1、144 生活中的优化问题举例读教材填要点1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2解决优化问题的基本思路小问题大思维将 8 分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？提示：设一个数为 x，则另一个数为 8 x，则其立方和y x3(8 x)38 3192 x24 x2，且 0 x8，y48 x192.令 y0，即 48x1920，得 x4.当 0 x0，当 x4 时， y 最小即分成的这两个数应为 4,4.用料最省、费用最低问题如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 m，如
2、果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).2(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式，并指出其定义域(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价自主解答 (1)设长为 x m，则宽为 m200x据题意Error!解得 x16，252y 400 24816 000(2x 2200x) 400x800 x 16 000 .259 200x (252 x 16)(2)令 y800 0，解得 x18.259 200x2当 x(0,18)时，函数 y
3、为减函数；当 x(18，)时，函数 y 为增函数又 x16.252当 x16 时， ymin45 000.当且仅当长为 16 m、宽为 12.5 m 时，总造价 y 最低为 45 000 元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据 f( x)0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值1.已知 A， B 两地相距 200 千米，一只船从 A 地逆水航行到 B 地，水速为 8 千米/时，船在静水中的航行速度为 v 千米/时(8 v v0)若船每小时航行所需的燃料
4、费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当 v12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为 720 元为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？解：设船每小时航行所需的燃料费为 y1元，比例系数为 k(k0)，则 y1 kv2.当 v12 时， y1720，720 k122，得 k5.设全程燃料费为 y 元，由题意，得 y y1 ，200v 8 1 000v2v 8 y .2 000v v 8 1 000v2 v 8 2 1 000v2 16 000v v 8 23令 y0，解得 v0(舍去)或 v16.当 v016 时， v(8,16)， y0，即 y 为减函数；v(16， v0， y
5、0，即 y 为增函数，故 v16(千米/时)时， y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；当 v016 时， v(8， v0， y0，即 y 在(8， v0上为减函数，故当 v v0时， ymin ，此时全程燃料费最省1 000v20v0 8综上可得，若 v016，则当 v16(千米/时)时，全程燃料费最省，为 32 000 元；若v016，则当 v v0时，全程燃料费最省，为 元.1 000v20v0 8利润最大、效率最高问题某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为： p24 200 x2，且生产 x 吨的成本为： R50 000
6、200 x(元)问该厂15每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？自主解答 依题意，每月生产 x 吨时的利润为：f(x) x(50 000200 x)(24 20015x2) x324 000 x50 000( x0)15由 f( x) x224 000，35令 f( x)0，解得 x1200， x2200(舍去)因为 f(x)在0，)内有意义，则有且只有当 x200 时 f( x)0，且它就是最大值点，最大值为 f(200) 200324 00020050 0003 150 000.15故每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.实际生活中利润最大，效率
7、最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据 f( x)0 求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值2.某产品按质量分为 10 个档次，生产第 1 档次(即最低档次)的利润是每件 8 元，每提高一个档次，利润每件增加 2 元，但在一天内产量减少 3 件在一天内，最低档次的产品可生4产 60 件问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大？最大利润是多少？解：设在一天内，生产第 x(1 x10， xN )档次的产品的总利润为 y.依题意，得 y82( x1)603( x1)6 x2108 x378(1 x10
8、， xN )，y12 x108，令 y12 x1080，解得 x9.因为 x9 符合题意，且 y 只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第 9 档次的产品的总利润最大，最大利润为 864 元.面积、容积的最值问题请你设计一个包装盒如图所示， ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A， B， C， D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E， F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 AE FB x(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x
9、应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值自主解答 设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)由已知得 a x， h (30 x)，0 x30.260 2x2 2(1)S4 ah8 x(30 x)8( x15) 21 800，所以当 x15 时， S 取得最大值(2)V a2h2 ( x330 x2)， V6 x(20 x)2 2由 V0 得 x0(舍)或 x20.当 x(0,20)时， V0；当 x(20,30)时， V0.所以当 x20 时， V 取得极大值，也是最大值此时 .即包装盒的高与底面边长的比值为 .
10、ha 12 125一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数 f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f( x)0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较3.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为 2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为 2 m怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积解：设休闲广场的长为 x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为 S(x) m2.2 400x则 S
11、(x)( x6) 2 424(2 400x 4) (4x 62 400x )2 4244 ， x(6,600)(x3 600x ) S( x)4 ，(13 600x2 ) 4 x 60 x 60x2令 S( x)0，得 60， y0， y2 (00， f(x)为增函数；12当 0；当 3004 时， l0.故当 x4 时， l 有极小值，也是最小值，且最小值为 816.因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816 元答案：D4用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出 0.5 m，则当高为_m 时，容器的容积最大解
12、析：设高为 x 米，则 V x(x0.5) (14.84 0.5 2x)2 x32.2 x21.6 x， x(0,1.6)，V6 x24.4 x1.6，令 V0，解得 x1 或 x (舍去)415当 00，当 10)，则 l 20，解得 y16(另512y 512y2一负根舍去)，当 016 时， l0，所以当 y16 时，函数取得极小值，也就是最小值，此时 x 32.51216答案：A4某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q 与零售价 p 有如下关系：Q8 300170 p p2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)( )
13、A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元解析：设毛利润为 L(p)，由题意知L(p) pQ20QQ( p20)(8 300170 p p2)(p20) p3150 p211 700 p166 000，10所以 L( p)3 p2300 p11 700.令 L( p)0，解得 p30 或 p130(舍去)此时， L(30)23 000.因为在 p30 附近的左侧 L( p)0，右侧 L( p)0.250 000x 500x设总利润为 y 万元，则 y x1 200 x3500 x31 200.500x 275 x 275求导数得， y x2.250x 225令 y0，得 x2
14、5.故当 x0；当 x25 时， y0，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 70.80015 5当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元10某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 10013元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002 rh200 rh 元，底面的总成本为160 r2元，所以蓄水池的总成本为(200 rh160 r2)元根据题意得 200 rh160 r212 000，所以 h (3004 r2)，15r从而 V(r) r2h (300r4 r3) 5由 h0，且 r0 可得 00，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 )时， V( r)0，故 V(r)在(5,5 )上为减函数3 3由此可知， V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8，即当 r5， h8 时，该蓄水池的体积最大
