1、1【课时训练】基本不等式及其应用一、选择题1(2018 内蒙古包头模拟)已知 a， bR，且 ab0，则下列结论恒成立的是( )A a b2 B 2abab baC 2 D a2 b22ab|ab ba|【答案】C【解析】因为 和 同号，所以 2.ab ba |ab ba| |ab| |ba|2(2018 郑州外国语学校月考)下列不等式一定成立的是( )Alg lg x(x0)(x214)Bsin x 2( x k， kZ)1sin xC x212| x|(xR)D. 1(xR)1x2 1【答案】C【解析】当 x0 时， x2 2 x x，14 12所以 lg lg x(x0)(x214)故选
2、项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正” “二定” “三相等” ，而当 x k， kZ 时，sin x 的正、负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x0 时，有 1，故选项 D 不正确1x2 13(2018 汉中一模)“ a0， b0”是“ ”的( )a b2 abA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 a0， b0 可得 ，当且仅当 a b 时取等号反之，若 a b2 ab a b2，则 ab0，可得 a0， b0，故选 C.ab4(2018 湖南长沙质检)设 x0， y0，且 2x y6，则 9x3 y有(
3、 )A最大值 27 B最小值 27C最大值 54 D最小值 542【答案】D【解析】因为 x0， y0，且 2x y6，所以9x3 y2 2 2 54，当且仅当 x ， y3 时，9 x3 y有最小值 54.9x3y 32x y 3632故选 D.5(2018 杭州一模)若 a0， b0 且 a b7，则 的最小值为( )4a 1b 2A B189C D98 10277【答案】B【解析】本题考查利用基本不等式求最值因为 b7 a，所以 (a9 a) (414)4a 1b 2 4a 19 a 19 (4a 19 a) 194 1 4 9 aa a9 a 191，当且仅当 时取得等号，故选 B.4
4、 9 aa a9 a6(2018 吉林东北师大附中等校联考)函数 f(x) ax1 2( a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny10 上，其中 m0， n0，则 的最小值为( )1m 2nA4 B5C6 D32 2【答案】D【解析】由题意，知 A(1，1)，因为点 A 在直线 mx ny10 上，所以 m n1.所以 (m n)3 ，1m 2n (1m 2n) nm 2mn因为 m0， n0，所以 3 32 32 ，1m 2n nm 2mn nm2mn 2当且仅当 时，取等号故选 D.nm 2mn7(2018 吉林九校第二次联考)若正数 a， b 满足 1，则 的最小
5、值是( )1a 1b 1a 1 9b 1A1 B6C9 D16【答案】B【解析】正数 a， b 满足 1， b 0，解得 a1.同理可得 b1， 1a 1b aa 1 1a 1 9( a1)2 6，当且仅当 9( a1)，9b 1 1a 1 9aa 1 1 1a 1 1a 19 a 1 1a 13即 a 时取等号，最小值为 6.故选 B.438(2018 陕西西安模拟)若 a0， b0，且函数 f(x)4 x3 ax22 bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值为( )A2 B3C6 D9【答案】D【解析】函数 f(x)4 x3 ax22 bx2 的导数 f( x)12 x22 ax2
6、b，由于函数 f(x)4 x3 ax22 bx2 在 x1 处有极值，则有 f(1)0，即有 a b6( a， b0)，由于a b2 ，即有 ab 29，当且仅当 a b3 时取等号故选 D.ab (a b2 )9(2018 东北育才学校模拟) 已知不等式( x y) 9 对任意的正实数 x， y 恒(1x ay)成立，则正实数 a 的最小值为( )A2 B4C6 D8【答案】B【解析】( x y) 1 a 1 a2 ( 1) 2(x， y， a0)，当且仅当(1x ay) yx axy a ay x 时取等号，所以( x y) 的最小值为( 1)2，于是( 1) 29 恒成立，所a (1x
7、ay) a a以 a4.10(2018 沈阳质量监测)设向量 (1，2)， ( a，1)， ( b,0)OA OB OC (a0， b0， O 为坐标原点)，若 A， B， C 三点共线，则 的最小值是( )2a 1bA4 B 92C8 D9【答案】D【解析】 ( a1,1)， ( b1,2)，若 A， B， C 三点共线，AB OB OA AC OC OA 则有 ，( a1)21( b1)0.2 a b1.又AB AC a0， b0， (2a b)5 52 9，当且仅当Error! 即2a 1b (2a 1b) 2ba 2ab 2ba2aba b 时取等号1311(2018 贵州六校联考)已
8、知 f(x)3 2x( k1)3 x2，当 xR 时， f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是( )A(，1) B(，2 1)2C(1,2 1) D(2 1,2 1)2 2 24【答案】B【解析】由 32x( k1)3 x20 恒成立，得 k10， b0)过曲线 y1sin x(00， b0，由条件，得 a2 b22( a b)，( a b)2 a2 b22 ab2( a2 b2)，当且仅当 a b 时取等号，( a b)24( a b) a b4.又( a b)22( a b)2 ab0， a b2.20 且 a1)的图象恒过定点5A，若点 A 在直线 40( m0， n0)上，则 m n 的最小值为_xm yn【答案】1【解析】由题意可知函数 ylog a x1 的图象恒过定点 A(1,1)，点 A 在直线 40 上， 4. m0， n0， m n (m n) xm yn 1m 1n 14 (1m 1n) 14(2 nm mn) 14(2 2nmmn)1，当且仅当 m n 时取等号， m n 的最小值为 1.12
