1、1第 4 章 导数及其应用1导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度2函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若 f( x)0(或 f( x)0 或 f( x)0 或 f( x)0 或 f( x) ，其中 x1.2 x 1x 1证明：设 f(x)ln x (x1)，2 x 1x 1则 f( x) .1x 4 x 1 2 x1， f( x)0， f(x)在(1，)内为单调增函数又 f(1)0，当 x1 时， f(x)f(1)0，即 ln x 0，ln x .2 x 1x 1 2 x 1x 14已知函数 f(x) x2 aln x.(1)当 a2
2、时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 g(x) f(x) 在1，)上是单调增函数，求实数 a 的取值范围2x解：(1)易知函数 f(x)的定义域为(0，)，当 a2 时， f(x) x22ln x，f( x)2 x .2x 2 x 1 x 1x令 f( x)0，得 x1；令 f( x)0；当 x(1,2)时， f( x)0.当 x1 时， f(x)取极大值 f(1)58 c.7又 f(3)98 cf(1)， f(0)8 c f(1)， x0,3时， f(x)的最大值为 f(3)98 c.对任意的 x0,3，都有 f(x)9. c 的取值范围为(，1)(9，).导数与不等式例 4 已知函数
3、f(x) x2ex1 x3 x2.13(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 g(x) x3 x2，试比较 f(x)与 g(x)的大小23解 (1) f( x) x(x2)(e x1 1)，由 f( x)0，得 x12， x20， x31.当21 时， f( x)0；当 xh(1)0.当 x1 时， h( x)0，即函数 h(x)在(1，)上单调递增，因此当 x1 时， h(x)h(1)0.当 x1 时， h(1)0.所以对任意实数 x 都有 h(x)0，即 f(x) g(x)0，故对任意实数 x，恒有 f(x) g(x)利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用
4、求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解87已知 f(x)ln x x a1.(1)若存在 x(0，)使得 f(x)0 成立，求 a 的取值范围；(2)求证：当 x1 时，在(1)的条件下， x2 ax a xln x 成立12 12解：(1)原题即为存在 x0 使得 ln x x a10， aln x x1，令 g(x)ln x x1，则 g( x) 1 .1x x 1x令 g( x)0，解得 x1.当 0 x1 时， g( x)0， g(
5、x)为减函数，当 x1 时， g( x)0， g(x)为增函数， g(x)min g(1)0， a g(1)0.故 a 的取值范围是0，)(2)证明：原不等式可化为x2 ax xln x a 0( x1， a0)12 12令 G(x) x2 ax xln x a ，则 G(1)0.12 12由(1)可知 xln x10，则 G( x) x aln x1 xln x10， G(x)在(1，)上单调递增， G(x)G(1)0 成立， x2 ax xln x a 0 成立，12 12即 x2 ax axln x 成立12 12导数的实际应用例 5 如图，四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正
6、方形地域，地域内有一条河流 MD，其经过的路线是以 AB 中点 M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN，问如何施9工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积解 以 M 为原点， AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 D(4,2)设抛物线方程为 y22 px.点 D 在抛物线上，2 28 p.解得 p .12抛物线方程为： y2 x(0 x4)设 P(y2， y)(0 y2)是曲线 MD 上任一点，则| PQ|2 y，| PN|4 y2.矩形游乐园面积为S| PQ|PN|(2 y)(4 y2)8 y32 y24 y.求导得： S3 y2
7、4 y4，令 S0，得 3y24 y40，解得 y 或 y2(舍)23当 y 时， S0，函数为增函数；(0，23)当 y 时， S1 7501 0000，当 x50，即年产量为 50 000 吨时，利润最大，最大利润为 (1 000ln 50250)万元.定积分的应用例 6 求正弦曲线 ysin x 与余弦曲线 ycos x 在 x 到 x 之间围成的34 54图形的面积解 如图，画出 ysin x 与 ycos x 在 上的图象，34， 54它们共产生三个交点，分别为 ， ， .(34， 22)( 4， 22) (54， 22)在 上，cos xsin x，在 上，sin xcos x.(
8、34， 4) ( 4， 54)11面积 S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx2 (sin xcos x)dx.取 F(x)(sin xcos x)， S2 4 .F(54) F( 4) 2不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标9曲线 C： y2 x33 x22 x1，点 P ，求过点 P 的切线 l 与 C 围成的图形的面(12， 0)积解：设切点 A(x0， y0)，则 y6 x 6 x02，切线 l：20y2 x 3 x 2 x0130 20(6 x 6 x02)( x x0)过 P ，20 (12
9、， 0)2 x 3 x 2 x016 x 6 x02 .30 20 20 12 x0即 x0(4x 6 x03)0.20 x00， y01， A(0,1)切线 l 的方程为 y12( x0)2 x y10.Error! Error! B .(32， 2) S (3x2 2x3)dx .0 2732(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数 ysin 2 xcos 2 x 的导数是( )12A y2 cos2 (2x 4)B ycos 2 xsin 2 xC ysin 2 xc
10、os 2 xD y2 cos2 (2x 4)解析： y(sin 2 xcos 2 x)(sin 2 x)(cos 2 x)cos 2 x(2x)sin 2 x(2x)2cos 2 x2sin 2 x2 2(22cos 2x 22sin 2x)2 cos ，故选 A.2 (2x 4)答案：A2已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )Ae BeC. D1e 1e解析： yln x 的定义域为(0，)，设切点为( x0， y0)，则 k f( x0) ，1x0切线方程为 y y0 (x x0)，1x0又切线过点(0,0)，代入切线方程得 y01，则 x0e， k f( x0) .1
11、x0 1e答案：C3函数 f(x) x22ln x 的单调递减区间是( )A(0,1 B1，)C(，1，(0,1) D1,0)，(0,1解析： f( x)2 x ，2x 2 x2 1x当 0 x1 时， f( x)0，函数 f(x)单调递减答案：A4已知函数 f(x) xln x，若 f(x)在 x0处的函数值与导数值之和等于 1，则 x0的值等于( )A1 B113C1 D不存在解析：因为 f(x) xln x，所以 f( x)ln x1，于是有 x0ln x0ln x011，解得 x01 或 x01(舍去)答案：A5.已知函数 f(x)的导函数 f( x) a(x b)2 c 的图象如图所
12、示，则函数 f(x)的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当 x0，函数 f(x)递增因此，当 x0 时， f(x)取得极小值，故选 D.答案：D6函数 f(x)2 ， x(0,5的最小值为( )x1xA2 B3C. D2 174 2 12解析：由 f( x) 0 得 x1，1x 1x2 x 1x2且 x(0,1)时 f( x)0， x(1,5时 f( x)0， x1 时 f(x)最小，最小值为 f(1)3.答案：B7由直线 x ， x ， y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为( ) 3 3A. B.112C. D.32 3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分 cos
13、xdx，取 F(x)sin x，则 F( x)cos x. cos xdx F F .( 3) ( 3) 3答案：D8设函数 f(x)e x(sin x cos x)(0 x2 019)，则函数 f(x)的各极小值之和为( )14A Be2 1 e2 019 1 e2 e2 1 e2 019 1 eC D1 e2 0201 e2 e2 1 e2 018 1 e2解析： f( x)2e xsin x，当 x(2 k，2 k2)( kZ)时， f( x)0， f(x)单调递减，当 x(2 k2，2 k3)( kZ)时， f( x)0， f(x)单调递增，故当 x2 k2( kZ)时， f(x)取极
14、小值，其极小值为 f(2k2)e 2k2 (kZ)，又 0 x2 019， f(x)的各极小值之和 Se 2 e 4 e 2 018 .e2 1 e2 018 1 e2答案：D9设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 y xf( x)的图象可能是( )解析： f(x)在 x2 处取得极小值，在 x2 附近的左侧 f( x)0，当x2 时， xf( x)0；在 x2 附近的右侧 f( x)0，当2 x0 时， xf( x)0.答案：C10函数 f(x) t(t4)d t 在1,5上( )x0A有最大值 0，无最小值B有最大值 0，最
15、小值323C有最小值 ，无最大值323D既无最大值，也无最小值解析：函数 f(x) x32 x2，所以 f( x) x24 x，所以 f(x)在1,0上单调递增，13在0,4上单调递减，在4,5上单调递增，进而可得 f(x)在1,5上既有最大值又有最15小值答案：B11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3) f(5)1， f( x)为f(x)的导函数，且导函数 y f( x)的图象如图所示则不等式f(x)0 时， f( x)0， f(x)是增函数；当 x0)与曲线 C2： ye x存在公共切线，则 a 的取值范围为( )A. B.e28， ) (0， e28C. D.e24， )
16、(0， e24解析：根据题意，函数 y ax2与函数 ye x的图象在(0，)上有公共点，令 ax2e x，得 a .exx2设 f(x) ，则 f( x) ，exx2 x2ex 2xexx4由 f( x)0，得 x2，当 02 时， f( x)0，函数 f(x) 在区间(2，)上是增函数，exx2所以当 x2 时， 函数 f(x) 在(0，)上有最小值 f(2) ，所以 a .exx2 e24 e24答案：C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填在题中横线上)13若函数 f(x) 在区间( m,2m1)上单调递增，则实数 m 的取值范围是4xx2 1_解析：
17、f( x) ，令 f( x)0，得1 x1，4 4x2 x2 1 2即函数 f(x)的增区间为(1,1)又 f(x)在( m,2m1)上单调递增，16所以Error! 解得1 m0.答案：(1,014曲线 ylog 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于_解析： y ， k ，1xln 2 1ln 2切线方程为 y (x1)，1ln 2三角形面积为 S 1 log2e.12 1ln 2 12ln 2 12答案： log2e1215点 P 是曲线 y x2ln x 上任意一点，则 P 到直线 y x2 的距离的最小值是_解析：设曲线上一点的横坐标为 x0(x00)，则经过该点的
18、切线的斜率为 k2 x0 ，1x0根据题意得，2 x0 1， x01 或 x0 ，1x0 12又 x00， x01，此时 y01，切点的坐标为(1,1)，最小距离为 .|1 1 2|2 2答案： 216当 x1,2时， x3 x2 x m 恒成立，则实数 m 的取值范围是_解析：记 f(x) x3 x2 x， f( x)3 x22 x1，令 f( x)0，得 x 或 x1.13又 f ， f(2)2， f(1) f(1)1，(13) 527当 x1,2时， f(x)max2， m2.答案：(2，)三、解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(
19、本小题满分 10 分)已知函数 f(x) ax3 x2 bx(其中常数 a， bR)， g(x) f(x) f( x)是奇函数(1)求 f(x)的表达式；(2)求 g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1)因为 f( x)3 ax22 x b，所以 g(x) f(x) f( x) ax3(3 a1) x2( b2) x b.17因为 g(x)是奇函数，所以 g( x) g(x)，从而 3a10， b0，解得 a ， b0，13因此 f(x)的表达式为 f(x) x3 x2.13(2)由(1)知 g(x) x32 x，所以 g( x) x22，13令 g( x)0.解得 x (舍去)或 x
20、 ，2 2而 g(1) ， g( ) ， g(2) ，53 2 423 43因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g( ) ，最小值为 g(2) .2423 4318(本小题满分 12 分)已知 f(x) ax2 bx c(a0)，且 f(1)2， f(0)0， f(x)dx 2，求 a， b， c 的值10解：由 f(1)2，得 a b c2，又 f( x)2 ax b， f(0) b0.而 f(x)dx (ax2 bx c)dx.1010取 F(x) ax3 bx2 cx，13 12则 F( x) f(x) f(x)dx F(1) F(0) a b c.10 13 12 a b c2，1
21、3 12由式得 a6， b0， c4.19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x3 x2 bx c.12(1)若 f(x)有极值，求 b 的取值范围；(2)若 f(x)在 x1 处取得极值，当 x1,2时，则 f(x)0 得 112 b0，即 b2 或 c0， g(x)单调递增又 x23,3，19 g(x2)min g(2)48.又 f(x1) g(x2)，147 c48，即 c195. f(x1)max g(x2)min成立时， c 的取值范围为195，)21(本小题满分 12 分)某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元(6 x11)，年销量为 u 万件，若已知 u 与 2成
22、正比，且售价为 10 元时，年销量为 28 万件5858 (x 214)(1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解：(1)设 u k 2，5858 (x 214)售价为 10 元时，年销量为 28 万件， 28 k 2，解得 k2.5858 (10 214) u2 2 2 x221 x18.(x214) 5858 y(2 x221 x18)( x6)2 x333 x2108 x108(6 x11)(2)y6 x266 x1086( x211 x18)6( x2)( x9)令 y0，得 x2(舍去)或 x9，显然，当 x(6,9)时
23、， y0，当 x(9,11)时， y0.函数 y2 x333 x2108 x108 在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的当 x9 时， y 取最大值，且 ymax135，售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为 135 万元22(本小题满分 12 分)若函数 f(x) ax3 bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值 .43(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围解：(1) f( x)3 ax2 b，由题意，得Error! 即Error!解得Error! f(x) x34 x4.13(2)由(1)可得 f( x) x24( x2)( x2)，令 f( x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表：20x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 283 43因此，当 x2 时， f(x)有极大值 ，当 x2 时，283f(x)有极小值 ，43所以函数 f(x) x34 x4 的图象大致如图所示13若 f(x) k 有 3 个不同的根，则直线 y k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点， k .43 283实数 k 的取值范围为 .(43， 283)
