1、1第 1 章 常用逻辑用语1命题的概念及真假命题的判断(1)命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成命题分为真命题和假命题(2)判断命题真假的方法：直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；对于“ p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假2四种命题及其关系(1)四种命题的构成：原命题：若 p，则 q；逆命题：若 q，则 p(结论和条件“换位”)；否命题：若非 p，则非 q(条件和结论都否定“换质”)；逆否命题：若非 q，则非 p(条件和结论“换质”
2、后又“换位”)(2)四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题3充分条件与必要条件(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；若 p q，则 p 不是 q 的充分条件， q 也不是 p 的必要条件因此，给定 p， q，则 p 是 q 的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件(2)判断方法：定义法：分别寻找“ pq”“qp”“p q”“q p”中哪两个成立命题法：分别判断命题“若 q，则 p”与“若 p，则 q”的真假集合法： p， q 能用集合 A， B 表示时
3、，判断集合关系“ A B”“B A”“A B”是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件4逻辑联结词命题 p， q 的运算“或” “且” “非”与集合 P，Q 的运算“并” “交” “补”有如下的对应关系： p 或 qPQ； p 且 qPQ，非 pUP.5全称量词和存在量词(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断2命题及其关系例 1 给出下列命题已知 a(3,4)， b(0，1)，
4、则 a 在 b 方向上的投影为4.函数 ytan 的图象关于点 成中心对称(x 3) ( 6， 0)命题“如果 ab0，则 a b”的否命题和逆命题都是真命题若 a0，则 ab ac 是 b c 成立的必要不充分条件其中正确命题的序号是_(将所有正确的命题序号都填上)解析 | a|5，| b|1， ab4，cos ab .45 a 在 b 方向上的投影为| a|cos a， b4，正确当 x 时，tan 无意义， 6 (x 3)由正切函数 ytan x 的图象的性质知，正确原命题的逆命题为“若 a b，则 ab0”为真，其否命题也为真正确当 a0， b c 时， ab ac 成立(当 a0，
5、ab ac 时不一定有 b c.)正确答案 判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断1下列命题中为真命题的是( )A命题“若 ab，则 3a3b”的逆命题B命题“若 x21，则 x1”的否命题C命题“若 x1，则 x2 x0”的否命题D命题“若 ab，则 3b，则 ab”，是真命题；对于 B，否命题是“若3x21，则 x1”，是假命题，因为 x21x1 或 x1，则 x10”的否命题是“若 x1，则 x10”命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”命题“ x4 是方程 x23 x
6、40 的根”的否命题是“ x4 不是方程x23 x40 的根”A1 B2C3 D4解析：错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数” ；正确；错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数” ；错误，否命题是“若一个数不是4，则它不是方程 x23 x40 的根” 答案：C充分条件、必要条件与充要条件例 2 (1)(2017浙江高考)已知等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“ S4 S62S5”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2017天津高考)设 R，则“ 0S4 S62S5.(2)法一：由
7、. 6 | 6 12| 4 12故“ b0”是“ abb0 时， ab0，命题 p：1 A，命题 q：2 A.若 p q 为真命题，p q 为假命题，求 a 的取值范围解：若 p 为真命题，则2 a1.若 q 为真命题，则2 a2.依题意，得 p 假 q 真或 p 真 q 假，即Error! 或Error!1nB nN ， f(n)N 或 f(n)nC nN ， f(n)N 且 f(n)nD nN ， f(n)N 或 f(n)n解析：写全称命题的否定时，要把量词改为，并且否定结论，注意把“且”改为“或” 答案：D7已知命题 p：“ x1,2 ， x2 a0” ，命题 q：“ xR， x22 a
8、x2 a0” ，若命题“ p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：命题 p：“ x1,2 ， x2 a0”为真，则 a x2， x1,2恒成立，所以 a1.命题 q：“ xR ， x22 ax2 a0”为真，则“4 a24(2 a)0，即 a2 a20” ，解得 a2 或 a1.若命题“ p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是(，21答案：(，217(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若 x21 或 x1D若 x1 或 x1，则 x21解析：“
9、若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”， “b，则 b，若 a2， b3，则不成立故 A 错；的逆命题1a1b为若( x2)( x3)0，则2 x0 是假命题，故 B 错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故 C 错；为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确答案：D4已知 f(x)e x x1，命题 p： x(0，)， f(x)0，则( )A p 是真命题，綈 p： x(0，)， f(x)0 时， f(x)f(0)0，所以 p 为真命题，綈 p： x(0，)， f(x)0，故选 B.答案：B5已知命题 p：若实数 x， y 满足 x3 y30，则 x， y 互为相反数；命题 q：若a
10、b0，则 y，则 x3y31”的否命题为_解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若 x y，则x3 y31” 答案：若 x y，则 x3 y3114若“ xR， x22 x m0”是真命题，则实数 m 的取值范围是 _解析： xR， x22 x m0 是真命题， (2) 24 m0，设命题 p： y cx为减函数，命题 q：函数 f(x) x 在 x ，2 上恒成立若 p q 为真命题， p q 为假命题，求 c 的取值范围1x1c 12解：由 p q 真， p q 假，知 p 与 q 为一真一假，对 p， q 进行分类讨论即可若 p 真，由 y cx为减函数，得 0 .1c
11、 12若 p 真 q 假，则 0 ，所以 c1.12综上可得， c0， 1，)1220(本小题满分 12 分)已知 kR 且 k1，直线 l1： y x1 和 l2： y x k.k2 1k 1(1)求直线 l1 l2的充要条件；(2)当 x1,2时，直线 l1恒在 x 轴上方，求 k 的取值范围解：(1)由题意得Error!解得 k2.当 k2 时， l1： y x1， l2： y x2，此时 l1 l2.12直线 l1 l2的充要条件为 k2.(2)设 f(x) x1.由题意，得Error!k2即Error! 解得10，解得 a .12 52 p 真对应集合 A a|0 或 a0；52q 真 q 真时，0(x2 x)max，得 m2，即 B m|m2(2)不等式( x3 a)(x a2)2 a，即 a1 时，解集 A x|2 ax3a，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则 A B，2 a2，此时 a(1，)；当 3a2 a，即 a1 时，解集 A，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则13A B 成立；当 3a2 a，即 a1 时，解集 A x|3ax2 a，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则 A B 成立，3 a2，此时 a（ ，1）.23综上可得 a（ ，）.23
