1、1第 5 章 推理与证明1两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：通过观察个别对象发现某些相同性质；由相同性质猜想一般性命题(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：找出两类对象之间的相似性或一致性；由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题2演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论3直接证明综合法和分析法(1)综合法是“由因导果” ，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论(2)分析法是
2、“执果索因” ，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)注意：分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件在证明过程中， “只要证” “即证”等词语不能省略4间接证明反证法反证法证题的步骤为：反设归谬结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用归 纳 推 理例 1 给出下面的数表序列：2表 11 表 21 34表 3 1 3 54 812其中表 n(n1,2,3，)有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2 n1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表 4，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到
3、下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n3)(不要求证明)解 表 4 为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列将这一结论推广到表 n(n3)，即表 n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律例 2 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有 1 个
4、蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数则 f(4)_， f(n)_.解析 因为 f(1)1， f(2)716，f(3)191612，所以 f(4)16121837，所以 f(n)1612186( n1)3 n23 n1.答案 37 3 n23 n1解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识本题注意从图形中抽象出等差数列1图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图 2，图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .3解析：分别观
5、察正方体的个数为：1,15,159，归纳可知，第 n 个叠放图形中共有 n 层，构成了以 1 为首项，以 4 为公差的等差数列，所以 Sn n n(n1)422 n2 n，所以 S727 2791.答案：912.如图，给出了 3 层的六边形，图中所有点的个数 S3为 28，按其规律再画下去，可得 n(nN )层六边形，试写出 Sn的表达式解：设每层除去最上面的一个点的点数为 an，则 an是以 5 为首项，4 为公差的等差数列，则 Sn a1 a2 an1 12 n23 n1( nN ).n5 5 4 n 1 2类 比 推 理例 3 在 ABC 中， AB AC， AD BC 于 D.求证：
6、，那么在四面体 ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，1AD2 1AB2 1AC2并说明理由证明 如右图所示，由射影定理，AD2 BDDC， AB2 BDBC， AC2 BCDC， .1AD2 1BDDC BC2BDBCDCBC BC2AB2AC2 BC2 AB2 AC2， .1AD2 AB2 AC2AB2AC2 1AB2 1AC2 .1AD2 1AB2 1AC2猜想：类比 AB AC， AD BC，猜想四面体 ABCD 中，AB， AC， AD 两两垂直， AE平面 BCD，则 .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2证明上述猜想成立如右图所示，连接 BE 交 CD 于 F，连接
7、AF.4 AB AC， AB AD， AB平面 ACD.而 AF平面 ACD， AB AF.在 Rt ABF 中， AE BF， .1AE2 1AB2 1AF2在 Rt ACD 中， AF CD， .1AF2 1AC2 1AD2 .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2故猜想正确(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等3若数列 an为等差数列， Sn为其前 n 项和，则有性质“若 Sm Sn(m， nN *且 m n)，则 Sm n0.”类比上述性质，相应地，当数列 bn为等比数列时，写出一个正确的性质：
8、_.答案：数列 bn为等比数列， Tm表示其前 m 项的积，若 Tm Tn，( m， nN *， m n)，则 Tm n14在 Rt ABC 中， C90， AC b， BC a，则 ABC 的外接圆半径为 r 12，把上述结论类比到空间，写出相似的结论a2 b2解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体 ABCD 且 AB a， AC b， AD c，则此四面体的外接球的半径为 R .12 a2 b2 c2综合法和分析法例 4 设 a0， b0， a b1，求证： 8.1a 1b 1ab证明 法一：(综合法) a0， b0， a b1，51 a b2 ， ， ab ， 4.ab ab12 14 1
9、ab又 ( a b) 2 4，1a 1b (1a 1b) ba ab 8 .1a 1b 1ab (当 且 仅 当 a b 12时 等 号 成 立 )法二：(分析法) a0， b0， a b1，要证 8，1a 1b 1ab只要证 8，(1a 1b) a bab只要证 8，(1a 1b) (1b 1a)即证 4.1a 1b也就是证 4.a ba a bb即证 2.ba ab由基本不等式可知，当 a0， b0 时， 2 成立，ba ab (当 且 仅 当 a b 12时 等 号 成 立 )所以原不等式成立综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找
10、解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径5已知函数 f(x)log a(ax1)( a0， a1)(1)证明：函数 f(x)的图象在 y 轴一侧；(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x10，得 ax1.当 a1 时， x0，函数图象在 y 轴右侧；当 00 即可6因为 y2 y1log a(a x21)log a(a x11)log a .a x2 1 x1 1当 a1 时，由 01，log a 0，a x2 1a x1 1 a x2 1 x1 1即 y2 y10.当
11、0a x1a x21.即 a x11 a x210.故有 00，即 y2 y10.a x2 1 x1 1综上，直线 AB 的斜率总大于零反 证 法例 5 已知 a， b， c 均为实数，且a x22 y ， b y22 z ， c z22 x ，求证： a， b， c 中至少有一个大于 0. 2 3 6证明 假设 a， b， c 都不大于 0，即 a0， b0， c0，得 a b c0，而 a b c( x1) 2( y1) 2( z1) 2330，与 a b c0 矛盾，故假设不成立 a， b， c 中至少有一个大于 0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立(2)反证法证题的思路是：“假设归谬存真” 6用反证法证明命题“设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )7A方程 x3 ax b0 没有实根B方程 x3 ax b0 至多有一个实根C方程 x3 ax b0 至多有两个实根D方程 x3 ax b0 恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程 x3 ax b0 没有实根” 答案：A
