1、1第 5 章 数系的扩充与复数1虚数单位 i(1)i21(即1 的平方根是i)(2)实数可以与 i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i 的幂具有周期性：i 4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i( nN )，则有ini n1 i n2 i n3 0( nN )2复数的分类复数 a bi(a， bR)Error!3共轭复数设复数 z 的共轭复数为 ，则z(1)z | z|2| |2；z z(2)z 为实数 z ； z 为纯虚数 z .z z4复数相等的条件复数相等的充要条件为 a bi c dia c， b d(a， b， c， dR)特别地，a bi0
2、a b0( a， bR)5复数的运算(1)加法和减法运算：( a bi)(c di)( ac)( bd)i(a， b， c， dR)(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化复数的概念例 1 复数 zlog 3(x23 x3)ilog 2(x3)，当 x 为何实数时，(1)zR？(2) z 为虚数？(3) z 为纯虚数？解 (1)一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，Error!由得 x4，经验证满足式当 x4 时， zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0，2Er
3、ror!解得Error!即 4.3 212当 4 时， z 为虚数3 212(3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为 0，Error!解得Error! 无解复数 z 不可能是纯虚数解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域1若复数 z (2i)为纯虚数，求实数 a.a 2i1 i解： z (2i) (2i)a 2i1 i a 2i 1 i2 (2i) a 2 2 a i2 i 为纯虚数，a 62 a2 0，即 a6.a 622已知 z (x0)，且复数 z(zi)的实部减去它的虚部所得的差等于 ，x i1 i 32求 .解：
4、 z(zi)x i1 i(x i1 i i) i.x i1 i x 11 i x 12 x2 x2根据题意 ，得 x213.x 12 x2 x2 32 x0， x2， 3i.32 . (32 3i)(32 3i) 4543复数的四则运算例 2 计算：(1) ； 2 2i 4 1 3i 5(2)(2i)(15i)(34i)2i.解 (1)原式 16 1 i 4 1 3i 4 1 3i 16 2i 2 2 23i 2 1 3i 1 i. 644 1 3i 2 1 3i 16 1 3i 4 41 3i 3(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减
5、乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意 i21.3计算 .1 i 1 i 2 1 i 1 i 2解： 1.1 i 1 i 2 1 i 1 i 2 1 i2i 1 i2i 2i2i4若复数 z12i(i 为虚数单位)，求 z z.z解： z12i， 12i.z z z(12i)(12i)(12i)512i62i.z复数问题实数化例 3 设存在复数 z 同时满足下列条件：(1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z 2i z8 ai(aR)试求 a 的取值范围z解 设 z x yi(x， yR)，则 x yi.z由(1)，知 x0，
6、y0.又 z 2i z8 ai(aR)，z故( x yi)(x yi)2i( x yi)8 ai，即( x2 y22 y)2 xi8 ai.Error!4消去 x，整理，得 4(y1) 236 a2， y0，4( y1) 20.36 a20.6 a6.又 2x a，而 x0， a0.6 a0. a 的取值范围为6,0)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z x yi(x， yR)，依据是复数相等的充要条件5已知复数 z(1i) 213i.(1)求| z|；(2)若 z2 az b ，求实数 a， b 的值z解： z(1i) 213i2i13i1i.(1)|z| .
7、12 12 2(2)z2 az b(1i) 2 a(1i) b2i a ai b a b( a2)i， 1i，z a b( a2)i1i，Error! a3， b4.复数的几何意义例 4 已知 z 是复数， z2i， 均为实数(i 为虚数单位)，且复数( z ai)2在复z2 i平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解 设 z x yi(x， yR)，则 z2i x( y2)i， (x yi)(2i)z2 i x yi2 i 15 (2x y) (2y x)i.15 15由题意知Error!Error! z42i.( z ai)24( a2)i 25(124 a a2)8( a2)i
8、，由已知得Error!2 a6.实数 a 的取值范围是(2,6)复数 z a bi(a， bR)和复平面上的点 P(a， b)一一对应，和向量 一一对应，正OP 确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键6已知等腰梯形 OABC 的顶点 A， B 在复平面上对应的复数分别为12i，26i， OA BC.求顶点 C 所对应的复数 z.解：设 z x yi， x， yR，如图，因为 OA BC，| OC| BA|，所以 kOA kBC，| zC| zB zA|，即Error!解得Error! 或Error!因为| OA| BC|，所以 x3， y4(舍去)，故 z5.(时间 120 分钟，满分 1
9、50 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1把复数 z 的共轭复数记作 ，i 为虚数单位若 z1i，则(1 z) ( )z z A3i B3iC13i D3解析：(1 z) (2i)(1i)3i.z 答案：A2(全国卷)设复数 z 满足(1i) z2i，则| z|( )A. B.12 226C. D22解析：因为 z i(1i)1i，所以| z| .2i1 i 2i 1 i 1 i 1 i 2答案：C3复数 z13i， z21i，则 z z1z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第
10、四象限解析： z z1z2(3i)(1i)33iii 242i.在复平面内对应的点为(4，2)，位于第四象限答案：D4已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z 等于( )z 21 iA2i BiCi D2i解析：设 z bi(b0)，则 .z 21 i 2 bi1 i 2 bi 1 i2 2 b 2 b i2 是实数，2 b0.z 21 i b2， z2i.答案：D5设 z1i(i 是虚数单位)，则 z2( )2zA1i B1iC1i D1i解析： z2 (1i) 21i2i1i.2z 21 i答案：D6已知复数 z12 ai(aR)， z212i，若 为纯虚数，则| z1|( )z1z2A.
11、B.2 3C2 D. 5解析：由于 z1z2 2 ai1 2i 2 ai 1 2i 1 2i 1 2i 为纯虚数，则 a1，2 2a 4 a i5则| z1| ，故选 D.57答案：D7若 z1(2 x1) yi 与 z23 xi( x， yR)互为共轭复数，则 z1对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由 z1， z2互为共轭复数，得Error!解得Error! 所以 z1(2 x1) yi3i.由复数的几何意义知 z1对应的点在第三象限答案：C8(全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数 z 满足 R，则 zR；1zp2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：
12、若复数 z1， z2满足 z1z2R，则 z1 2；zp4：若复数 zR，则 R.z其中的真命题为( )A p1， p3 B p1， p4C p2， p3 D p2， p4解析：设复数 z a bi(a， bR)，对于p1， R， b0， zR， p1是真命题；1z 1a bi a bia2 b2对于 p2， z2( a bi)2 a2 b22 abiR， ab0， a0 或 b0， p2不是真命题；对于 p3，设 z1 x yi(x， yR)， z2 c di(c， dR)，则 z1z2( x yi)(c di) cx dy( dx cy)iR， dx cy0，取 z112i， z212i，
13、 z1 2，z p3不是真命题；对于 p4， z a biR， b0， a bi aR，z p4是真命题答案：B9若复数 z1i(i 为虚数单位)， 是 z 的共轭复数，则 z2 2的虚部为( )z z A0 B1C1 D2解析：因为 z1i，所以 1i，z 8所以 z2 2(1i) 2(1i) 22i2i0.z 故 z2 2的虚部为 0.z 答案：A10定义运算 ad bc，则符合条件 42i 的复数 z 为( )|a bc d| |1 1z zi|A3i B13iC3i D13i解析：由定义知 zi z，|1 1z zi|得 zi z42i，即 z 3i.4 2i1 i答案：A11 ABC
14、 的三个顶点所对应的复数分别为 z1， z2， z3，复数 z 满足|z z1| z z2| | z z3|，则 z 对应的点是 ABC 的( )A外心 B内心C重心 D垂心解析：设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应，由 ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z1， z2， z3及| z z1| z z2| z z3|可知点 Z 到 ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点 Z 即为 ABC 的外心答案：A12若 1 i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c0 的一个复数根，则( )2A b2， c3 B b2， c3C b2， c1 D b2， c1解析：因为 1 i 是
15、实系数方程的一个复数根，所以 1 i 也是方程的根，2 2则 1 i1 i2 b，(1 i)(1 i)3 c，2 2 2 2解得 b2， c3.答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填在题中横线上)13已知复数 z123i， z2 a bi， z314i，它们在复平面上所对应的点分别为A， B， C.若 2 ，则 a_， b_.OC OA OB 解析： 2 OC OA OB 14i2(23i)( a bi)即Error! Error!9答案：3 1014若复数 z 满足方程 ii1，则 z_.z解析： ii1，z (i1)(i)1i.zi 1i z1i.答
16、案：1i15i 是虚数单位， 2 018 6_.(21 i) (1 i1 i)解析：原式 1 009 6 1 009i 6i 1009i 6(21 i)2 (1 i1 i) ( 2 2i)i 42521 i 42 ii 21i.答案：1i16设 z1是复数， z2 z1i 1(其中 1表示 z1的共轭复数)，已知 z2的实部是 1，则z zz2的虚部是_解析：设 z1 a bi(a， bR)，则 1 a bi，z z2 a bii( a bi)( a b)( a b)i.由已知得 a b1. z2的虚部为1.答案：1三、解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过
17、程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知复数 z123i， z2 .求：(1) z1z2；(2) .15 5i 2 i 2 z1z2解： z2 13i.15 5i 2 i 2(1)z1z2(23i)(13i)79i.(2) i.z1z2 2 3i1 3i 1110 31018(本小题满分 12 分)已知 z1( x y)( x2 xy2 y)i， z2(2 x y)( y xy)i，问 x， y 取什么实数值时，(1)z1， z2都是实数；(2)z1， z2互为共轭复数解：(1)由题意得Error!解得Error! 或Error!所以当Error! 或Error! 时， z1， z2都是
18、实数10(2)由题意得Error!解得Error! 或Error!所以当Error! 或Error! 时， z1， z2互为共轭复数19(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足(12i) 43i.z(1)求复数 z；(2)若复数( z ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解：(1)(12i) 43i，z 2i， z2i.z4 3i1 2i 4 3i 1 2i 1 2i 1 2i 10 5i5(2)由(1)知 z2i，则( z ai)2(2i ai)22( a1)i 24( a1)24( a1)i，复数( z ai)2在复平面内对应的点在第一象限，Error! 解得1
19、a1，即实数 a 的取值范围为(1,1)20(本小题满分 12 分)已知复数 z1i(1i) 3.(1)求| z1|；(2)若| z|1，求| z z1|的最大值解：(1) z1i(1i) 3i(1i) 2(1i)22i，| z1| 2 .22 2 2 2(2)如图所示，由| z|1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以| z z1|的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知 |z z1|max| z1| r(r 为圆半径)2 1.221(本小题满分 12 分)设 为复数 z 的共轭复
20、数，满足| z |2 .z z 3(1)若 z 为纯虚数，求 z.(2)若 z 2为实数，求| z|.z解：(1)设 z bi(bR 且 b0)，则 bi，z因为| z |2 ，则|2 bi|2 ，即| b| ，z 3 3 3所以 b ，所以 z i.3 3(2)设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z因为| z |2 ，则|2 bi|2 ，即| b| ，z 3 3 3因为 z 2 a bi( a bi)2 a a2 b2( b2 ab)i.zz 2为实数，z11所以 b2 ab0.因为| b| ，所以 a ，312所以| z| .( 12)2 3 2 13222(本小题满分 12 分
21、)已知 z1是虚数， z2 z1 是实数，且1 z21.1z1(1)求| z1|的值以及 z1的实部的取值范围；(2)若 ，求证： 为纯虚数1 z11 z1解：设 z1 a bi(a， bR，且 b0)(1)z2 z1 a bi i.1z1 1a bi (a aa2 b2) (b ba2 b2)因为 z2是实数， b0，于是有 a2 b21，即| z1|1，所以 z22 a.由1 z21，得12 a1，解得 a ，12 12即 z1的实部的取值范围是 .12， 12(2) i.1 z11 z1 1 a bi1 a bi 1 a2 b2 2bi 1 a 2 b2 ba 1因为 a ， b0，所以 为纯虚数12， 12
