学的精神去提出问题、分析问题、解决问题、交流结果的过程中表现出来的综合品质 .四、在教学中培育学生核心素养的措施1.树立以发展学生数学核心素养为导向的教
3、学意识 .2.教师在教学实践中要结合情境不断探索和创新教学方式,以有效提升学生的数学基本能力 .3.以学生发展为本,充分发挥数学在培养学生的科学精神、思维品质的重要作用 .4.帮助学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会数学内容中所蕴含的基本思想和文化价值,积累学习数学和解决实际问题的基本经验,提升数学基本能力,特别是抽象能力、推理能力、建模能力、运算能力、直观想象能力、数据分析能力 .5.坚持并加强问题导向,重视创设合适的教学情境,特别是实际情境,发展学生的创新意识和应用能力 .6.把教学活动的重心放在促进学生学会学习数学上,要加强“学法”指导,帮助学生养成良好的数学学习习惯;充分运用信
4、息技术手段,积极探索有利于学生学习的多样化教学方式 .五、数学学科的各项核心素养1.数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程 .主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征 .在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验 .学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般性思考问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题 .2.逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出
5、发,依据逻辑规则推出一个问题的思维过程 .主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎 .在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出问题;能掌握推理的基本形式,表述论证的过程;能理解数学知识之间的联系,建构知识框架;形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,增强数学交流能力 .3.数学建模2数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程 .主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题 .在数学建模核
6、心素养的形成过程中,积累用数学解决实际问题的经验 .学生能够在实际情境中发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验证模型和完善模型;能够提升应用能力,增强创新意识 .4.直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程 .主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路 .在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感
7、悟事物的本质,培养创新思维 .5.数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程 .主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等 .在数学运算核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展数学运算能力;能有效借助运算方法解决实际问题;能够通过运算促进数学思维发展,养成程序化思考问题的习惯;形成一丝不苟、严谨求实的科学精神 .6.数据分析数据分析是指针对研究对象获得相关数据,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,形成知识的过程 .主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型对信息进行分析、推断,获得结论 .在数据
8、分析核心素养的形成过程中,学生能够提升数据处理的能力,增强基于数据表达现实问题的意识,养成通过数据思考问题的习惯,积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验 .六、“素养立意”的典例剖析【例 1】已知圆 C:x2+y2-2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0 对称,则圆 C 中以 为中点的弦(4,-4)长为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 圆 C:x2+y2-2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0 对称, 直线 3x-ay-11=0 过圆心 C(1,-2), 3+2a-11=0, 直观想象解得 a=4, =(1,-1), 数学运算(4,-4)点(1, -1
9、)到圆心 C(1,-2)的距离 d= =1, 数学运算(1-1)2+(-1+2)2圆 C:x2+y2-2x+4y=0 的半径 r= , 数学运算124+16=5 圆 C 中以 为中点的弦长为 2 =2 =4.故选 D. 直观想象和数学运(4,-4) 2-2 5-1算【例 2】已知矩形 ABCD,AB=6,BC=4,E,F 分别是 AB,CD 上两动点,且 AE=DF,把四边形 BCFE 沿 EF折起,使平面 BCFE平面 ABCD,若折得的几何体的体积最大,则该几何体外接球的体积为 .答案6423解析 画出折得的几何体(直三棱柱)如图所示, 直观想象3设 DF=x,FC=6-x,则 DC= ,
10、 数学抽象和数学运算2-(6-)2=12-36由题设底面面积 S DFC= (6-x) (6-x) , 数学抽象和数学运算12 12-36=3 -3因为高为 4,所以当 g(x)=(6-x) 的最大值时,折得的几何体的体积最大 . 逻辑推理-3令 =tx=t2+3,6-x=3-t2, 数学抽象-3则 g(x)=f(t)=t(3-t2)=-t3+3t, 数学建模求导可得 f(t)=-3(t2-1)=-3(t+1)(t-1),故当 t=1x=4 时, 数学运算即 DC= =2 时,几何体的体积最大,此时底面外接圆的半径为 r=2.16-4 3设外接球的球心为 O,则点 O 到底面的距离 d=2,
11、直观想象所以球的半径 R= =2 ,2+2=4+4 2则外接球的体积 V= (2 )3= . 数学运算43 2 6423【例 3】从某校随机抽取 200 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整理得到数据的频数分布表和频率分布直方图(如图) .编号 分组频数1 0,2)122 2,4)163 4,6)344 6,8)445 8,10) 506 10,12) 247 12,14) 128 14,16) 49 16,18 4合 计 200(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 h 的概率;(2)求频率分布直方图中的 a,b 的值;4(3)假设同一组中
12、的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 .解 (1)由频率分布表,得该周课外阅读时间不少于 12 h 的频数为 12+4+4=20, 数据分析故可估计该周课外阅读时间少于 12 h 的概率为 1- =0.9. 数学运算20200(2)由频率分布表可知数据在4,6)的频数为 34,故这一组的频率为 0.17,即 a=0.085,数据在8,10)的频数为 50,故这一组的频率为 0.25,即 b=0.125. 数据分析(3)数据的平均数为 (121+316+534+744+950+1124+1312+154+174)1200=7.68(h
13、), 数学运算故样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组 . 数据分析【例 4】(2017 全国 ,理 20)已知椭圆 C: =1(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P322+22,P4 中恰有三点在椭圆 C 上 .(-1,32) (1,32)(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点 .若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 -1,证明:l 过定点 .解 (1)由于 P3,P4两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3,P4两点 . 直观想象又由 知, C 不经过点 P1,所以点 P2在 C 上 . 逻辑推理
14、12+1212+342因此 解得12=1,12+342=1,2=4,2=1.故 C 的方程为 +y2=1. 数学运算24(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2,如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t0,且 |t|0. 数学运算设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= .842+1 42-442+1而 k1+k2=1-11 +2-12 =1+-11 +2+-12= .212+(-1)(1+2)125由题设 k1+k2=-1,故(2 k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2 k+1) +(m-1) =0.42-442+1 -842+1解得 k=- .+12当且仅当 m-1 时, 0,于是 l:y=- x+m, 逻辑推理+12即 y+1=- (x-2),+12所以 l 过定点(2, -1). 数学抽象
