1、1【课时训练】平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1(2018 安徽六校教育研究会二模)在平行四边形 ABCD 中， a， b， 2 ，则 ( )AB AC DE EC BE A b a B b a13 23C b a D b a43 13【答案】C【解析】因为 ， 2 ，BC AC AB DE EC 所以 b a.故选 C.BE BC CE BC 13CD BC 13AB AC AB 13AB AC 43AB 432(2018 浙江杭州模拟)如图，在 OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， x y ，OP OA OB 且 2 ，则( )BP PA A x ， y23 13B x ， y1
2、3 23C x ， y14 34D x ， y34 14【答案】A【解析】由题意知 ，又 2 ，所以 ( )OP OB BP BP PA OP OB 23BA OB 23OA OB ，所以 x ， y .故选 A.23OA 13OB 23 133(2018 唐山一模)若向量 a(1,1)， b(1，1)， c(1,2)，则 c( )A a b B a b12 32 12 322C a b D a b32 12 32 12【答案】B【解析】设 c 1a 2b，则(1,2) 1(1,1) 2(1，1)( 1 2， 1 2)， 1 21， 1 22，解得 1 ， 2 . c a b.故选 B.12
3、32 12 324(2018 河北邢台期末)已知向量 a(1，2)， b( m,4)，且 ab ，则 2a b ( )A(4,0) B(0,4)C(4，8) D(4,8)【答案】C【解析】因为向量 a(1，2)， b( m,4)，且 ab ，所以 142 m0，即 m2.所以 2a b2(1，2)(2,4)(4，8)5(2018 江西鹰潭一中期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)， B(0,1)， C 为坐标平面内第一象限内一点且 AOC ，且| OC|2，若 ，则 ( ) 4 OC OA OB A2 B2 2C2 D4 2【答案】A【解析】因为| OC|2， AOC ，所以
4、C( ， )又 ，所以( ， 4 2 2 OC OA OB 2) (1,0) (0,1)( ， )所以 ， 2 .故选 A.2 2 26(2018 北京东城模拟) “x3”是“向量 a( x1,1)与向量 b(4， x2)共线”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 ab (x1)( x2)40 x2 x60 x3 或 x2，故选 A.7(2018 山东临沂期末)若向量 ， 是一组基底，向量 x y (x， yR)，则称( x， y)为向量 在基底 ， 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p( 1， 1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)
5、，则向量 a 在另一组基底 m( 1,1)， n(1,2)下的坐标为( )A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)【答案】D【解析】 a 在基底 p， q 下的坐标为(2,2)，则 a 2p 2q(2,4)，令a xm yn，则 a( x y， x2 y)(2,4)，Error!解得Error! a 在基底 m， n 下的坐标为(0,2)故选 D.38(2018 大连二模)已知向量 a( m,1)， b(1 n,1)(其中 m， n 为正数)，若 ab ，则 的最小值是( )1m 2nA2 B3 2 2C3 2 D2 32 2【答案】D【解析】 a( m,1)， b(1 n,1)(
6、其中 m， n 为正数)，若 ab ，则 m(1 n)0，即 m n1. 3 32 32 ，当且仅当 时取等1m 2n m nm 2m 2nn nm 2mn nm2mn 2 nm 2mn号故 的最小值是 32 ，故选 D.1m 2n 2二、填空题9(2018 山西太原期末)已知向量 a(1,2)， b( x,1)， u a 2b， v 2a b，且uv ，则实数 x 的值为_【答案】12【解析】因为 a(1,2)， b( x,1)， u a 2b， v 2a b，所以 u(1,2)2( x,1)(2 x1,4)， v2(1,2)( x,1)(2 x,3)又因为 uv ，所以 3(2x1)4(2
7、 x)0，即 10x5，解得 x .1210(2018 河北沧州联考)在 ABC 中，边 AC1， AB2，角 A ，过点 A 作23AP BC 于点 P，且 ，则 _.AP AB AC 【答案】1049【解析】 21cos 1201，又 AP BC， 0，即( AB AC AP BC AB )( )0.( ) | |2 | |20，即AC AC AB AB AC AB AC 4 0. .52 P， B， C 三点共线， 1.将联立，解得Error!则 .27 57 104911(2018 郑州月考)已知向量 a(1sin ，1)， b ，若 ab ，则(12， 1 sin )锐角 _.【答案
8、】45【解析】由 ab ，得(1sin )(1sin ) ，124cos 2 .cos 或 cos .12 22 22又 为锐角， 45.三、解答题12(2018 辽宁沈阳二中期末)已知点 A(2,4)， B(3，1)， C(3，4)设 a， b， c，且 3 c， 2 b.AB BC CA CM CN (1)求 3a b 3c；(2)求满足 a mb nc 的实数 m， n；(3)求 M， N 的坐标及向量 的坐标MN 【解】由已知，得 a( 5， 5)， b( 6， 3)， c( 1,8)(1)3a b 3c 3(5， 5)( 6， 3) 3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2) mb nc(6 m n，3 m8 n)，Error!解得Error!(3)设 O 为坐标原点， 3 c， 3 c (3,24)(3，4)CM OM OC OM OC (0,20) M(0,20)又 2 b，CN ON OC 2 b (12,6)(3，4)(9,2)ON OC N(9,2) (9，18)MN
