1、1【课时训练】平面向量的综合应用一、选择题1(2018 保定模拟)若 O是 ABC所在平面内一点，且满足| | 2 |，则 ABC的形状是( )OB OC OB OC OA A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【答案】B【解析】 2 ， ，所以| OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC AB | | |2| |2 0，所以三角形为直角三角形故选 B.AC AB AC AB AC AB AC AB AC 2(2018 贵阳考试)设 M为边长为 4的正方形 ABCD的边 BC的中点， N为正方形区域内任意一点(含边界)，则 的最大值为
2、 )AM AN A32 B24C20 D16【答案】B【解析】以点 A为坐标原点， AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，则 B(4,0)，C(4,4)， M(4,2)，设 N(x， y)(0 x， y4)，则 4 x2 y442424，当且AM AN 仅当 时取等号，故选 B.AN AC 3(2018 重庆一诊)已知 ABC的外接圆半径为 2， D为该圆上的一点，且 ，则 ABC的面积的最大值为( )AB AC AD A3 B4C3 D43 3【答案】B【解析】由题设 ，可知四边形 ABDC是平行四边形由圆内接四边形的性质AB AC AD 可知 BAC90，且当 AB AC时，四边形 A
3、BDC的面积最大，则 ABC的面积的最大值为Smax ABAC (2 )2 4.故选 B.12 12 24(2018 邵阳大联考)在 ABC中，角 A， B， C对应边分别为 a， b， c，已知三个向量m ， n ， p 共线，则 ABC 形状为( )(a， cosA2) (b， cosB2) (c， cosC2)A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【答案】A2【解析】由题意得 acos bcos ， acos ccos ，由正弦定理得B2 A2 C2 A2sinAcos sin Bcos sin sin B A，同理可得 C A，所以 ABC为等边三角形故B2 A2 B
4、2 A2选 A.5(2018 沈阳模拟)已知点 M(3,0)， N(3,0)动点 P(x， y)满足| | | MN MP MN 0，则点 P的轨迹的曲线类型为( )NP A双曲线 B抛物线C圆 D椭圆【答案】B【解析】 (3,0)(3,0)(6,0)，| |6， ( x， y)(3,0)( x3， y)，MN MN MP ( x， y)(3,0)( x3， y)，所以| | | 6 6( x3)NP MN MP MN NP x 3 2 y20，化简可得 y212 x.故点 P的轨迹为抛物线故选 B.6(2018 西安二模)称 d(a， b)| a b|为两个向量 a， b间的“距离” ，若向
5、量 a， b满足：| b|1； ab ；对任意 tR，恒有 d(a， tb) d(a， b)，则( )A ab B a( a b)C b( a b) D( a b)( a b)【答案】C【解析】由 d(a， tb) d(a， b)，可知| a tb| a b|，所以( a tb)2( a b)2，又|b|1，所以 t22( ab)t2( ab)10.因为上式对任意 tR 恒成立，所以 4( ab)242( ab)10，即( ab1) 20，所以 ab1.于是 b(a b) ab| b|211 20，所以 b( a b)故选 C.二、填空题7(2018 长春模拟)在 ABC中，若 2，则边 AB
6、的长等于_AB AC AB CB 【答案】2【解析】由题意知 4，AB AC AB CB 即 ( )4，即 4，AB AC CB AB AB 所以| |2.AB 8(2019 重庆调研)已知| a|2| b|，| b|0，且关于 x的方程 x2| a|x ab0 有两相等实根，则向量 a与 b的夹角是_【答案】23【解析】由已知可得 | a|24 ab0，即 4|b|242| b|2cos 0，所以 cos 3 ，又因为 0 ，所以 .12 239(2018 四川成都模拟)在平面直角坐标系内，已知 B(3，3 )， C(3，3 )，3 3且 H(x， y)是曲线 x2 y21 上任意一点，则
7、的最大值为_BH CH 【答案】6 193【解析】由题意得 ( x3， y3 )， ( x3， y3 )，所BH 3 CH 3以 ( x3， y3 )(x3， y3 )BH CH 3 3 x22 y296 y276 y196 19，当且仅当 y1 时取最大值3 3 310(2018 广西模拟)已知点 A(1 m,0)， B(1 m,0)，若圆C： x2 y28 x8 y310 上存在一点 P使得 0，则 m的最大值为_PA PB 【答案】6【解析】圆 C：( x4) 2( y4) 21，圆心 C(4,4)，半径 r1，设 P(x0， y0)，则(1 m x0， y0)， (1 m x0， y0
8、)，所以 (1 x0)2 m2 y 0，即PA PB PA PB 20m2( x01) 2 y .所以| m|为点 P与点 M(1,0)之间的距离，当| PM|最大时，| m|取得最大20值因为| PM|的最大值为| MC|1 16，所以 m的最大值为 6. 4 1 2 42三、解答题11(2018 临沂模拟)已知向量 m(sin 2，cos )， n(sin ，cos )，其中 R.(1)若 m n，求角 .(2)若| m n| ，求 cos 2 的值2【解】(1)向量 m(sin 2，cos )，n(sin ，cos )，若 m n，则 mn0，即为sin (sin 2)cos 2 0，即
9、 sin ，可得 2 k 或 2k ， kZ.12 6 56(2)若| m n| ，即有( m n)22，2即(2sin 2) 2(2cos )22，即为 4sin2 48sin 4cos 2 2，即有 88sin 2，可得 sin ，34即有 cos 2 12sin 2 12 .916 1812(2018 山东德州一模)已知在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，向量m(sin A，sin B)， n(cos B，cos A)， mnsin 2 C.(1)求角 C的大小；4(2)若 sin A，sin C，sin B成等差数列，且 ( )18，求边 c的长CA AB AC 【解】(1) mnsin Acos Bsin Bcos Asin( A B)，对于 ABC， A B C,0 C，sin( A B)sin C， mnsin C，又 mnsin 2 C，sin 2 Csin C，cos C ， C .12 3(2)由 sin A，sin C，sin B成等差数列，可得 2sin Csin Asin B，由正弦定理得 2c a b. ( )18，CA AB AC | | |cos C abcos C18， ab36.CA CB CA CB 由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos C( a b)23 ab， c24 c2336， c236， c6.
